I seguenti esercizi riguardano il Magnetismo della materia studiato nella Lezione 12 di Elettromagnetismo.
Un anello di materiale ferromagnetico sottile ha un diametro di
d
=
3
c
m
{\displaystyle d=3\ cm}
, ed una sezione di
S
=
1
m
m
2
{\displaystyle S=1\ mm^{2}}
. È fatto di ferro dolce, quindi con un ciclo di isteresi stretto, con buona approssimazione la permeabilità magnetica relativa è costante e pari a
μ
r
=
1000
{\displaystyle \mu _{r}=1000}
. Se attraverso le
N
=
100
{\displaystyle N=100}
spire avvolte attorno all'anello scorre una corrente di
I
=
1
m
A
{\displaystyle I=1\ mA}
. Determinare a) la riluttanza; b) il campo di induzione magnetica all'interno del materiale; c) il momento magnetico totale dell'anello.
→ Vai alla soluzione
Un anello di materiale ferromagnetico sottile ha un perimetro di
ℓ
=
4
c
m
{\displaystyle \ell =4\ cm}
, ed una sezione di
S
=
1
m
m
2
{\displaystyle S=1\ mm^{2}}
. Assumendo la permeabilità magnetica relativa costante pari a
μ
r
=
1500
{\displaystyle \mu _{r}=1500}
. a) Quale deve essere il taglio da praticare per avere una riluttanza di
R
=
10
8
H
−
1
{\displaystyle \mathbb {R} =10^{8}H^{-1}}
.
b) Quale è la corrente da iniettare nelle
N
=
50
{\displaystyle N=50}
spire avvolte attorno all'anello per avere un campo di induzione magnetica di
B
o
=
0.1
T
{\displaystyle B_{o}=0.1\ T}
nel taglio. c) Se una volta annullata la corrente di magnetizzazione rimane l'anello magnetizzato con un campo di induzione residuo di
B
r
=
B
o
/
2
{\displaystyle B_{r}=B_{o}/2\ }
nel taglio: determinare
H
{\displaystyle H\ }
nel taglio e nel materiale ferro magnetico.
→ Vai alla soluzione
Un magnete permanente è fatto da un toro di lunghezza
ℓ
=
30
c
m
{\displaystyle \ell =30\ cm}
ed un traferro in aria di
d
=
15
m
m
{\displaystyle d=15\ mm}
. Il campo di induzione magnetica nel traferro vale
|
B
|
=
0.4
T
{\displaystyle |B|=0.4\ T}
. Determinare il campo magnetico nel magnete e la sua magnetizzazione
→ Vai alla soluzione
4. Magnete con curva di magnetizzazione [ modifica ]
La relazione tra
B
{\displaystyle B\ }
e
H
{\displaystyle H\ }
nel secondo quadrante per un magnete permanente è approssimata con la legge:
B
=
a
H
+
b
{\displaystyle B=aH+b\ }
Con
a
=
3
⋅
10
−
5
T
m
/
A
{\displaystyle a=3\cdot 10^{-5}Tm/A\ }
e
b
=
0.6
T
{\displaystyle b=0.6\ T}
. Il magnete ha una forma toroidale con lunghezza
ℓ
=
25
c
m
{\displaystyle \ell =25\ cm}
,
determinare il campo B in funzione della dimensione
d
{\displaystyle d\ }
del traferro discutendo i casi limite e in particolare per
d
=
4
c
m
{\displaystyle d=4\ cm}
.
→ Vai alla soluzione
Un elettromagnete è costituito da un materiale il cui ciclo di isteresi per quanto riguarda il caso studiato è descritto dalla legge:
B
=
B
s
(
1
−
e
−
H
/
H
s
)
H
>
0
{\displaystyle B=B_{s}(1-e^{-H/H_{s}})\qquad H>0}
con
B
s
=
1.1
T
{\displaystyle B_{s}=1.1\ T}
e
H
s
=
2000
A
/
m
{\displaystyle H_{s}=2000\ A/m}
.
La lunghezza della parte ferromagnetica è
L
=
30
c
m
{\displaystyle L=30\ cm}
, mentre la spaziatura di ciascuno due traferri è di
G
=
2
m
m
{\displaystyle G=2\ mm}
e la bobina di alimentazione è fatta di
N
=
40
{\displaystyle N=40\ }
spire. Determinare: a) la permeabilità magnetica per piccoli campi magnetici; b)
il valore della corrente necessaria generare nel traferro un campo di
B
=
0.6
T
{\displaystyle B=0.6\ T}
.
Trascurare il flusso disperso (che viene mostrato in maniera esagerata nella figura).
