Legge di Gauss (superiori)

Introduzione alla legge di Gauss

Calcolare il campo generato da una distribuzione qualsiasi di carica può essere molto laborioso, anche se da un punto di vista concettuale è semplice. Infatti basta suddividere le cariche sorgenti in piccoli elementi e calcolare il campo risultante dalla sovrapposizione degli effetti. Tale esemplificazione è sempre possibile in condizioni statiche.

Flusso di un campo vettoriale

Dato un campo vettoriale ${\vec {A}}\$ ed un generico elemento infinitesimo di superficie $ds\$ nello spazio in cui è definito il campo stesso ${\vec {A}}\$, è possibile associare ad ognuno di tali elementi superficie una grandezza scalare infinitesima:

$d\Phi ({\vec {A}})=ds{\vec {A}}\cdot {\hat {n}}\$

che viene chiamata il flusso infinitesimo di ${\vec {A}}\$ attraverso la superficie $ds\$, avendo definito con ${\hat {n}}\$ il versore normale alla superficie. Fin quando la superficie è aperta, vi è un'indeterminazione nella direzione dell'elemento di superficie e quindi del segno del flusso. Se l'elemento di superficie fa invece parte di una superficie chiusa e si assume per convenzione che la normale sia diretta nella direzione esterna alla superficie, in questo caso il flusso è definito in maniera precisa. Spesso si preferisce associare un campo vettoriale agli elementi di superficie definendo:

${\vec {ds}}=ds{\hat {n}}\$

Quindi il flusso attraverso una qualsiasi superficie chiusa $S\$ del vettore ${\vec {A}}\$ è ottenuto integrando il flusso infinitesimo:

$\Phi ({\vec {A}})=\int _{S}{\vec {A}}\cdot {\vec {ds}}\$

Il concetto di flusso deriva dall'idraulica, nel quale il flusso della velocità di un fluido attraverso una superficie è proporzionale alla portata, cioè la quantità di fluido che attraversa la sezione del condotto considerato nell'unità di tempo. Se il fluido è incomprimibile e la superficie attraverso cui si calcola la portata è chiusa, il flusso è identicamente nullo, altrimenti la materia di cui è composto il fluido non si conserverebbe.

Enunciazione del teorema di Gauss

Il teorema di Gauss afferma che il flusso del vettore campo elettrico ${\vec {E}}$ attraverso una qualunque superficie chiusa $S$ è uguale al rapporto fra la somma algebrica delle cariche racchiuse all'interno della superficie $Q_{totale}$ e la costante dielettrica del vuoto: $\Phi _{S}({\vec {E}})={\frac {Q_{totale}}{\varepsilon _{o}}}\$

Eventuali cariche all'esterno della superficie chiusa non portano alcun contributo al flusso di ${\vec {E}}$.

Il teorema di Gauss vale per qualunque campo vettoriale additivo tale che, esistendo sorgenti puntiformi del campo stesso, abbia una dipendenza in modulo proporzionale all'inverso del quadrato della distanza. Il teorema di Gauss può essere applicato al campo gravitazionale.

Per somma algebrica s'intende che se all'interno della superficie la carica totale è nulla, il flusso è nullo. Se la somma delle cariche è positiva, il flusso è positivo, se la somma delle cariche è negativa, il flusso è negativo.

Se la distribuzione di cariche è continua (densità volumetrica, superficiale o lineare) alla somma algebrica si sostituirà l'integrale.

La dimostrazione segue direttamente dalla legge di Coulomb, secondo cui ogni carica puntiforme $Q_{i}\$ genera in un punto $P\$ un campo radiale che varia come $1/r_{i}^{2}\$ (dove $r_{i}\$ è la distanza tra la carica stessa ed il punto $P\$).

La scelta della forma della legge di Coulomb, in cui artificialmente abbiamo introdotto come costante moltiplicativa $1/4\pi \$, dipende dal fatto che con tale definizione la legge di Gauss in elettrostatica assume la forma semplice fornita dall'equazione appena data.

La legge di Gauss è di notevole importanza in quanto consente, non solo di dedurre le cariche presenti una volta che si conosca il campo elettrico, ma anche di calcolare il campo elettrico in maniera semplice, quando la situazione fisica è dotata di particolare simmetria. Il teorema di Gauss vale non solo per il campo elettrico, ma anche per quello gravitazionale sostituendo alle cariche le masse .

