Prove ripetute

Le prove ripetute sono un caso particolare di prove indipendenti, infatti si ripetono $n$ prove indipendenti dello stesso esperimento casuale $({\Omega }_1,F_1,P_1)$.

Lo spazio di probabilità è $(\Omega ,F,P)$ dove

• $\Omega ={\Omega }_1\times {\Omega }_2\times \cdots \times {\Omega }_n$
• $F=F_1\times F_2\times \cdots \times F_n$
• $P=P_1\times P_2\times \cdots \times P_n$

Prove bernoulliane

Le prove bernoulliane sono un sottocaso delle prove ripetute che rispondono alla domanda "l'evento si verifica o no?". Nel settore delle telecomunicazioni, potrebbe essere per esempio "l'errore si verifica o no?".

Le prove bernoulliane sono delle prove ripetute in cui si pone l'attenzione su un evento $A\in F_1$, chiamato successo, che si verifica con probabilità

$P_1\left(A\right)=p$

in ogni singola prova. $\overline{A}$ è detto insuccesso e si verifica con probabilità

$P_1\left(\overline{A}\right)=1-p=q$

Dato che $A$ è l'evento di interesse, si può considerare

$F_1=\{\varnothing ,A,\overline{A},{\Omega }_1\}$

con

• $P_1(A)=p$
• $P_1(\overline{A})=q$

In generale, si vuole determinare la probabilità $P_n(k)$ che, su $n$ prove, l'evento $A$ si verifichi $k$ volte in un qualunque ordine.

Consideriamo lo spazio di probabilità prodotto $(\Omega ,F,P)$ associato alle $n$ prove. L'evento di interesse è

$B=\{B_1\times B_2\times \cdots \times B_n\}\text{ t.c. }{B}_i\in A,i\in I,B_j\in \overline{A},j\in \overline{I}$

dove $I$ è un qualsiasi insieme di indici con cardinalità $k$.

Esempio:

Prendiamo $B_1\times B_2\times B_3$, cioè $(k=3)$. Allora vogliamo

$B_1,B_2,B_3\in A$

mentre i successivi

$B_4,B_5,B_6\in \overline{A}$

Questa proprietà non dipende dall'ordine con cui si susseguono gli eventi, ma soltanto dal numero di eventi positivi alla fine dei 6 esperimenti. Si considera $I$ l'evento di interesse.

Esempio:

Cerchiamo $n=3,k=2$. Si hanno

• $A\times A\times \overline{A}$
• $A\times \overline{A}\times A$
• $\overline{A}\times A\times A$

Sono 3 configurazioni possibili per i risultati. Allora, la probabilità è 3/8.

Nel caso di prove ripetute bernoulliane, il numero di configurazioni con $k$ volte $A$ e $(n-k)$ volte $\overline{A}$ è pari al valore

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{n!}{(n-k)!k!}$

Il numero delle possibili combinazioni di questo tipo è pari a $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$. Indichiamo con $B_i$ una di queste possibili configurazioni e $B(k)$ l'evento che contiene tutte le possibili combinazioni favorevoli,

$B(k)=\bigcup _{i=1}^{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}{B}_i$.

La probabilità di questo $B(k)$ è

$P((A\times A\times \cdots A\times \overline{A}\times \overline{A}\times \cdots \times \overline{A}))=p^k\cdot q^{n-k}$

cioè

$P_n(k)=P(B(k))=\sum _{i=1}^{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}P(B_i)=\sum _{i=1}^{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}{p}^k\cdot q^{n-k}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\cdot p^k\cdot q^{n-k}$

Gli eventi $B(k),k=0,1,\mathrm{...},n$ sono tra di loro disgiunti, con

$\Omega =\bigcup _{k=0}^{n}B(k)$

Dato che $P_n(K)$ soddisfa l'assioma di probabilità

$1=P(\Omega )=\sum _{k}P(B_k)=\sum _k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k{q}^{n-k}$

allora si ha che

$\sum _k{P}_n(k)=1$

Concludendo, $P_n(k)$ segue una legge di probabilità binomiale.

Esercizio: Codice di Hamming

Il codice di hamming(7,4) è un codice per la correzione degli errori sui canali binari che rappresenta una parola di 4 bit con una parola di 7 bit. Permette di correggere un errore e rilevare fino ad un massimo di due errori.

Vogliamo sapere la probabilità che la parola sia esatta, con probabilità di errore sul bit singolo $P_{ϵ}(b)=10^{-3}$.

Si suppone un canale binario simmetrico indipendente.

Per la soluzione dell'esercizio, vedere la pagina di soluzione.

Esercizio: Un mazzo di carte

Prendete un mazzo di 52 carte ed estraete 3 carte in maniera indipendente, con reinserimento (ogni volta ci sono 52 carte).

1. Costruire il modello probabilistico.
2. Determinare la probabilità di pescare esattamente 2 cuori;
3. Determinare la probabilità che almeno una carta sia di cuori.

Si risolve sulla falsariga dell'esercizio precedente.

Per la soluzione dell'esercizio, vedere la pagina di soluzione.

Teorema: Teorema di de Moivre Laplace

Sia $0<p<1$. Se $npq\gg 1$, allora

$P_n(k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^n{q}^{n-k}\simeq \frac{1}{\sqrt{2\pi npq}}{e}^{-\left(\frac{(k-np{)}^2}{2npq}\right)}$

Questa proprietà è valida per $k$ in un intorno di larghezza $\sqrt{npq}$ del valore $npq$.

Considerazioni:

1. Per $n\to \mathrm{\infty }$, si ha

$\frac{\sqrt{2\pi npq}\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)p^k{q}^{n-k}}{e^{-(k-np{)}^2/2npq}}\to 1$

2. Se $q=p=1/2$ (per esempio, una moneta), si ha

• $A=\text{ 5 teste su 10 lanci }\Rightarrow P(A)=0,25$
• $B=\text{ 50 teste su 100 lanci }\Rightarrow P(A)=0,08$
• $C=\text{ 500 teste su 1000 lanci }\Rightarrow P(A)=0,025$

3. La probabilità si accumula in un intorno $\lfloor np\rfloor$ al tendere di $n\to \mathrm{\infty }$.

• $D=\text{ 4 teste su 6 lanci }\Rightarrow P(A)=0,66$
• $E=\text{ 40 teste su 60 lanci }\Rightarrow P(A)=0,96$
• $F=\text{ 400 teste su 600 lanci }\Rightarrow P(A)=0,99$