Proprietà generali delle onde (superiori)

Introduzione

Dall'inizio della civiltà è noto che nei mezzi continui si possono propagare disturbi che variano sia nello spazio che nel tempo: tali disturbi sono dette onde. Le onde del mare sono l'esempio più evidente e noto fino dagli albori della civiltà. Uno dei primi tentativi scientifici di spiegare il fenomeno è dovuto a Leonardo da Vinci che cercò di studiare le onde, prodotte dal vento, sulle spighe di un campo di grano.

Per avere un'onda è in genere necessario un mezzo continuo ed una forza di richiamo elastico, una volta provocata una deformazione la forza di richiamo tende a riportare il sistema nella configurazione di equilibrio e contemporaneamente la distribuisce nel mezzo vicino.

Una caratteristica delle onde è inoltre che non trasportano materia, ma trasportano energia, quantità di moto e in alcuni casi anche momento angolare: la forza distruttiva delle onde del mare sulle barriere protettiva è dovuta al trasporto di quantità di moto o se si vuole la loro pressione (quantità di moto e pressione sono grandezze tra di loro collegate)

Equazione delle onde

L'equazione differenziale che descrive le onde ha un carattere universale viene detta equazione delle onde ed è una equazione differenziale alle derivate parziali e nel caso unidimensionale la sua espressione è:

${\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}.\$

Dove $u\$ è la grandezza che rappresenta l'allontanamento dalla posizione di equilibrio, tale grandezza può essere uno scalare o una grandezza vettoriale (ma anche un tensore). Nel caso delle onde del mare la grandezza che si allontana dalla posizione di equilibrio è la superficie dell'acqua, nel caso delle onde del grano l'allontanamento dalla posizione verticale della spiga, nel caso del suono nei fluidi è la pressione locale (o la densità). $v\$ è la velocità dell'onda ed è il parametro che dipende dal mezzo in cui viene trasmesso. In genere la velocità delle onde dipende sia dalla forza di richiamo elastica che dalla densità del mezzo. Come regola generale si ha che più elevata è la forza di richiamo elastico più alta è la velocità delle onde, contemporaneamente minore è la densità del mezzo più elevata è la velocità.

Una onda progressiva periodica: Lunghezza λ, può essere misurata dalla distanza tra due punti in cui l'onda rimane eguale a se stessa. La forma sarebbe la stessa se l'asse orizzontale fosse il tempo in questo caso la distanza tra due punti in cui l'onda rimane eguale a se stessa sarebbe il periodo

La soluzione generale dell'equazione delle onde nel caso di deformazione unidimensionale è stata derivata da d'Alembert come:

$u(x,t)=f(x-vt)+g(x+vt)\$

dove $f\$ e $g\$ sono funzioni arbitrarie corrispondenti, rispettivamente, alla onda che si muove in avanti (progressiva, la prima) e a quella che si muove all'indietro (regressiva, la seconda).

In tre dimensioni l'equazione delle onde diviene:

${\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}.\$

La sua soluzione generale vale:

$u({\vec {r}},t)=f({\vec {r}}-{\vec {v}}t)+g({\vec {r}}+{\vec {v}}t)\$

Forme d'onda

forma d'onda sinusoidale, quadra, triangolare e a dente di sega.

La forma di $f\$ nella soluzione dell'equazione di d'Alembert dipende dall'argomento $x-vt\$. Se questo argomento è costante corrisponde a un valore costante di $f\$, e questi valori sono costanti se $x\$ aumenta con la stessa velocità con cui $vt\$ aumenta. Cioè, l'onda della forma della funzione $f\$ si muoverà nella direzione positiva dell'asse delle $x\$, mentre la funzione $g\$ si muoverà alla stessa velocità nella direzione negativa dell'asse delle $x\$.