Dimostrazione della legge di Gauss

Una carica puntiforme all'interno di una superficie chiusa

Consideriamo una carica puntiforme positiva all'interno di una superficie $S\$ dello spazio (in un punto qualsiasi all'interno). Se scegliamo l'origine del sistema di coordinate coincidente con la carica, il flusso infinitesimo del campo elettrico vale:

$d\Phi ({\overrightarrow {E}})={\overrightarrow {E}}\cdot {\overrightarrow {dS}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {Q}{r^{2}}}{\hat {r}}\cdot {\hat {n}}dS={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {QdS_{n}}{r^{2}}}$

Dove $dS_{n}\$ è la proiezione dell'elemento di superficie ${\overrightarrow {dS}}$ sulla sfera di raggio $r\$ e centro sulla carica $Q\$.

L'estensione agli angoli nel piano sono gli angoli solidi. Si definisce angolo solido come rapporto tra l'elemento di superficie normale intercettato ed il quadrato della distanza:

$d\Omega ={\frac {dS_{n}}{r^{2}}}\$

L'integrale lungo tutte le direzioni possibili in 3 dimensioni di un angolo solido vale $4\pi \$. Quindi dal punto di vista visivo dato un punto ed un elemento di superficie è possibile costruire un cono con le linee che connettono il punto e il perimetro della superficie: l'angolo solido sarà tanto maggiore quanto si allarga nello spazio tale cono. Da questa considerazione segue che:

$d\Phi ({\overrightarrow {E}})={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}Qd\Omega$

Una carica puntiforme all'interno di una superficie chiusa rientrante

Per calcolare il flusso totale attraverso $S\$ basta integrare su tutta la superficie $S\$. Cioè:

$\Phi _{S}({\vec {E}})=\int _{S}d\Phi ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}Q\int _{4\pi }d\Omega ={\frac {Q}{\varepsilon _{o}}}$

La superficie chiusa copre, intorno alla carica $Q\$, l'intero angolo solido. Vediamo quindi che il flusso di ${\overrightarrow {E}}\$ non dipende dalla forma della superficie: se la superficie avesse delle rientranze tali rientranze verrebbero attraversate dal cono un numero dispari di volte e i vari contributi si eliderebbero due a due. Come appare nella figura a fianco.

Se spostiamo la carica in un altro punto all'interno della superficie non cambia in nessuna maniera il risultato. Se la carica all'interno fosse stata negativa il flusso sarebbe risultato negativo in quanto le linee del campo sarebbero state dirette verso la carica stessa e quindi i flussi infinitesimi erano tutti negativi.

Se sono poste $n\$ cariche $Q_{i}\$ all'interno della superficie $S\$ potremo scrivere:

$d\Phi ({\overrightarrow {E}})={\overrightarrow {E}}\cdot {\overrightarrow {dS}}=\left(\sum _{i=1}^{n}{\overrightarrow {E_{i}}}\right)\cdot {\overrightarrow {dS}}=\sum _{i=1}^{n}\left({\overrightarrow {E_{i}}}\cdot {\overrightarrow {dS}}\right)=\sum _{i=1}^{n}d\Phi _{i}$

In quanto applichiamo il principio di sovrapposizione dei campi generati dalle singole cariche. Integrando su tutta la superficie abbiamo quindi che:

$\Phi _{S}({\vec {E}})=\int _{S}d\Phi =\int _{S}\sum _{i=1}^{n}d\Phi _{i}=\sum _{i=1}^{n}\int _{S}d\Phi _{i}=\sum _{i=1}^{n}\Phi _{i}={\frac {\sum _{i=1}^{n}Q_{i}}{\varepsilon _{o}}}$

Consideriamo ora il caso di una carica $Q\$ esterna alla superficie $S\$, così come in figura.

Una carica puntiforme all'esterno di una superficie chiusa rientrante

Il contributo al flusso degli elementi $dS_{1}\$ e $dS_{2}\$ è in modulo eguale, ma di segno opposto;

quindi il loro contributo totale è nullo, come quello di $dS_{3}\$ e $dS_{4}\$. In generale, partendo dal punto $O\$ ed andando in qualsiasi direzione della superficie chiusa, attraverso la quale si vuole calcolare il flusso del campo elettrico, essa viene intersecata sempre un numero pari di volte e quindi di conseguenza il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa all'interno della quale vi sia una carica totale nulla vale zero. Quindi, comunque sia fatta tale superficie, si ha sempre:

$\Phi _{S}({\vec {E}})=0\$

Il teorema di Gauss è conseguenza diretta della legge di Coulomb, quindi non aggiunge niente rispetto a tale legge. Tale teorema permette di determinare le cariche presenti in una regione di spazio una volta che si conosca il campo elettrico. D'altro canto quando si hanno condizioni di simmetria permette di calcolare esattamente il valore del campo.

