In un tubo a raggi catodici di un televisore gli elettroni attraversano una regione con moto rettilineo, sottoposti ad una accelerazione costante. Sapendo che la regione è lunga e che gli elettroni entrano nella regione con velocità ed escono con velocità .
Determinare: Il valore dell'accelerazione a cui sono sottoposti gli elettroni ed il tempo di attraversamento della regione stessa.
Un'auto parte da ferma con accelerazione uguale a 4 m/s².
Si determini quanto tempo impiega a raggiungere la velocità di 120 km/h e quanto spazio percorre durante la fase di accelerazione.
Un treno parte da una stazione e si muove con accelerazione costante. Passato un certo tempo dalla partenza la sua velocità è divenuta , a questo punto percorre un tratto e la velocità diventa .
Determinare accelerazione, tempo per percorre il tratto e la distanza percorsa dalla stazione al punto in cui la velocità è .
In un tratto speciale di un rally automobilistico un pilota deve percorrere nel tempo minimo un tratto , partendo e arrivando da fermo.
Le caratteristiche dell'auto sono tali che l'accelerazione massima vale , mentre in frenata la decelerazione massima vale .
Supponendo che il moto sia rettilineo, determinare il rapporto tra il tempo di accelerazione e di decelerazione, e la velocità massima raggiunta.
Una particella vibra di moto armonico semplice con ampiezza , attorno all'origine,
e la sua accelerazione all'estremo della traiettoria vale .
All'istante iniziale passa per il centro.
Determinare: La velocità quando passa per il centro ed il periodo del moto.
Un oggetto viene lasciato cadere, da fermo ad una quota , sotto l'azione combinata della accelerazione di gravità e di una decelerazione proporzionale alla velocità (dovuta all'attrito viscoso) secondo la legge . La velocità di regime vale . Determinare: a)Dopo quanto tempo la decelerazione dovuta all'attrito viscoso vale 0.9 della accelerazione di gravità (ovviamente con segno opposto); b) a quale quota si trova nel caso a); c) il tempo approssimativo di caduta (la formula esatta è non ottenibile semplicemente)
Una palla viene lanciata verso l'alto con velocità iniziale ; dopo un tempo passa di fronte ad un ragazzo ad altezza dal suolo e continua a salire verso l'alto.
Determinare: a) velocità iniziale ; b) La quota massima .
Per fermare un'auto, passa prima di tutto un certo tempo di reazione per dare inizio alla frenata, poi vi è un tempo di frenata fino all'arresto. Nel lasso di tempo di reazione, si può assumere che la velocità si mantenga costante. A parità di accelerazione di frenata e tempo di reazione partendo da una velocità la macchina frena in , mentre ad una velocità di regime di frena in .
Determinare: a) La decelerazione; b) il tempo di reazione del guidatore
(dati del problema , , , , il moto dopo il tempo di reazione è un moto accelerato uniforme)
Una particella vibra di moto armonico semplice attorno all'origine. All'istante iniziale si trova in
e la sua velocità vale ed il periodo vale .
Determinare il massimo allontanamento dalla posizione di equilibrio e dopo quanto tempo dall'istante iniziale la velocità si è annullata.
Le equazioni parametriche di un punto materiale, che descrive una ellisse intorno all'origine, sono:
, .
Determinare, quando si è fatto un quarto di giro a partire dall'istante iniziale, quale sia la distanza dal centro, la velocità e l'accelerazione in modulo del punto materiale.
Le equazioni parametriche di un punto materiale, che descrive una curva a spirale con partenza nell'origine, sono :
Determinare, quando si è fatto un giro a partire dall'istante iniziale, quale sia la posizione, la velocità e l'accelerazione in modulo del punto materiale.
Determinare la profondità di un pozzo sapendo che il tempo tra l'istante in cui si lascia cadere un sasso, senza velocità iniziale, e quello in cui si ode il rumore, in conseguenza dell'urto del sasso con il fondo del pozzo, è . Si trascuri la
resistenza dell'aria e si assuma che la velocità del suono
sia .
Un punto materiale all'istante iniziale ha una velocità e subisce
una decelerazione nella direzione del moto proporzionale
alla velocità istantanea secondo la legge e si ferma dopo avere percorso metri.