→ Vai alla soluzione
Il circuito magnetico mostrato a fianco è costituito da sette rami a forma di parallelepipedo di lunghezza
ℓ
=
30
c
m
{\displaystyle \ell =30\ cm}
e sezione costante
S
=
1
m
m
2
{\displaystyle S=1\ mm^{2}}
. Il materiale di cui è fatto il circuito magnetico è ferromagnetico con una permeabilità
μ
r
=
1000
{\displaystyle \mu _{r}=1000\ }
. La bobina che alimenta il circuito è fatta da
N
=
20
{\displaystyle N=20\ }
spire percorse da una corrente
I
=
5
A
{\displaystyle I=5\ A}
.
Determinare a) la riluttanza totale del circuito magnetico vista dalla bobina di alimentazione; b)
B
,
H
,
M
{\displaystyle B,H,M\ }
nel primo, secondo e terzo ramo parallelo verticale.
→ Vai alla soluzione
→ Vai alla traccia
a)
La lunghezza del percorso magnetico vale
ℓ
=
π
d
=
0.094
m
{\displaystyle \ell =\pi d=0.094\ m}
. Quindi la riluttanza vale:
R
=
ℓ
μ
o
μ
r
S
=
74
⋅
10
6
H
−
1
{\displaystyle \mathbb {R} ={\frac {\ell }{\mu _{o}\mu _{r}S}}=74\cdot 10^{6}H^{-1}}
b)
Essendo un anello sottile l'intensità del campo magnetico è semplicemente pari a:
|
H
|
=
N
I
ℓ
=
1.07
A
/
m
{\displaystyle |H|={\frac {NI}{\ell }}=1.07\ A/m}
Quindi il campo di induzione magnetica vale:
|
B
|
=
μ
o
μ
r
|
H
|
=
1.3
m
T
{\displaystyle |B|=\mu _{o}\mu _{r}|H|=1.3mT\ }
c)
Il vettore magnetizzazione vale:
|
M
|
=
(
μ
r
−
1
)
|
H
|
=
1070
A
/
m
{\displaystyle |M|=(\mu _{r}-1)|H|=1070\ A/m}
Quindi il momento magnetico totale vale:
|
m
|
=
|
M
|
ℓ
S
=
1
⋅
10
−
4
A
m
2
{\displaystyle |m|=|M|\ell S=1\cdot 10^{-4}\ Am^{2}}
→ Vai alla traccia
a)
Chiamata
R
o
{\displaystyle \mathbb {R} _{o}\ }
la riluttanza dell'anello non tagliato vale:
R
o
=
ℓ
μ
o
μ
r
S
=
21
⋅
10
6
H
−
1
{\displaystyle \mathbb {R} _{o}={\frac {\ell }{\mu _{o}\mu _{r}S}}=21\cdot 10^{6}H^{-1}\ }
Mentre la riluttanza totale vale:
R
=
R
o
+
R
t
{\displaystyle \mathbb {R} =\mathbb {R} _{o}+\mathbb {R} _{t}\ }
Dove
R
t
{\displaystyle \mathbb {R} _{t}\ }
è la riluttanza della zona con taglio, che definendo
d
{\displaystyle d\ }
la dimensione del taglio, è pari a:
R
t
=
d
μ
o
S
{\displaystyle \mathbb {R} _{t}={\frac {d}{\mu _{o}S}}\ }
Quindi:
d
=
μ
o
S
(
R
−
R
o
)
=
10
μ
m
{\displaystyle d=\mu _{o}S(\mathbb {R} -\mathbb {R} _{o})=10\ \mu m\ }
b)
Essendo:
N
I
=
R
ϕ
=
R
B
S
{\displaystyle NI=\mathbb {R} \phi =\mathbb {R} BS\ }
segue che:
I
=
R
B
S
N
=
0.2
A
{\displaystyle I={\frac {\mathbb {R} BS}{N}}=0.2\ A}
c)
Il campo H_t e B_t=B_r nel taglio essendoci il vuoto sono paralleli e legati dalla relazione:
H
t
=
B
r
μ
o
=
B
o
2
μ
o
=
39789
A
/
m
{\displaystyle H_{t}={\frac {B_{r}}{\mu _{o}}}={\frac {B_{o}}{2\mu _{o}}}=39789\ A/m}
Dovendo essere:
H
t
d
+
H
m
ℓ
=
0
{\displaystyle H_{t}d+H_{m}\ell =0\ }
H
m
=
−
H
t
d
ℓ
=
−
98
A
/
m
{\displaystyle H_{m}=-H_{t}{\frac {d}{\ell }}=-98\ A/m}
cioè il campo magnetico all'interno dell'anello è in direzione opposta a quello esterno.