Se le cariche fossero distribuite in maniera continua, ad esempio con densità di carica $\rho \$, se si indica con $T\$ il volume racchiuso dalla superficie $S\$ e con $d\tau \$ l'elemento di volume:

$\Phi _{S}({\vec {E}})=\int _{S}{\overrightarrow {E}}\cdot {\overrightarrow {dS}}={\frac {1}{\varepsilon _{o}}}\int _{T}\rho d\tau$

Simmetria sferica

Una sfera uniformemente carica

Immaginiamo di avere una sfera di raggio $R\$ con una carica totale $Q\$ la cui densità di carica volumetrica $\rho \$ varia secondo la legge:

$\rho =A{\frac {r^{n}}{R^{n}}}\qquad con\ n>-2\$

Il caso di densità uniforme si ha per $n=0\$.

le dimensioni di $A\$ sono quelle di una carica per unità di volume. Il valore di $A\$ si ricava dal fatto che la carica totale debba valere $Q\$:

$Q=\int _{0}^{R}A{\frac {r^{n}}{R^{n}}}4\pi r^{2}dr=4\pi A{\frac {R^{3}}{n+3}}\$

$A={\frac {(n+3)Q}{4\pi R^{3}}}\$

Per ragioni di simmetria il campo elettrico interno ed esterno deve essere radiale ed eguale in tutti i punti che sono equidistanti dal centro. Quindi si tratta di determinare $E_{r}(r)\$. Dove con $E_{r}\$ si è descritta la componente radiale del campo.

Il calcolo va fatto considerando due regioni distinte dello spazio:

a) Il campo all'interno della sfera per $r\leq R\$. La superficie Gaussiana è una sfera di raggio $r\$ e quindi il flusso del campo elettrico varrà:

$\Phi _{S}({\vec {E}})=\int _{S}{\overrightarrow {E}}\cdot {\overrightarrow {dS}}=E_{r}(r)4\pi r^{2}\$

La carica all'interno di tale distribuzione vale:

$Q_{int}=\int _{0}^{r}A{\frac {r'^{n}}{R^{n}}}4\pi r'^{2}dr'=4\pi A{\frac {r^{n+3}}{R^{n}(n+3)}}\$

Si è usata come variabile di integrazione $r'\$, per non fare confusione con l'estremo di integrazione. Quindi per il teorema di Gauss:

$E_{r}(r)4\pi r^{2}=4\pi A{\frac {r^{n+3}}{\varepsilon _{o}R^{n}(n+3)}}\$

$E_{r}(r)=A{\frac {r^{n+1}}{\varepsilon _{o}R^{n}(n+3)}}={\frac {Qr^{n+1}}{4\pi \varepsilon _{o}R^{n+3}}}$

Per $n=0\$ (distribuzione uniforme), il campo cresce linearmente con la distanza dal centro:

$E_{r}(r)=A{\frac {r}{3\varepsilon _{o}}}\$

Il casi con $n\leq -2\$, vengono esclusi in quanto non hanno senso fisico: il campo elettrico divergerebbe al centro della distribuzione.

b) Il campo all'esterno della sfera per $r'>R\$. La superficie Gaussiana è una sfera di raggio $r'\$ e quindi il flusso del campo elettrico avrà un valore eguale al caso a):

$\Phi _{S}({\vec {E}})=E_{r}(r')4\pi r'^{2}\$

La carica all'interno in questo caso non dipende da $r'\$ e vale $Q\$. Quindi per il teorema di Gauss:

$E_{r}(r)4\pi r'^{2}={\frac {Q}{\varepsilon _{o}}}\$

da cui:

$E_{r}(r')={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{o}r^{2}}}\qquad r'\geq R\$

Quindi non dipende dalla distribuzione radiale interna e sul bordo della distribuzione il valore si ha che:

$E_{r}(r'\to R)=E_{r}(r\to R)={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{o}R^{2}}}\$

Simmetria cilindrica

Una superficie Gaussiana cilindrica è usata per determinare il campo elettrico sia per fili rettilinei sia per distribuzioni volumetriche con tale simmetria.

Il caso più semplice è quello di un filo . Consideriamo un punto P a distanza $r\$ da una linea molto lunga (praticamente infinita) e rettilinea in cui la carica è distribuita in maniera uniforme che una carica per unità di lunghezza $\lambda \$. Immaginiamo una superficie chiusa sotto forma di un cilindro il cui asse coincide con la linea stessa. Se $h\$ è la lunghezza del cilindro, allora la carica contenuta nella superficie gaussiana del cilindro è:

$q=\lambda h$,

La superficie gaussiana si compone di tre superfici: a, b e c mostrate in figura. Nellafigura per ogni superficie è mostrato il vettore differenziale elemento di superficie dA.

