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Esercizio: Un mazzo di carte
Prendete un mazzo di 52 carte ed estraete 3 carte in maniera indipendente, con reinserimento (ogni volta ci sono 52 carte).
- Costruire il modello probabilistico.
- Determinare la probabilità di pescare esattamente 2 cuori;
- Determinare la probabilità che almeno una carta sia di cuori.
Per rispondere alla domande, conviene prendere:
![{\displaystyle \Omega =\left\{Cuori,Picche,Fiori,Quadri\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9a22dd338d11e236e47cf665870ee5f7d7d2062)
Si ha
![{\displaystyle P(Cuori)={\frac {13}{52}}={\frac {1}{4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3233e05ea2effab4445d09779930fb0dd09cfba)
Probabilità che due carte siano cuori
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Si definisce un nuovo spazio di probabilità
con
![{\displaystyle F=\{\varnothing ,A,{\bar {A}},{\hat {\Omega }}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9e1be51e28ae5f3b82a5889cda1af2cc71b480d)
dove
![{\displaystyle {\hat {\Omega }}=\Omega \times \Omega \times \Omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6f5a871be985480b62ded13b435a1844ec150e4)
![{\displaystyle {\hat {F}}=F\otimes F\otimes F}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d6c4fae3dbe759bb9f979e913bf2cbb255e156b)
Nel caso
e
, cioè si hanno esattamente due cuori su tre carte pescate,
è l'evento:
![{\displaystyle C=\{c_{1},c_{2},c_{3}\in {\hat {F}}\ |\ C_{i}=A\ \forall i\in I,\ |I|=2\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96007d6f8ef7bf0b4c3783924f2bba742c9644ff)
che ha probabilità
![{\displaystyle P(C)={\binom {3}{2}}\cdot P^{2}(A)P({\bar {A}})=3\left({\frac {1}{4}}\right)^{2}{\frac {3}{4}}={\frac {9}{64}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f018e662e953a8ae714a5c27e6ad2088ef4163f0)
Probabilità che almeno una carta sia cuori
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La probabilità che almeno una carta sia cuori è l'evento
:
![{\displaystyle D=\{c_{1},c_{2},c_{3}\in {\hat {F}}\ |\ C_{i}=A\ \forall i\in I,\ |I|\geq 1\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5829662eda80c220882c2082642c12d014b071d9)
La probabilità di questo evento è:
![{\displaystyle P(D)=\sum _{i=1}^{3}{\binom {n}{k}}P^{k}(A)P^{n-k}({\bar {A}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3383af0ddc3cce78dae378deacb47d293b77089)
Si ha
![{\displaystyle P({\bar {D}})={\binom {n}{0}}P^{n}({\bar {A}})={\binom {3}{0}}\left({\frac {3}{4}}\right)^{3}={\frac {27}{64}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bfc8a7209b8e68422e5b3a61925e63f13aef380)
da cui si ottiene
![{\displaystyle P(D)=A-P({\bar {D}})={\frac {37}{64}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6add2753d1ab0a5972e7d6fa5c1cfdbbf0484b6a)