Notiamo come invece
M
{\displaystyle M\ }
sia:
M
=
B
o
2
μ
o
−
H
m
=
39887
A
/
m
{\displaystyle M={\frac {B_{o}}{2\mu _{o}}}-H_{m}=39887\ A/m}
→ Vai alla traccia
Il campo magnetico nel traferro vale:
H
t
=
B
μ
0
=
3.2
⋅
10
5
A
/
m
{\displaystyle H_{t}={\frac {B}{\mu _{0}}}=3.2\cdot 10^{5}\ A/m}
Il campo magnetico nel magnete si ricava dal fatto che:
H
t
d
+
H
m
ℓ
=
0
{\displaystyle H_{t}d+H_{m}\ell =0\ }
Quindi
H
m
{\displaystyle H_{m}\ }
è in direzione opposta a
B
{\displaystyle B\ }
all'interno del magnete:
H
m
=
−
H
t
d
ℓ
=
−
1.6
⋅
10
4
A
/
m
{\displaystyle H_{m}=-H_{t}{\frac {d}{\ell }}=-1.6\cdot 10^{4}\ A/m}
Il vettore magnetizzazione vale:
M
=
B
μ
0
−
H
m
=
3.3
⋅
10
5
A
/
m
{\displaystyle M={\frac {B}{\mu _{0}}}-H_{m}=3.3\cdot 10^{5}\ A/m}
4. Magnete con curva di magnetizzazione [ modifica ]
→ Vai alla traccia
Il campo magnetico nel magnete si ricava dal fatto che:
H
t
d
+
H
m
ℓ
=
0
{\displaystyle H_{t}d+H_{m}\ell =0\ }
Quindi
H
m
{\displaystyle H_{m}\ }
è in direzione opposta a
B
{\displaystyle B\ }
all'interno del magnete:
H
m
=
−
H
t
d
ℓ
=
−
B
d
μ
0
ℓ
{\displaystyle H_{m}=-H_{t}{\frac {d}{\ell }}=-{\frac {Bd}{\mu _{0}\ell }}}
Quindi dovendo essere:
B
=
−
B
a
d
μ
0
ℓ
+
b
{\displaystyle B=-{\frac {Bad}{\mu _{0}\ell }}+b\ }
Si ha che:
B
=
b
1
+
a
d
/
(
μ
0
ℓ
)
{\displaystyle B={\frac {b}{1+ad/(\mu _{0}\ell )}}\ }
cioè per
a
d
/
(
μ
0
ℓ
)
≪
1
{\displaystyle ad/(\mu _{0}\ell )\ll 1\ }
B
≈
b
{\displaystyle B\approx b\ }
, mentre se
a
d
/
(
μ
0
ℓ
)
≫
1
{\displaystyle ad/(\mu _{0}\ell )\gg 1\ }
si ha che:
B
≈
μ
0
ℓ
b
a
d
{\displaystyle B\approx {\frac {\mu _{0}\ell b}{ad}}\ }
cioè inversamente proporzionale alla dimensione del traferro. Nel caso specifico essendo:
a
d
μ
0
ℓ
=
3.8
{\displaystyle {\frac {ad}{\mu _{0}\ell }}=3.8\ }
B
=
0.12
T
{\displaystyle B=0.12\ T\ }
→ Vai alla traccia
a)
Se
H
≪
H
s
{\displaystyle H\ll H_{s}\ }
posso approssimare l'esponenziale con:
e
−
H
/
H
s
≈
1
−
H
H
s
{\displaystyle e^{-H/H_{s}}\approx 1-{\frac {H}{H_{s}}}\ }
Quindi:
B
≈
B
s
H
H
s
=
μ
o
μ
r
H
{\displaystyle B\approx {\frac {B_{s}H}{H_{s}}}=\mu _{o}\mu _{r}H\ }
Quindi:
μ
r
=
B
s
μ
o
H
s
=
438
{\displaystyle \mu _{r}={\frac {B_{s}}{\mu _{o}H_{s}}}=438\ }
b)
In un elettromagnete se il flusso disperso è trascurabile il campo di induzione magnetica nel traferro è eguale a quello nel nucleo.