Il flusso è composto di tre contributi:

$\Phi _{E}=\int _{a}{\vec {E}}\cdot {\vec {dA}}+\int _{b}{\vec {E}}\cdot {\vec {dA}}+\int _{c}{\vec {E}}\cdot {\vec {dA}}$

Ma sulla superfici a e b il ${\vec {E}}\$ è parallelo alla superficie, quindi perpendicolare a ${\vec {dA}}\$. Quindi dei tre integrali solo l'ultimo è diverso da 0, ed il vettore ${\vec {E}}\$ ha solo la componente radiale (in coordinate cilindriche, per cui:

$\Phi _{E}=E_{r}\int _{c}dA=E_{r}2\pi rh$

Quindi essendo per la legge di Gauss:

$\Phi _{E}={\frac {\lambda h}{\varepsilon _{0}}}$

$E_{r}={\frac {\lambda }{2\pi \varepsilon _{0}r}}$

Un altro caso è quello di una sbarra carica di raggio $R\$ con una densità di carica di volume uniforme $\rho \$. Se si considera una superficie gaussiana cilindrica e coassiale alla sbarra con raggio $r\geq R\$ e lunghezza $h\$ per la legge di Gauss si ha che, l'integrale attraverso la superficie laterale :

$\Phi _{E}=\int _{S}{\vec {E}}\cdot {\vec {dA}}=2\pi rhE_{r}={\frac {\pi R^{2}h\rho }{\varepsilon _{0}}}\qquad r\geq R$

$E_{r}={\frac {\rho R^{2}}{2\varepsilon _{0}r}}$

Cioè a tutti gli effetti se chiamo $\lambda =\pi R^{2}\rho \$ (la densità lineare di carica) ritrovo l'espressione del filo.

Se si sceglie una superficie gaussiana con raggio $r\leq R\$, cioè interna alla sbarra, l'espressione del flusso del campo elettrico è lo stesso ma è diversa la carica interna:

$\Phi _{E}=\int _{S}{\vec {E}}\cdot {\vec {dA}}=2\pi rhE_{r}={\frac {\pi r^{2}h\rho }{\varepsilon _{0}}}\qquad r\leq R$

$E_{r}={\frac {\rho r}{2\varepsilon _{0}}}$

Simmetria piana

Immaginiamo di avere un piano indefinito, come quello mostrato in figura, con una carica distribuita uniformemente sulla superficie. Definita $\sigma \$ la carica per unità di superficie. Gli assi sono scelti come mostrato in figura. In base a ragionamenti basati sulla simmetria il campo elettrostatico è ortogonale al piano su cui è distribuita la carica e ha versi opposti dalle due parti come mostrato in figura nel caso di densità positiva- La superficie gaussiana è una scatola cilindrica con le basi di area $S\$, parallele al piano. Il flusso attraverso la superficie laterale è nullo (al contrario della simmetria cilindrica). Mentre il flusso attraverso le due basi è:

$\Phi _{E}=2S|E_{z}|$

Mentre la carica contenuta in tale superficie gaussiana vale: $Q=\sigma S\$.

Per la legge di Gauss si ha che:

$\Phi _{E}=2S|E_{z}|={\frac {\sigma S}{\varepsilon _{0}}}\$

Quindi sull'asse delle $z\$ positivo:

$E_{z}={\frac {\sigma }{2\varepsilon _{0}}}\$

e di segno opposto nella negativa dell'asse delle $z\$.

Esempi

Altri esempi mostrano l'applicazione del teorema di Gauss, in genere gli esempi sono classificati in funzione delle proprietà di simmetria. La simmetria sferica è quella che permette maggior numero di esempi: nuvola sferica, guscio sferico, guscio con foro, campo elettrico sulla terra. Possono essere fatti altri esempi di simmetria cilindrica, due esempi con simmetria piana: doppio strato, giunzione p-n.

Equilibrio in un campo elettrostatico

La condizione di equilibrio stabile per un punto materiale P: tutte le forze vicine puntano verso il punto.

