Dinamica del punto (superiori)

La dinamica cerca di dare una spiegazione delle cause che determinano il moto di un punto materiale, descritto dalla cinematica. L'osservazione più elementare apparente è che se non agisce nessuna azione esterna il punto materiale rimane immobile. Tutta la dinamica del punto materiale si riduce a tre leggi, che sono state ricavate sperimentalmente a partire dal 1600.

Principio d'inerzia ( detto anche Prima legge della dinamica)

Tutti i corpi mantengono il loro stato di quiete o di moto rettilineo uniforme se non agisce
su di essi nessuna forza.

Il risultato di questa affermazione è dovuto a Galileo, sulla base di estrapolazioni di esperimenti scientifici. Prima di Galileo secondo la fisica Aristotelica si credeva che lo stato di quiete fosse l'unico possibile in assenza di azioni esterne. Cioè che per avere il moto anche rettilineo uniforme fosse necessaria una qualche azione dall'esterno.

Sistemi di riferimento inerziali

Il primo principio non è banalmente un caso particolare del secondo principio, che vedremo nel seguito, ma ne chiarisce l'ambito di validità, ovvero definisce quali sono i sistemi di riferimento inerziali, cioè quelli su cui agiscono esclusivamente forze reali (azione o interazione tra due corpi). Cioè se osservo che in assenza di forze esterne lo stato cinematico di un corpo non è un moto rettilineo uniforme significa che il sistema in cui mi trovo non è inerziale.

Un sistema di riferimento inerziale è un sistema in cui il moto di un punto materiale appare rettilineo uniforme, se non agisce su di esso nessuna azione esterna. Inoltre, ed è un corollario di tale osservazione, esistono infiniti sistemi di riferimento inerziali: sono tutti quelli che si muovono di moto rettilineo uniforme rispetto a quello considerato. Un sistema di riferimento per essere inerziale non deve né accelerare né ruotare. Ad esempio, in prima approssimazione, la terra si può considerare un sistema di riferimento inerziale, ma se si considera ha sia un moto di rotazione intorno al proprio asse sia un moto rotatorio attorno al sole non è un sistema inerziale. Mentre una astronave che si muova a velocità costante nello spazio intersiderale è un sistema di riferimento inerziale.

Un accelerometro, lo strumento utilizzato per misurare l'accelerazione all'interno di un sistema di riferimento, misura zero accelerazione se il sistema è inerziale. Poiché ogni strumento di misura ha una sensibilità minima, il non essere inerziale non viene misurato strumentalmente se il sistema è quasi inerziale. In tale caso il sistema con buona approssimazione si può considerare inerziale.

Le leggi della fisica hanno la stessa forma in tutti i sistemi di riferimento inerziali. Mentre nei sistemi di riferimento non inerziali, cioè quelli che hanno una qualche forma di accelerazione rispetto ai sistemi di riferimento inerziali debbono essere introdotte delle forze apparenti per tenere conto delle accelerazioni del sistema di riferimento non inerziale. Per esempio una palla lasciata cadere verticalmente dal punto di vista di un osservatore sulla terra (quindi non inerziale) non va esattamente in linea retta, ma cade in un punto non esattamente sulla verticale. Un osservatore su un sistema di riferimento inerziale osserverebbe che mentre il corpo cade la terra ruota intorno al proprio asse e per questa ragione il punto di impatto non è la verticale. Mentre l'osservatore non inerziale sulla terra per giustificare il moto non rettilineo deve invocare l'esistenza di forze apparenti.

Seconda legge della dinamica (detta anche II legge di Newton)

La accelerazione di un punto materiale è direttamente proporzionale e nella stessa direzione
della forza totale che agisce sul corpo ed inversamente proporzionale alla sua massa.

${\vec {F}}=m{\vec {a}}=m{\frac {d{\vec {v}}}{dt}}=m{\frac {d^{2}{\vec {r}}}{dt^{2}}}$

(1)

Tale legge della dinamica è dovuta a Newton e introduce sia la forza (azione dall'esterno, una grandezza vettoriale) che un'altra proprietà del punto materiale che finora non era stata introdotta che rappresenta la quantità di materia del punto materiale stesso: la sua massa $m\$.

Sistema Internazionale

Massa campione depositata in Francia.

