Prove ripetute

esercitazione Prove ripetute
	Tipo: esercitazione
	Materia: Teoria dei segnali e dei fenomeni aleatori

Le prove ripetute sono un caso particolare di prove indipendenti, infatti si ripetono $n$ prove indipendenti dello stesso esperimento casuale $(\Omega _{1},F_{1},P_{1})$ .

Lo spazio di probabilità è $(\Omega ,F,P)$ dove

$\Omega =\Omega _{1}\times \Omega _{2}\times \cdots \times \Omega _{n}$
$F=F_{1}\times F_{2}\times \cdots \times F_{n}$
$P=P_{1}\times P_{2}\times \cdots \times P_{n}$

Prove bernoulliane

Le prove bernoulliane sono un sottocaso delle prove ripetute che rispondono alla domanda "l'evento si verifica o no?". Nel settore delle telecomunicazioni, potrebbe essere per esempio "l'errore si verifica o no?".

Le prove bernoulliane sono delle prove ripetute in cui si pone l'attenzione su un evento $A\in F_{1}$ , chiamato successo, che si verifica con probabilità

P_{1}\left(A\right)=p

in ogni singola prova. ${\bar {A}}$ è detto insuccesso e si verifica con probabilità

P_{1}\left({\bar {A}}\right)=1-p=q

Dato che $A$ è l'evento di interesse, si può considerare

F_{1}=\{\varnothing ,A,{\bar {A}},\Omega _{1}\}

con

$P_{1}(A)=p$
$P_{1}({\bar {A}})=q$

In generale, si vuole determinare la probabilità $P_{n}(k)$ che, su $n$ prove, l'evento $A$ si verifichi $k$ volte in un qualunque ordine.

Consideriamo lo spazio di probabilità prodotto $(\Omega ,F,P)$ associato alle $n$ prove. L'evento di interesse è

B=\{B_{1}\times B_{2}\times \cdots \times B_{n}\}{\text{ t.c. }}B_{i}\in A,\ i\in I,\ B_{j}\in {\bar {A}},\ j\in {\bar {I}}

dove $I$ è un qualsiasi insieme di indici con cardinalità $k$ .

Esempio:

Prendiamo $B_{1}\times B_{2}\times B_{3}$ , cioè $(k=3)$ . Allora vogliamo

B_{1},B_{2},B_{3}\in A

mentre i successivi

B_{4},B_{5},B_{6}\in {\bar {A}}

Questa proprietà non dipende dall'ordine con cui si susseguono gli eventi, ma soltanto dal numero di eventi positivi alla fine dei 6 esperimenti. Si considera

I

l'evento di interesse.

Esempio:

Cerchiamo

n=3,k=2

. Si hanno

$A\times A\times {\bar {A}}$
$A\times {\bar {A}}\times A$
${\bar {A}}\times A\times A$

Sono 3 configurazioni possibili per i risultati. Allora, la probabilità è 3/8.

Nel caso di prove ripetute bernoulliane, il numero di configurazioni con $k$ volte $A$ e $(n-k)$ volte ${\bar {A}}$ è pari al valore

{\binom {n}{k}}={\frac {n!}{(n-k)!k!}}

Il numero delle possibili combinazioni di questo tipo è pari a ${\binom {n}{k}}$ . Indichiamo con $B_{i}$ una di queste possibili configurazioni e $B(k)$ l'evento che contiene tutte le possibili combinazioni favorevoli,

B(k)=\bigcup _{i=1}^{\binom {n}{k}}B_{i}

.

La probabilità di questo $B(k)$ è

P((A\times A\times \cdots A\times {\bar {A}}\times {\bar {A}}\times \cdots \times {\bar {A}}))=p^{k}\cdot q^{n-k}

cioè

P_{n}(k)=P\left(B(k)\right)=\sum _{i=1}^{\binom {n}{k}}P(B_{i})=\sum _{i=1}^{\binom {n}{k}}p^{k}\cdot q^{n-k}={\binom {n}{k}}\cdot p^{k}\cdot q^{n-k}

Gli eventi $B(k),k=0,1,...,n$ sono tra di loro disgiunti, con

\Omega =\bigcup _{k=0}^{n}B(k)

Dato che $P_{n}(K)$ soddisfa l'assioma di probabilità

1=P(\Omega )=\sum _{k}P(B_{k})=\sum _{k}{\binom {n}{k}}p^{k}q^{n-k}

allora si ha che

\sum _{k}P_{n}(k)=1

Concludendo, $P_{n}(k)$ segue una legge di probabilità binomiale.

Esercizio: Codice di Hamming

Il codice di hamming(7,4) è un codice per la correzione degli errori sui canali binari che rappresenta una parola di 4 bit con una parola di 7 bit. Permette di correggere un errore e rilevare fino ad un massimo di due errori.

Vogliamo sapere la probabilità che la parola sia esatta, con probabilità di errore sul bit singolo $P_{\epsilon }(b)=10^{-3}$ .

Si suppone un canale binario simmetrico indipendente.