Non è possibile avere un punto di equilibrio stabile in nessun campo elettrostatico. La legge di Gauss ci permette di dimostrare tale fatto. Per avere equilibrio stabile per un punto materiale occorre da ogni direzione nelle immediate vicinanze del punto tutte le forze puntino in direzione del punto stesso. Cioè allontanando il punto materiale in ogni direzione vi sia una forza che riporti il punto nella posizione iniziale. Consideriamo una regione di spazio come quella mostrata in figura al cui interno poniamo una carica positiva (il ragionamento vale anche per una carica negativa ma bisogna scambiare nel ragionamento negativo con positivo) e vogliamo sapere se è possibile avere la condizione che con una particolare disposizione di cariche le linee del campo puntino tutte sul punto materiale $P\$ dove posizioniamo la carica positiva. Per avere una condizione di questo genere occorre che il flusso del campo elettrico attraverso la superficie limite sia negativo e quindi che la carica totale negativa, all'interno della regione, sia maggiore della carica positiva qualunque sia quella che poniamo in $P\$. Quindi la carica positiva viene tenuta in equilibrio, ma le cariche negative debbono essere mantenute ferme da forze non elettriche in quanto tenderanno ad allontanarsi, poiché le linee del campo hanno un effetto opposto su di loro e tenderanno a spostarle nella direzione opposta, quindi non vi equilibrio in quanto le cariche che generano il campo tendono ad allontanarsi. Se invece non è presente nessuna carica nella regione, il flusso del campo elettrico è nullo e non vi può essere nessuna condizione di equilibrio a maggior ragione. Il ragionamento fatto valendo per sia una carica elettrica positiva puntiforme che negativa vale in generale in elettrostatica. Quindi per avere elettrostatica abbiamo bisogno di forze non elettriche che mantengono in posizione le cariche di una polarità.

La legge di Gauss in forma differenziale

La divergenza di un campo vettoriale è uno scalare che misura in qualche maniera la variazione spaziale del campo stesso. La sua definizione in coordinate cartesiane è la seguente, dato un campo vettoriale ${\vec {A}}\$ e un operatore vettoriale, definito con ${\vec {\nabla }}\$:

${\vec {\nabla }}=\left({\frac {\partial }{\partial x}}{\vec {i}}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\vec {j}}+{\frac {\partial }{\partial z}}{\vec {k}}\right)\$

Il prodotto scalare di ${\vec {\nabla }}\$ con tale generico campo vettoriale viene chiamata divergenza di ${\vec {A}}\$:

$div{\vec {A}}={\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}}={\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial A_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial A_{z}}{\partial z}}\$

Esiste un teorema di matematica, che riguarda la divergenza, il teorema della divergenza. Tale teorema afferma che il flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie chiusa infinitesima $dS\$ è pari al prodotto della divergenza del campo stesso calcolato nel volume infinitesimo $dT\$ racchiuso da $dS\$:

${\vec {E}}\cdot {\vec {dS}}={\vec {\nabla }}\cdot {\vec {E}}dT\$

Tenuto conto di tale affermazione, il teorema di Gauss esteso ad una generica superficie $dS\$ che racchiude il volume $dT\$, dove la carica totale è pari a $\rho dT\$ si può riscrivere:

${\vec {E}}\cdot {\vec {dS}}={\vec {\nabla }}\cdot {\vec {E}}dT={\frac {1}{\varepsilon _{o}}}\rho dT$

Da cui segue che:

${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {E}}={\frac {\rho }{\varepsilon _{o}}}\$

Tale teorema in forma locale viene chiamato prima equazione di Maxwell.

Questa espressione detta anche equazione di Gauss in forma locale è formalmente equivalente alla legge di Gauss integrale, da cui è stata ricavata con l'ipotesi implicita che nel dominio considerato (il volume dT) il campo elettrico sia derivabile in ogni punto. Quindi la limitazione della forma locale è proprio nei casi in cui si ha discontinuità del campo elettrico come avviene andando da una regione con una densità di carica ad una diversa. Se però si hanno campi variabili nel tempo la forma integrale presuppone una propagazione dei fenomeni elettrici a velocità infinita, cosa che contrasta con la massima velocità possibile che è quella della luce nel vuoto, quindi la validità della forma integrale è limitata alla sola elettrostatica.

Ad esempio, nella separazione tra due mezzi, caso non del vuoto, il campo elettrico ha in genere una discontinuità. Tale limitazione non comporta nessun problema se si divide il dominio in sottodomini in cui tale discontinuità è rimossa. Il problema riguarderà il fatto di imporre le condizioni di raccordo tra i vari domini. Il teorema di Gauss in forma locale collega la divergenza del campo elettrico alla densità volumetrica di carica. Tale forma non si adatta ai casi in cui la carica è distribuita su superfici o lungo linee.

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