L'introduzione della massa completa il sistema internazionale (abbreviato in SI) di unità di misura per quanto riguarda la meccanica. La grandezza fisica massa viene indicata con [M], le altre due grandezze di base della meccanica, la lunghezza e tempo, introdotte già nella cinematica si indicano rispettivamente con [L] e [T]. Notare come si usino le parentesi quadre per indicare le unità di misura. L'unità di misura della massa nel SI è il chilogrammo che è la massa di un particolare cilindro di altezza e diametro pari a 0,039 m di una lega di platino-iridio depositato presso l'Ufficio internazionale dei pesi e delle misure a Sèvres, in Francia. Un chilogrammo è anche circa la massa di un litro di acqua a 4 °C.

La forza è una grandezza derivata le cui dimensioni fisiche sono ricavabili dalla seconda legge della dinamica:

$[F]=[M][L][T^{2}]\$

L'unità di misura della forza nel SI è il newton, definito come:

$\mathrm {1\,N=1\,{\frac {\mathrm {kg} \cdot \mathrm {m} }{s^{2}}}}$

Quindi se la stessa forza agisce su corpi con massa diversa l'accelerazione sarà maggiore nei corpi con minore massa. Il concetto di massa viene nel linguaggio comune confuso con il concetto di peso, che è invece una forza dovuta alla gravitazione come vedremo nel seguito.

La legge di Newton definisce la massa come una misura della resistenza dei corpi al variare del loro stato di moto (accelerazione) a causa di una azione esterna: la massa che deriva dalla seconda equazione della dinamica è detta massa inerziale. Gli strumenti che misurano le forze vengono chiamati dinamometri.

Questo modo di interpretare la seconda legge di Newton ci permette quindi di legare le proprietà cinematiche del movimento alle cause che lo provocano.

Sovrapposizione delle Forze

Risultante di due forze.

Si definisce forza risultante la somma vettoriale di tutte le forze ${\vec {F_{1}}},{\vec {F_{2}}},\ldots ,{\vec {F_{N}}}$ applicate ad un sistema:

${\vec {R}}=\sum _{i}^{N}{\vec {F_{i}}}$

(2)

Se il sistema è un punto materiale la dinamica del punto è data semplicemente dalla seconda equazione della dinamica che diviene:

${\vec {R}}=m{\vec {a}}\$

Terza legge della dinamica (legge di azione e reazione)

Una figura che illustra la legge di azione e reazione. Il pattinatore A esercita una forza normale F_AB sul secondo pattinatore B verso destra, ed il secondo pattinatore esercita una forza normale F_BA sul primo pattinatore verso sinistra.

Quando un corpo esercita una forza su un secondo corpo, il secondo corpo simultaneamente  esercita 
una forza eguale e contraria in ampiezza ed opposta alla direzione di quella del primo corpo.

Tale legge stabilisce che tutte le forze esistono in coppie: se un oggetto A esercita una forza F_A su un secondo aggetto B, allora B esercita simultaneamente una forza F_B su A, e le due forze sono eguali ed opposte:

${\vec {F}}_{AB}=-{\vec {F}}_{BA}\$

(3)

Le due forze nella legge di azione e reazione sono dello stesso tipo (cioè se le strada esercita una forza trainante sulle gomme di una macchina in accelerazione, vi è anche una forza di attrito da parte delle ruote sulla strada nella direzione opposta).

Vale la pena di considerare due altri casi: quando una persona cammina spinge contro il suolo ed il suolo spinge la persona; nel nuoto, una persona interagisce con l'acqua, spingendo l'acqua indietro, e simultaneamente l'acqua spinge la persona in avanti. In tutti questi casi la forza dipende dall'attrito che vedremo in seguito.

Equilibrio

Il concetto di equilibrio, ora che sappiamo da cosa è provocato il movimento, dovrebbe essere più chiaro.

Vi sono due possibili tipi di equilibrio: equilibrio statico che impone un'assenza di movimento ed equilibrio dinamico che comporta un mantenimento dello stato di movimento (moto rettilineo uniforme).

In entrambi i casi si tratta di una situazione nella quale non vi sono variazioni dello stato del moto del corpo e cioè la somma delle forze che agiscono sul corpo detta risultante deve essere nulla.

${\vec {R}}=\sum _{i}{\vec {F}}_{i}=0$

(4)

ed il moto deve avvenire con velocità costante.

Quando un corpo soggetto a forze rimane fermo si può dedurre che la risultante delle forze è nulla.

Analisi di vari tipi di forze

In natura, da un punto di vista microscopico, esistono solo quattro forze, che non vengono chiamate con questo nome, ma vengono dette interazioni, in quanto agiscono a distanza; il concetto di forza è proprio solo della fisica classica, mentre la fisica moderna parla solo di interazioni. L'interazione forte tiene insieme i nuclei atomici, mentre l'interazione debole è responsabile di alcuni fenomeni particolari delle particelle elementari: entrambe queste interazioni agiscono a brevissima distanza. Mentre le altre due interazioni fondamentali della natura quella elettromagnetica e quella gravitazionale agiscono a grande distanza. L'interazione forte e debole sono studiate nei corsi avanzati di fisica, mentre la forza gravitazionale e la forza elettrica sono trattate nel seguito di questo wikibook.