Determinare: a) l'equazione del moto e lo spazio percorso dopo ;
b) la velocità quando ha percorso .
Nel momento in cui un semaforo volge al verde, un'auto parte con accelerazione costante . Nello stesso istante un camion che viaggia a velocità costante sorpassa l'auto. a) A quale distanza oltre il semaforo l'auto sorpasserà il camion? b) Quale sarà la velocità dell'auto nel momento del sorpasso?
Una persona in piedi sul culmine di una roccia semisferica di raggio colpisce con un calcio un pallone impremendogli una velocità iniziale (tangente al culmine della roccia).
a) Quale deve essere la minima velocità iniziale del pallone affinché esso non colpisca mai la roccia? b) Con questo modulo della velocità iniziale e a quale distanza dalla base della semisfera il pallone colpirà il suolo?
(dati del problema , suggerimento il requisito di non toccare è più stringente all'inizio della traiettoria)
Un proiettile attraversa una lastra di legno di spessore . La velocità del proiettile prima di entrare nella lastra vale , mentre all'uscita vale . Immaginando la accelerazione costante all'interno della lastra, determinare a) il valore di tale accelerazione e il tempo di attraversamento; b) calcolare che spessore sarebbe necessario per fermare la pallottola se l'accelerazione rimanesse costante.
Un punto materiale all'istante iniziale ha una velocità e subisce
una decelerazione nella direzione del moto proporzionale alla velocità istantanea secondo la legge e si ferma dopo avere percorso metri.
Determinare: a) l'equazione del moto e lo spazio percorso dopo ; b) la velocità quando ha percorso .
Due punti materiali A e B sono disposti sulla stessa verticale, A sul pavimento e B sul soffitto, come mostrato in figura. All’istante , A viene lanciato verso l’alto con velocità iniziale , mentre B viene lasciato cadere partendo da fermo. Considerando che la distanza pavimento-soffitto è , si determini la condizione su , in funzione di , affinché i due punti materiali si incontrino mentre A è ancora in fase ascendente
a) Il moto di questo punto materiale può essere considerato un moto
rettilineo smorzato esponenzialmente dato che è caratterizzato da una decelerazione che è pari a:
la velocità più generale che da tale accelerazione è:
Dovendosi fermare per
inoltre essendo per si ha che:
Detto l'asse verticale e quello orizzontale, le equazioni del moto sono:
a)
Quindi la traiettoria parabolica (eliminando il tempo) è descritta dalla equazione:
Mentre l'equazione della semisfera vale:
perché non tocchi mai occorre che:
Cioè:
Per (inizio parabola) il primo termine diviene trascurabile,
per cui la minima velocità vale:
Allo stesso risultato si arrivava imponendo che sul culmine della parabola l'unica accelerazione era quella centripeta causata dalla accelerazione di gravità: per cui si ottiene il raggio di curvatura (minimo) della parabola.
a) Il moto di questo punto materiale può essere considerato un moto rettilineo smorzato esponenzialmente dato che è caratterizzato da una decelerazione che è pari a:
Da tale espressione dell'accelerazione segue che:
La costante di integrazione segue dal fatto che si deve fermare per . Inoltre poiché si ha che:
Quindi l'espressione delle velocità nel tempo vale;
Integrando tale equazione si ha la equazione del moto:
Imponendo che la sua derivata nel tempo sia pari a:
Conviene definire un sistema di riferimento con un asse verticale y, avente origine in corrispondenza del pavimento. Le leggi orarie per le posizioni di A e B in tale sistema di riferimento sono:
Al momento dell'urto si ha che . Da cui:
ovvero si pone un vincolo al tempo dell’incontro, che in particolare è pari al tempo che impiegherebbe A per coprire la distanza se si muovesse con moto uniforme a velocità .
L’incontro avviene con A in fase ascendente se la sua velocità al tempo è ancora positiva. Nel sistema di riferimento scelto, velocità negative di A indicherebbero infatti un moto discendente. Imponendo questa condizione nella legge oraria della velocità di A al tempo :
Sostituendo l'espressione di nell'ultima equazione si trova la condizione richiesta nel problema: