Prove ripetute

Da Wikiversità, l'apprendimento libero.
Jump to navigation Jump to search
esercitazione
Prove ripetute
Tipo di risorsa Tipo: esercitazione
Materia di appartenenza Materia: Teoria dei segnali e dei fenomeni aleatori

Le prove ripetute sono un caso particolare di prove indipendenti, infatti si ripetono prove indipendenti dello stesso esperimento casuale .

Lo spazio di probabilità è dove

Prove bernoulliane[modifica]

Le prove bernoulliane sono un sottocaso delle prove ripetute che rispondono alla domanda "l'evento si verifica o no?". Nel settore delle telecomunicazioni, potrebbe essere per esempio "l'errore si verifica o no?".

Le prove bernoulliane sono delle prove ripetute in cui si pone l'attenzione su un evento , chiamato successo, che si verifica con probabilità

in ogni singola prova. è detto insuccesso e si verifica con probabilità

Dato che è l'evento di interesse, si può considerare

con

In generale, si vuole determinare la probabilità che, su prove, l'evento si verifichi volte in un qualunque ordine.

Consideriamo lo spazio di probabilità prodotto associato alle prove. L'evento di interesse è

dove è un qualsiasi insieme di indici con cardinalità .


Esempio: '

Prendiamo , cioè . Allora vogliamo

mentre i successivi

Questa proprietà non dipende dall'ordine con cui si susseguono gli eventi, ma soltanto dal numero di eventi positivi alla fine dei 6 esperimenti. Si considera l'evento di interesse.



Esempio: '
Cerchiamo . Si hanno
Sono 3 configurazioni possibili per i risultati. Allora, la probabilità è 3/8.


Nel caso di prove ripetute bernoulliane, il numero di configurazioni con volte e volte è pari al valore

Il numero delle possibili combinazioni di questo tipo è pari a . Indichiamo con una di queste possibili configurazioni e l'evento che contiene tutte le possibili combinazioni favorevoli,

.

La probabilità di questo è

cioè

Gli eventi sono tra di loro disgiunti, con

Dato che soddisfa l'assioma di probabilità

allora si ha che

Concludendo, segue una legge di probabilità binomiale.


Esercizio: Codice di Hamming
Il codice di hamming(7,4) è un codice per la correzione degli errori sui canali binari che rappresenta una parola di 4 bit con una parola di 7 bit. Permette di correggere un errore e rilevare fino ad un massimo di due errori.

Vogliamo sapere la probabilità che la parola sia esatta, con probabilità di errore sul bit singolo .

Si suppone un canale binario simmetrico indipendente.


Per la soluzione dell'esercizio, vedere la pagina di soluzione.


Esercizio: Un mazzo di carte
Prendete un mazzo di 52 carte ed estraete 3 carte in maniera indipendente, con reinserimento (ogni volta ci sono 52 carte).
  1. Costruire il modello probabilistico.
  2. Determinare la probabilità di pescare esattamente 2 cuori;
  3. Determinare la probabilità che almeno una carta sia di cuori.
Si risolve sulla falsa riga dell'esercizio precedente.


Per la soluzione dell'esercizio, vedere la pagina di soluzione.


Teorema: Teorema di de Moivre Laplace
Sia . Se , allora
Questa proprietà è valida per in un intorno di larghezza del valore .



Considerazioni: '

1. Per , si ha

2. Se (per esempio, una moneta), si ha

3. La probabilità si accumula in un intorno al tendere di .