In realtà nel mondo macroscopico si preferisce non studiare la natura elementare e dare una descrizione semplificata delle forze per come appaiono o per gli effetti che producono.

La forza peso

La Terra ha una forma praticamente sferica e attrae i corpi sulla sua superficie con una forza detta forza peso, diretta verso il centro della terra che vale:

${\vec {P}}=m_{g}{\vec {g}}$

(5)

Dove m_g è la massa gravitazionale degli oggetti che coincide per quanto ne sappiamo sperimentalmente con una precisione di 3x10^-14 con la massa inerziale. Mentre $g=9.8m/s^{2}$ è l'accelerazione di gravità che ha piccole variazioni sulla superficie della terra. Il raggio della Terra, 6375 km, è così grande che in realtà nella maggior parte dei casi la terra si può approssimare con un piano e quindi g è diretta verso il basso.

Il moto verticale dei gravi e il moto parabolico sono un tipico esempio della dinamica in presenza della sola forza peso, in realtà per quanto le due traiettorie siano diverse (una retta ed una parabola), se ci si mette in un sistema di riferimento inerziale con velocità eguale a quella tangenziale del moto parabolico esso ci apparirà come un moto verticale. Cioè se ad esempio all'interno di un aereo che viaggia di moto rettilineo uniforme facciamo cadere un oggetto: chi sta nell'aereo osserverà una caduta verticale, mentre per un osservatore all'esterno, per il quale l'aereo si muove di moto rettilineo uniforme, il moto apparirà parabolico.

L'equivalenza tra massa gravitazionale ed inerziale va sotto il nome di principio di equivalenza ed è alla base della relatività generale. Non viene fatta nel seguito nessuna distinzione tra massa inerziale e gravitazionale e si indicheranno con lo stesso simbolo m.

Il peso, seppure nel linguaggio comune si confonda con la massa, andrebbe misurato in Newton: quindi un oggetto di massa 100 kg ha un peso di 980 N.

Reazione vincolare

Un corpo di massa 200 kg poggiato su un tavolo subisce da parte del tavolo una forza verso l'alto eguale al suo peso, a sua volta il piano è in equilibrio statico a causa della reazione vincolare del piano di appoggio, indicate con ${\vec {F}}_{L}\$.

Se poniamo un punto materiale sopra un piano solido il corpo soggetto alla forza peso rimane in equilibrio. Esiste quindi una forza eguale e contraria esercitata dal piano, detta reazione vincolare che bilancia la forza peso. Notiamo che tale forza dipende dalla forza normale alla superficie, cioè se comprimiamo il corpo con una forza maggiore del suo peso esso nel limite della resistenza con cui è fatto il piano, rimane in equilibrio: quindi a differenza della forza peso la reazione vincolare è una forza diretta sul corpo dal basso verso l'alto che si oppone alla forza normale alla superficie esercitata su di esso. Ovviamente per il principio di azione e reazione dal punto di vista del piano di appoggio esiste una forza opposta alla reazione vincolare che agisce dal punto materiale al piano.

La reazione vincolare è sempre normale alla superficie del vincolo e in genere si indica con ${\vec {N}}\$ e al contrario della forza peso (che è determinata da g ed m) essa ha un valore dipendente dalle altre forze compressive agenti sul corpo, ed il suo valore è esattamente eguale alle altre forze agenti sulla superficie (in compressione) ma di segno opposto.

La reazione vincolare ha lo stesso valore nel caso della dinamica dei corpi. Anche se qui è stata introdotta nel caso statico.

Forza di attrito statico

Equilibrio di un corpo soggetto alla forza peso, la reazione vincolare N, una forza diretta verso sinistra e la forza $F_{f}\$ di attrito statico. Il coefficiente d'attrito dipende dalle due superfici in contatto come mostrato graficamente nel disegno ingrandito.

La forza di attrito è generata dal contatto tra due corpi.

A seconda del materiale del quale i corpi sono composti questa forza sviluppa una reazione di intensità differente. La forza ha quindi una dipendenza da un parametro che chiamiamo coefficiente di attrito ed indichiamo con $\mu _{s}\,\!$ (tale parametro è adimensionale).