Il campo magnetico assume due valori diversi nel traferro:
H
T
=
B
o
μ
o
=
4.8
⋅
10
5
A
/
m
{\displaystyle H_{T}={\frac {B_{o}}{\mu _{o}}}=4.8\cdot 10^{5}\ A/m\ }
Mentre all'interno del ferromagnete bisogna tenere conto della relazione che lega B ad H
occorre cioè trovare
H
F
{\displaystyle H_{F}\ }
tale che:
B
o
=
B
s
(
1
−
e
−
H
F
/
H
s
)
{\displaystyle B_{o}=B_{s}(1-e^{-H_{F}/H_{s}})}
La cui soluzione è:
H
F
=
H
s
log
(
1
−
B
o
/
B
s
)
=
1570
A
/
m
{\displaystyle H_{F}=H_{s}\log(1-B_{o}/B_{s})=1570\ A/m}
Dovendo essere per il teorema della circuitazione:
N
I
=
H
F
L
+
H
o
2
G
{\displaystyle NI=H_{F}L+H_{o}2G}
Segue che:
I
=
H
F
L
N
+
B
o
2
G
N
μ
o
=
60
A
{\displaystyle I={\frac {H_{F}L}{N}}+{\frac {B_{o}2G}{N\mu _{o}}}=60\ A}
→ Vai alla traccia
La riluttanza di un solo ramo:
R
o
=
ℓ
μ
o
μ
r
S
=
2.4
⋅
10
8
H
−
1
{\displaystyle \mathbb {R} _{o}={\frac {\ell }{\mu _{o}\mu _{r}S}}=2.4\cdot 10^{8}H^{-1}}
La riluttanza totale è dato dalla serie di
R
m
1
=
3
R
o
{\displaystyle \mathbb {R} _{m1}=3R_{o}}
con il parallelo di
R
m
2
=
R
o
{\displaystyle \mathbb {R} _{m2}=R_{o}}
e
R
m
3
=
3
R
o
{\displaystyle \mathbb {R} _{m3}=3R_{o}}
cioè:
R
T
=
R
m
1
+
R
m
2
R
m
3
R
m
2
+
R
m
3
=
3
R
o
+
R
o
3
R
o
R
o
+
3
R
o
=
15
4
R
o
=
9
⋅
10
8
H
−
1
{\displaystyle \mathbb {R} _{T}=\mathbb {R} _{m1}+{\frac {\mathbb {R} _{m2}\mathbb {R} _{m3}}{\mathbb {R} _{m2}+\mathbb {R} _{m3}}}=3\mathbb {R} _{o}+{\frac {\mathbb {R} _{o}3\mathbb {R} _{o}}{\mathbb {R} _{o}+3\mathbb {R} _{o}}}={\frac {15}{4}}\mathbb {R} _{o}=9\cdot 10^{8}H^{-1}}
Quindi :
ϕ
=
N
I
R
T
=
1.11
⋅
10
−
7
T
m
2
{\displaystyle \phi ={\frac {NI}{\mathbb {R} _{T}}}=1.11\cdot 10^{-7}\ Tm^{2}}
quindi:
B
1
=
ϕ
1
S
=
0.11
T
H
1
=
B
1
μ
o
μ
r
=
87
A
/
m
M
1
=
(
μ
r
−
1
)
H
1
=
8691
A
/
m
{\displaystyle B_{1}={\frac {\phi _{1}}{S}}=0.11\ T\qquad H_{1}={\frac {B_{1}}{\mu _{o}\mu _{r}}}=87\ A/m\qquad M_{1}=(\mu _{r}-1)H_{1}=8691\ A/m}
Inoltre essendo:
N
I
=
3
ℓ
H
1
+
ℓ
H
2
{\displaystyle NI=3\ell H_{1}+\ell H_{2}}
N
I
=
3
ℓ
H
1
+
3
ℓ
H
3
{\displaystyle NI=3\ell H_{1}+3\ell H_{3}}
Segue che:
H
2
=
3
H
3
{\displaystyle H_{2}=3H_{3}\ }
e anche:
ϕ
2
=
3
ϕ
3
{\displaystyle \phi _{2}=3\phi _{3}\ }
Quindi dovendo essere:
ϕ
=
ϕ
2
+
ϕ
3
=
4
ϕ
3
{\displaystyle \phi =\phi _{2}+\phi _{3}=4\phi _{3}\ }
Segue che:
B
3
=
B
1
4
=
0.0275
T
H
3
=
H
1
4
=
22
A
/
m
M
3
=
M
1
4
=
2172
A
/
m
{\displaystyle B_{3}={\frac {B_{1}}{4}}=0.0275\ T\qquad H_{3}={\frac {H_{1}}{4}}=22\ A/m\qquad M_{3}={\frac {M_{1}}{4}}=2172\ A/m}
B
2
=
3
B
1
4
=
0.0825
T
H
2
=
3
H
1
4
=
65
A
/
m
M
2
=
3
M
1
4
=
6520
A
/
m
{\displaystyle B_{2}=3{\frac {B_{1}}{4}}=0.0825\ T\qquad H_{2}=3{\frac {H_{1}}{4}}=65\ A/m\qquad M_{2}=3{\frac {M_{1}}{4}}=6520\ A/m}