Nel caso di una funzione periodica $f\$ con periodo $\lambda \$, cioè, $f(x+\lambda -vt)=f(x-vt)\$, la periodicità di $f\$ nello spazio significa che una fotografia dell'onda ad un dato tempo $t\$ ritrae l'onda che varia periodicamente nello spazio con periodo $\lambda \$ (la lunghezza d'onda). In maniera simile, questa periodicità di $f\$ implica anche una simile periodicità nel tempo cioè $f(x-v(t+T)=f(x-vt)\$, purché $vT=\lambda \$, cioè osservando l'onda in un punto fisso dello spazio $x\$ si trova che l'onda oscilla periodicamente nel tempo con un periodo $T=\lambda /v\$.

Onde armoniche

Una onda periodica si può sempre scomporre come combinazione di funzioni sinusoidali: la cosiddetta scomposizione armonica.

Per chiarire meglio il concetto consideriamo una soluzione unidimensionale di un'onda progressiva sinusoidale (rappresentata graficamente a fianco):

$f(x,t)=A\sin[k(x-vt)+\phi ]\$

Si definisce lunghezza d'onda $\lambda \$ la distanza minima tra due creste (o la distanza minima tra due punti dello spazio in cui l'onda ritorna eguale a se stessa), algebricamente:

$k(x+\lambda )=kx+2\pi \$

$k={\frac {2\pi }{\lambda }}\$

La grandezza $k\$ viene chiamato numero d'onda.

La forma di $f\$ in funzione del tempo è simile a quella in funzione dello spazio, viene definito periodo $T\$ il tempo minimo necessario all'onda per ritornare eguale a se stessa:

$-kv(t+T)=-kvt-2\pi \$

$T={\frac {2\pi }{kv}}={\frac {\lambda }{v}}$

Nei fenomeni periodici invece che periodo si preferisce parlare del suo inverso, la frequenza:

$\nu \ ={\frac {1}{T}}\$

Quindi la relazione tra la periodicità spaziale e temporale di tutte le onde diviene:

$\lambda \nu =v\$

La rappresentazione armonica sinusoidale definendo la pulsazione $\omega \$ come:

$\omega =2\pi \nu \$

$f(x,t)=A\sin(kx-kvt+\phi )=A\sin(kx-{\frac {2\pi }{\lambda }}vt+\phi )=A\sin(kx-\omega t+\phi )\$

Nel caso tridimensionale ${\vec {k}}$ diviene il vettore d'onda con eguale modulo, ma diretto nella direzione di propagazione dell'onda. In tal caso la rappresentazione diviene:

$f({\vec {r}},t)=A\sin[{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\omega t+\phi ]\$

Fronte d'onda

Il luogo dei punti in cui l'onda ha stessa ampiezza e fase viene chiamato fronte d'onda, nel caso di una onda nello spazio tridimensionale il fronte d'onda è un elemento di una famiglia di superfici. Nel caso bidimensionale il fronte d'onda è un elemento di una famiglie di curve.

I fronti d'onda di onde piane sono dei piani paralleli

Le onde nei liquidi chiariscono il concetto. Immaginiamo di fare cadere in uno stagno un sasso, l'onde che si formano sono una serie di cerchi concentrici con il punto di caduta: in questo caso il fronte d'onda è una circonferenza. Se invece l'onda viene provocata da un debole vento che increspa la superficie si avrà un'onda piana, cioè il fronte d'onda è costituito da una linea retta.

L'estensione al caso tridimensionale è facile, infatti se abbiamo in un mezzo tridimensionale ed una sorgente puntiforme che emette in maniera isotropa, le onde avranno un fronte d'onda sferico, mentre una sorgente estesa isotropa genererà un fronte d'onda piano, come mostrato nella figura a fianco: le onde che hanno tale caratteristica sono dette onde piane. Le onde piane sono le più facili da studiare in quanto dipendono da una sola coordinata cartesiana: la direzione perpendicolare ai piani paralleli. Quando all'inizio abbiamo scritto l'equazione delle onde nel caso unidimensionale in realtà stavamo parlando della equazione caratteristica delle onde piane.