La forza di attrito statico non ha un modulo direzione e verso fissate, la direzione ed il verso sono tali da opporsi alla risultante delle forze esterne applicate parallele al piano, mentre il modulo è esattamente eguale alla risultante delle forze esterne parallele al piano applicate. Il modulo della forza di attrito statico non può superare il valore di:

$|F_{s}|\leq \mu _{s}|N|\$

(6)

Cioè è determinato in qualche misura dalla reazione vincolare, cioè più grande è la reazione vincolare più grande è la forza di attrito che può essere esercitata. In definitiva la risultante delle forze è nulla ed il corpo si trova in condizione di equilibrio statico.

Il coefficiente di attrito statico è compreso normalmente tra 0.04 per il teflon su molte superfici e 1 per la gomma su cemento. Anche se bisogna aggiungere che ad esempio le gomme delle macchine di formula 1 il coefficiente di attrito è molto maggiore di 1 e nell'altro estremo interponendo tra due superfici lisci uno strato di gas si riescono ad ottenere coefficienti di attrito statico minori 0.01. Inoltre il coefficiente di attrito statico dipende anche se si è su una superficie asciutta ($\mu _{s}\,\!$ più grande) o bagnata ($\mu _{s}\,\!$ più piccola). Quando si verifica che: $|F_{s}|>\mu _{s}|N|\$ , il corpo inizia a muoversi ed entra in gioco un tipo di attrito dinamico.

Nelle macchine per aumentare l'attrito statico, che determina la massima velocità ottenibile senza slittare, vengono aggiunti gli alettoni, i quali aumentano il valore della reazione vincolare esercitando una elevata forza dall'alto verso il basso che si va ad aggiungere la peso proprio del veicolo.

Un esercizio su una cassa che deve essere spostata può chiarire quanto detto.

Forza di attrito dinamico

Dinamica di un corpo soggetto ad una forza trainante (Pushing) a cui si oppone la forza di attrito statico (Friction).

La forza di attrito dinamico è generata dal contatto tra due corpi che si muovono uno rispetto all'altro. Può essere anche in questo caso definito un coefficiente di attrito dinamico che indichiamo con $\mu _{d}\,\!$ (anche tale parametro è adimensionale). Il valore di $\mu _{d}\,\!$ è sempre un poco inferiore a $\mu _{s}\,\!$ come si può verificare sperimentalmente mediante un piano inclinato. L'espressione della forza di attrito dinamico è:

${\vec {F}}_{d}=-\mu _{d}|N|{\hat {v}}\$

(7)

Dove ${\hat {v}}\,\!$ è il versore velocità. La forza di attrito dinamico ha un valore ben preciso (al contrario dell'attrito statico per cui è fissato un massimo).

Due esercizi specifici uno su due cubi e l'altro su una piastra con sopra un oggetto sono esempi di attrito dinamico.

Piano inclinato

Un piano inclinato: mg forza peso, N reazione vincolare, f forza di attrito statico.

Il piano inclinato è stato studiato in dettaglio da Galileo per stabilire le leggi della dinamica e della statica.

Consideriamo prima il caso statico indicato nella figura a fianco. Sul corpo agisce la forza peso (mg), la reazione vincolare (N) e la forza di attrito statico (f). Il piano è inclinato di $\theta \$ rispetto alla direzione orizzontale. La reazione vincolare N è eguale ed opposta alla componente della forza peso nella direzione normale al piano

$N+mg\ cos\theta =0\qquad \rightarrow N=-mg\cos \theta \$

Mentre la componente della forza peso, che non è compensata dalla reazione vincolare in quanto parallela al piano di appoggio, è eguale ed opposta alla forza di attrito statico:

$f+mg\ sin\theta =0\qquad \rightarrow f=-mg\ sin\theta \$

Quindi imponendo

$|f|\leq \mu _{s}|N|\$

$mg\ sin\theta \leq \mu _{s}mg\cos \theta \$

Quindi la condizione di avere equilibrio statico è:

$\tan \theta \leq \mu _{s}\$

Il valore del coefficiente di attrito statico si ottiene semplicemente dalla misura di un angolo: la tangente dell'angolo per cui il corpo posto su un piano inclinato smette di essere in equilibrio statico è il coefficiente di attrito statico.

Se l'angolo del piano inclinato è superiore a quello imposto dall'attrito statico si ha un moto accelerato uniforme con una forza di trascinamento nella direzione dell'inclinazione del piano pari $mg\ sin\theta \$ a cui si oppone nello stesso verso con direzione opposta la forza di attrito dinamico $\mu _{d}N=\mu _{d}mg\ cos\theta \$, quindi la seconda equazione della dimamica diventa:

$ma=mg\sin \theta -\mu _{d}mg\cos \theta \$

Una figura raffigurante le forze coinvolte nel sospendere una palla da un'impalcatura mediante una corda. Ciascuna forza è mostrata nel suo punto di azione ed è identificata dall'oggetto su cui agisce. La tensione nella fune viene mostrata come agisce sulla sfera e sulla impalcatura ed anche in un segmento della corda.

Di conseguenza l'accelerazione vale:

$a=g\sin \theta -\mu _{d}\cos \theta \$

(8)

Il piano inclinato permette di far muovere il corpo con una forza di trascinamento che è minore della forza di gravità, quindi il moto si svolge più lentamente ed è più facile il suo studio.

Qui vengono consigliati tre esercizi: semplice piano inclinato, la combinazione di un piano inclinato ed un piano orizzontale e moto in salita e discesa su un piano inclinato.

Tensione

La tensione è la forza di trazione esercitata da una corda, un cavo, una catena, o un analogo oggetto solido su un altro oggetto. La tensione è l'opposto della compressione o se si vuole della reazione vincolare. La direzione della tensione è lungo il cavo su cui si esercita.

In genere si trascura la massa del cavo o fune che esercita la tensione. La tensione compare sia in statica che in dinamica.

La direzione di azione per quanto riguarda i corpi è opposta a quella della reazione vincolare. Si osserva in figura che la forza peso della sfera viene bilanciata dalla tensione del filo, ma il filo esercita una forza di tensione eguale ed opposta sulla impalcatura. La figura mostra via via le varie forze che derivano dal principio di azione e reazione.

La tensione determina condizioni di equilibrio statico come nel caso di due esercizi proposti: una trave inclinata retta da un cavo con un carico o una piattaforma ruotante

Azione delle forze

Riprendiamo la relazione principale della dinamica e proviamo a definire come una forza influenza il moto. Come abbiamo visto in cinematica l'accelerazione nel piano è data da ${\vec {a}}={\vec {a}}_{T}+{\vec {a}}_{N}$ (eq.10 della cinematica) e quindi possiamo scrivere

${\vec {F}}=m{\vec {a}}=m{\vec {a}}_{T}+m{\vec {a}}_{N}=m{\frac {dv}{dt}}{\vec {u}}_{T}+m{\frac {v^{2}}{R}}{\vec {u}}_{N}$

(9)

e notiamo come la forza "provochi" una accelerazione con due componenti, una tangenziale alla traiettoria ed una normale e diretta verso il centro di curvatura della traiettoria detta accelerazione centripeta.

La forza quindi può essere divisa in due componenti: una dà un contributo tangenziale che provoca una variazione del modulo della velocità, ed una diretta verso il centro di curvatura della traiettoria e quindi ortogonale che determina una variazione della direzione della velocità e quindi del moto.

Forze centripete

Il moto su una traiettoria circolare o su un arco di traiettoria abbiamo visto in cinematica che è caratterizzato nel caso generale da due componenti della accelerazione: una componente centripeta, cioè diretta verso il centro e necessaria, ed una parallela alla traiettoria, solo se la velocità angolare (o il modulo della velocità) varia nel tempo. Quindi nel caso di un moto circolare è sempre presente una forza centripeta:

$F_{c}=m\omega ^{2}R=m{\frac {v^{2}}{R}}\$

(10)

Essendo il modulo $v=\omega R\$ il modulo della velocità istantanea ed $R\$ il raggio della traiettoria. Non è una categoria a parte di forze, ma alcune delle forze che abbiamo visto finora si comportano come forze centripete, ad esempio la forza di gravità determina il moto circolare dei satelliti intorno alla terra o la forza di attrito statico permette alle macchine di muoversi su una strada in curva senza sbandare. I due esempi successivi mostrano l'effetto della tensione come forza centripeta.

Pendolo Semplice

Il pendolo semplice.

Un esempio di moto circolare (su un arco di circonferenza) è il moto di un pendolo semplice. Il pendolo semplice è un sistema composto da un punto materiale appeso a un punto fisso tramite un filo inestensibile di massa trascurabile come in figura. Sul punto materiale agisce la forza peso e la tensione del filo.

Il punto percorre una traiettoria curva con raggio pari alla lunghezza del filo $l\$, che è un tratto di una traiettoria circolare. La II equazione della dinamica è:

$m{\vec {g}}+{\vec {T}}_{f}=m{\vec {a}}$

Se le forze agenti vengono scomposte lungo gli assi del sistema di riferimento centrato sul punto e con un asse cartesiano lungo il filo. La forza peso ha una componente lungo la direzione del filo e una direzione opposta alla tensione del filo e quindi lungo questa direzione la risultante delle forze è uguale alla forza centripeta e quindi:

$R_{T}=T_{f}-mg\cos \theta =ma_{N}=m{\frac {v^{2}}{l}}\,\!$

mentre lungo la tangente alla traiettoria avremo la sola componente della forza peso:

$R_{N}=-mg\sin \theta =ma_{T}=ml{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}\,\!$

Dalla prima di queste equazioni segue che la tensione del filo (varia durante il moto) essendo:

$T_{f}=m(g\cos \theta +{\frac {v^{2}}{l}})\,\!$

La tensione è quindi massima nella posizione verticale in cui $\cos \theta \$ e $v\$ assumono il massimo valore, ed è minima quando raggiunge il punto più alto della traiettoria.

Tornando alla seconda equazione

${\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {g}{l}}\sin \theta =0$

La sua soluzione non è banale, tranne nel caso di piccolo oscillazioni, infatti per piccoli angoli possiamo utilizzare lo sviluppo in serie di Taylor per la funzione $\sin \theta \,\!$ che è $\sin \theta =\theta -{\frac {\theta ^{3}}{3!}}+\dots$. Se ci limitiamo al primo ordine (ipotesi vera per piccoli angoli) quindi :$\sin \theta \simeq \theta$

Quindi possiamo scrivere:

${\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {g}{l}}\theta =0$

(11)

La soluzione di tale equazione è stata già vista in cinematica nel caso del moto armonico. Quindi la soluzione generale è:

$\theta =\theta _{0}\sin(\Omega t+\phi )\,\!$

Dove $\theta _{0}\$ è l'angolo massimo raggiunto (che dipende dalle condizioni iniziali) e $\phi \$ dipende da dove si trovava l'oggetto nel momento iniziale, mentre $\Omega ={\sqrt {\frac {g}{l}}}$ non dipende dalle condizioni iniziali.

Il periodo del moto è dato da

$T=2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}$

e non dipende dall'ampiezza delle oscillazioni se gli angoli sono piccoli. Questa proprietà detta isocronismo delle piccole oscillazioni fu formulata da Galileo Galilei osservando le oscillazioni della lucerna della Cattedrale di Pisa. Gli orologi a pendolo basati su tale principio fino a XIX secolo sono stati i più diffusi orologi fissi.

Pendolo conico

Pendolo conico.

Un altro esempio di moto circolare è quello di un pendolo conico. In questo caso la traiettoria è una circonferenza completa percorsa a velocità angolare costante. Il sistema è mostrato in figura in cui si ha un punto materiale sostenuto da un filo inestensibile di massa trascurabile e di lunghezza L. Le forze agenti sono la forza peso e la tensione del filo.

Il raggio della traiettoria vale: $r=L\sin \theta \$. Nella direzione orizzontale la componente della tensione del filo, detta $\omega \$ la velocità angolare, vale:

$T\sin \theta =m\omega ^{2}r=m\omega ^{2}L\sin \theta \$

da cui:

$T=m\omega ^{2}L\$

Per quanto riguarda la direzione verticale la forza peso viene bilanciata dalla componente verticale della tensione del filo:

$mg=T\cos \theta =m\omega ^{2}L\cos \theta \$

da cui:

$\cos \theta ={\frac {g}{\omega ^{2}L}}\$

Ma poiché il coseno non è mai maggiore di 1 vi è un limite inferiore alla velocità angolare cioè:

$\omega ^{2}\geq {\frac {g}{L}}\$

Cioè al di sotto di questo valore della velocità angolare non si può avere il moto di un pendolo conico.

Forza elastica

L'elongazione è proporzionale allo sforzo.

Se si considera una molla che viene compressa o tirata essa eserciterà una forza che si oppone all'azione esterna:

$F_{e}=-k(x-x_{o}),$

(12)

dove $x_{o}\$ è la posizione di equilibrio, $x\$ è la posizione e $k\$ è una costante (detta costante di richiamo elastico) che dipende dalle caratteristiche della molla: la sua rigidità.

Tale proprietà è propria non solo delle molle, ma di molti oggetti sia solidi che fluidi, che se proviamo a deformarli agisce una forza contraria alla deformazione tanto maggiore quanto è la deformazione. A partire dalla configurazione naturale di riposo, l'elasticità rappresenta solo la fase iniziale del comportamento di un materiale, per un valore limitato del livello di sollecitazione. Ogni materiale presenta infatti una soglia di sollecitazioni, detta limite di elasticità, al di sopra della quale cessa di esibire un comportamento elastico e manifesta fenomeni anelastici (plasticità, rottura, ecc.). Nel caso dei materiali duttili, il limite elastico è associato alla tensione di snervamento, nel caso di materiali fragili, il limite elastico è associato alla rottura del materiale. La reazione vincolare come la tensione sono in realtà delle forze elastiche con una costante di richiamo elastico così grande da rendere trascurabile la deformazione.

Nel caso tridimensionale, l'espressione della forza elastica è:

${\vec {F}}_{e}=-\mathbf {T} ({\vec {r}}-{\vec {r}}_{o}),$

(13)

Dove ${\vec {r}}_{o}\$ è la posizione di equilibrio, ${\vec {r}}\$ è la posizione e $\mathbf {T} \$ è il tensore degli sforzi che è una costante nel caso di oggetti isotropi.

Se agisce la sola forza elastica, nel caso unidimensionale l'espressione della II equazione della dinamica è:

$m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-kx$

(14)

Assunta come origine delle x la posizione di equilibrio.

Il moto che ne risulta è un moto armonico rispetto alla posizione di equilibrio come avevamo visto in cinematica. Con una pulsazione caratteristica data da:

$\omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}$.

Le condizioni iniziali determinano l'equazione del moto:

$x=A\sin(\omega t+\phi )\,\!$.

$v=A\omega \cos(\omega t+\phi )\,\!$.

La legge di Hooke è il nome che viene normalmente dato alla forza elastica nel caso dei solidi.

Tre esercizi, uno di statica, uno su oscillazione con un elastico e infine uno su un pendolo conico elastico che è una combinazione degli ultimi due argomenti trattati.

Forza di attrito viscoso

Il comportamento del flusso attorno ad un cilindro dipende dal numero di Reynolds.

Come ultimo caso proviamo a discutere una forza di attrito importante nei fluidi (in genere gas e liquidi). Il fatto che anche l'aria sia un fluido e che il moto nell'aria sia contrastato da tale tipo di forza determina il fatto in assenza di altre forze il moto rettilineo uniforme si concluda con lo stato di quiete.

La forza di attrito viscoso dipende dalle dimensioni dell'oggetto in movimento, la sua velocità e alcune proprietà del fluido in cui si muove l'oggetto: la densità e la viscosità. Il numero di Reynolds è una grandezza adimensionale (Re) usata in fluidodinamica che identifica i vari regimi di moto. La figura a fianco mostra in maniera approssimativa cosa significa avere un numero di Reynolds piccolo < 1, o molto grande. Quando Re è << 1 le linee di corrente del fluido seguono il profilo del corpo. Quando Re è >1 incominciano a formarsi dei piccoli vortici dietro al corpo in moto (la scia di una barca), che al crescere di Re diventano più articolati fino a formare delle vere e proprie turbolenze.

Se Re è < 1 l'espressione della forza di attrito è:

${\vec {F}}=-b{\vec {v}}\$

(15)

Dove b è una grandezza che ha le dimensioni di una massa divisa per un tempo e dipende dalle proprietà del fluido e dalle dimensioni dell'oggetto in moto. Come conseguenza se un oggetto è in moto con velocità $v_{o}\$ al tempo $t=0\$ non soggetta ad altra forza che l'attrito viscoso, l'equazione del moto è semplicemente:

$m{\frac {dv}{dt}}=-bv\$

(16)

(il problema unidimensionale permette di togliere il simbolo di vettore). La soluzione di tale equazione è:

Traiettoria di tre diversi lanciati con lo stesso angolo (70°). La curva nera rappresenta un oggetto che si muove senza attrito la traiettoria è una parabola. La curva blu un oggetto che ha un attrito viscoso proporzionale alla velocità. La curva verde un oggetto che ha un attrito viscoso proporzionale al quadrato della velocità.

$v(t)=v_{o}e^{-bt/m}=v_{o}\ e^{-t/\tau }$

Definendo la costante di tempo del moto la grandezza:$\tau =m/b\$: è facile mostrare che ha le dimensioni fisiche di un tempo.

L'integrale di tale espressione tra $t=0\$ e $t=\infty \$:

$\ell =\int _{0}^{\infty }v_{o}\ e^{-t/\tau }dt=-v_{o}\tau \left[e^{y}\right]_{0}^{\infty }=v_{o}\tau =v_{o}{\frac {m}{b}}\$

è il percorso $\ell \$ che viene effettuato prima di fermarsi:

Se invece assieme all'attrito viscoso vi è una forza di trascinamento,ad esempio la forza peso nella stessa direzione della velocità, l'equazione della dinamica diviene:

$m{\frac {dv}{dt}}=mg-bv\$

${\frac {1}{\tau }}{\frac {dv}{dt}}=g\tau -v\$

Separando le variabili:

${\frac {d{\vec {v}}}{v-g\tau }}=-{\frac {dt}{\tau }}\$

${\frac {d{\vec {v}}}{v-v_{\ell }}}=-{\frac {dt}{\tau }}\$

Detta la grandezza $g\tau =v_{\ell }\$ avendo le dimensioni di una velocità. Se la velocità iniziale è nulla, si integra il primo membro tra la velocità 0 e la velocità da determinare al tempo t e il secondo mebro tra 0 e t:

$\int _{0}^{v(t)}{\frac {dv'}{v'-v_{\ell }}}=-\int _{o}^{t}{\frac {dt'}{\tau }}\$

$\ln {\frac {v(t)-v_{\ell }}{-v_{\ell }}}=-{\frac {t}{\tau }}\$

$v(t)=v_{\ell }\left(1-e^{-t/\tau }\right)\$

Quando il tempo è molto maggiore della costante di tempo $\tau \$, il corpo cade con velocità limite: $v_{\ell }\$. Se vogliamo vedere cosa succede durante la caduta inizialmente la forza peso domina (l'attrito viscoso è trascurabile), via via che aumenta la velocità aumenta l'attrito viscoso fino a compensare completamente la forza peso, il moto a questo punto diventa rettilineo uniforme in quanto la risultante delle forze diviene nulla. La forza di attrito viscoso è molto importante sulla superficie della terra, in cui vi è l'atmosfera ed è la ragione per cui qualsiasi moto sulla terra pure in presenza di una forza costante diventa un moto rettilineo uniforme.

Se Re è maggiore di uno, ma non troppo grande, la forza di attrito è proporzionale al quadrato della velocità,

${\vec {F}}=-bv^{2}{\hat {v}}\$

La costante b in questo caso ha le dimensioni di una massa divisa una lunghezza. Anche in questo caso, nel caso di presenza contemporanea della forza peso e della forza di attrito viscoso, si ha una velocità limite che però è eguale a:

$v_{\ell }={\sqrt {\frac {mg}{b}}}\$

In questo caso l'effetto rallentante della forza d'attrito è maggiore, come si vede dalla traiettoria in verde della figura.

Nel moto di una barca a vela si può ben vedere il significato della forza di attrito viscoso.

Quantità di Moto

Una importante proprietà dei corpi in movimento (si ricorda che l'essere fermo è un tipo di moto) è data dalla quantità di moto ed è una quantità intrinseca del corpo data da

${\vec {p}}=m{\vec {v}}$

(17)

La quantità di moto è definita nella fisica classica come prodotto della massa per la velocità. È una grandezza vettoriale che ha importanti implicazioni in tutti i casi in cui o non vi siano forze esterne o siano trascurabili rispetto a quelle interne al sistema come nel caso degli urti o delle esplosioni. Questa ci permette di riformulare la seconda legge di Newton come:

${\vec {F}}={\frac {d{\vec {p}}}{dt}}$

(18)

In realtà questa formulazione ha un carattere più generale, in quanto vi sono fenomeni in cui un punto materiale si spezza in due o più punti materiali, per cui nel fenomeno varia la massa del singolo frammento rispetto al totale.

Impulso

Vi sono casi in cui agiscono delle forze per un tempo limitato, spesso con caratteristiche impulsive, per cui ha maggiore interesse determinare l'effetto complessivo della forza agente nel tempo, per questo viene introdotta una nuova grandezza fisica detta impulso

${\vec {J}}=\int _{0}^{t}{\vec {F}}dt\$

Dalla seconda legge dinamica si ha che:

${\vec {J}}=\Delta {\vec {p}}$

(19)

Cioè l'impulso di una forza provoca una variazione della quantità di moto del corpo. Vi sono molti casi in cui le forze agiscono per un breve periodo e interessa non il dettaglio di cosa avviene durante l'azione della forza, ma come cambia la quantità di moto tra prima e dopo, ad esempio nel baseball quando la mazza colpisce la palla, nel tennis in cui la racchetta colpisce la palla o nel gioco del pallone.

L'impulso e la quantità di moto hanno stesse unità di misura nel Sistema internazionale $N\cdot s$.

Esempio dell'azione di una forza impulsiva si trova nell'esercizio di una gru.