Esercizio del mazzo di carte con 3 carte estratte

Esercizio: Un mazzo di carte

Prendete un mazzo di 52 carte ed estraete 3 carte in maniera indipendente, con reinserimento (ogni volta ci sono 52 carte).

1. Costruire il modello probabilistico.
2. Determinare la probabilità di pescare esattamente 2 cuori;
3. Determinare la probabilità che almeno una carta sia di cuori.

Per rispondere alla domande, conviene prendere:

$\Omega =\left\{Cuori,Picche,Fiori,Quadri\right\}$

Si ha

$P(Cuori)={\frac {13}{52}}={\frac {1}{4}}$

Probabilità che due carte siano cuori

Si definisce un nuovo spazio di probabilità $({\hat {\Omega }},{\hat {F}},{\hat {P}})$ con

$F=\{\varnothing ,A,{\bar {A}},{\hat {\Omega }}\}$

dove

• ${\hat {\Omega }}=\Omega \times \Omega \times \Omega$
• ${\hat {F}}=F\otimes F\otimes F$

Nel caso $n=3$ e $k=2$, cioè si hanno esattamente due cuori su tre carte pescate, $C$ è l'evento:

$C=\{c_{1},c_{2},c_{3}\in {\hat {F}}\ |\ C_{i}=A\ \forall i\in I,\ |I|=2\}$

che ha probabilità

$P(C)={\binom {3}{2}}\cdot P^{2}(A)P({\bar {A}})=3\left({\frac {1}{4}}\right)^{2}{\frac {3}{4}}={\frac {9}{64}}$

Probabilità che almeno una carta sia cuori

La probabilità che almeno una carta sia cuori è l'evento $D$:

$D=\{c_{1},c_{2},c_{3}\in {\hat {F}}\ |\ C_{i}=A\ \forall i\in I,\ |I|\geq 1\}$

La probabilità di questo evento è:

$P(D)=\sum _{i=1}^{3}{\binom {n}{k}}P^{k}(A)P^{n-k}({\bar {A}})$

Si ha

$P({\bar {D}})={\binom {n}{0}}P^{n}({\bar {A}})={\binom {3}{0}}\left({\frac {3}{4}}\right)^{3}={\frac {27}{64}}$

da cui si ottiene

$P(D)=A-P({\bar {D}})={\frac {37}{64}}$