Legge di Ampère (superiori)

L'assenza di monopoli magnetici comporta che le linee del vettore induzione magnetica siano sempre delle linee chiuse. Quindi data una qualsiasi superficie chiusa il numero di linee entranti è eguale a quello di quelle uscenti. Quindi il flusso del campo magnetico attraverso una qualsiasi superficie chiusa ($Schiusa\$) sarà nullo.

Seconda equazione di Maxwell

Consideriamo quindi una qualsiasi superficie chiusa S che delimita un volume T.

$\int _{S}d\Phi ({\vec {B}})=\int _{Schiusa}{\vec {B}}\cdot {\overrightarrow {dS}}=0\$

Applicando il teorema della divergenza possiamo riscrivere tale equazione come:

$\int _{T}{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {B}}{d\tau }=0\$

Ma la scelta della superficie e di conseguenza del volume T (di cui $d\tau \$ rappresenta l'elemento infinitesimo di volume) è del tutto arbitraria, per cui valere tale identità è necessario che l'integrando sia nullo cioè si ha che:

${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {B}}=0\$

Notiamo che da un punto di vista matematico si può ottenere lo stesso risultato in maniera analitica sviluppando analiticamente la divergenza del più generico campo di induzione magnetica che:

${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {B}}={\frac {\mu _{\circ }}{4\pi }}I\nabla \cdot \oint _{L}{\frac {{\overrightarrow {ds}}\times {\vec {r}}}{r^{3}}}\$

Dopo una serie di passaggi matematici, si trova che tale quantità è identicamente eguale a 0, tale trattazione si può trovare ad esempio nel libro di Mencuccini-Silvestrini .

Teorema di Ampère in forma integrale

Dobbiamo quindi scrivere per il magnetismo l'equazione analoga al teorema di Gauss dell'elettrostatica, che ci ha permesso di rimuovere tra l'altro la singolarità del campo elettrico nell'origine delle coordinate dove sia presente una carica puntiforme. Infatti se alla carica puntiforme sostituiamo una nuvola sferica (o un'altra qualsiasi distribuzione di carica di dimensione misurabile) il campo elettrico non andrebbe all'infinito nell'origine, ma tende a un valore finito (nullo per la sfera uniformemente carica). Il teorema di Gauss ci ha permesso inoltre di calcolare il campo elettrico in situazioni dotate di particolare simmetria: il teorema di Ampère che viene dimostrato nel seguito in un caso particolare rappresenta nel magnetismo l'analogo del teorema di Gauss per l'elettrostatica.

Cammino di integrazione attorno ad un filo rettilineo indefinto percorso da una corrente I

La figura a fianco mostra una linea qualsiasi $\ell \$ che racchiude un filo indefinito rettilineo percorso da una corrente $I\$, tale filo attraversa in un punto qualsiasi l'interno dell'area delimitata da tale linea. Immaginiamo che la corrente del filo sia uscente dal piano del foglio, calcoliamo la circuitazione di ${\overrightarrow {B}}\$:

$\oint _{\ell }{\vec {B}}\cdot {\overrightarrow {d\ell }}={\frac {\mu _{o}I}{2\pi }}\oint _{\ell }{\frac {{\hat {t}}\cdot {\overrightarrow {d\ell }}}{r}}\$

Dove ${\hat {t}}\$ è il versore tangente alla circonferenza di raggio $r\$ (quindi rappresenta la direzione di ${\overrightarrow {B}}\$), il prodotto scalare ${\hat {t}}\cdot {\overrightarrow {d\ell }}\$ rappresenta il tratto $d\ell _{n}\$ di circonferenza.

Quindi:

${\frac {{\hat {t}}\cdot {\overrightarrow {d\ell }}}{r}}={\frac {d\ell _{n}}{r}}=d\theta \$

Cammino di integrazione all'esterno di un filo rettilineo indefinto percorso da una corrente I

è pari all'angolo sotteso dall'elemento ${\overrightarrow {d\ell }}\$ della linea chiusa $\ell \$

si ha quindi che:

$\oint _{\ell }{\vec {B}}\cdot {\overrightarrow {d\ell }}={\frac {\mu _{o}I}{2\pi }}\oint _{\ell }d\theta =\mu _{o}I\$

Infatti gli estremi di integrazione sono compresi tra un angolo qualunque di partenza $\theta _{o}\$ e $\theta _{o}+2\pi \$.

Qualora la linea chiusa non sia concatenata con il filo, come nella figura a fianco. L'integrale di linea lungo $l_{1}\$ è eguale ad un angolo eguale ed opposto a quello lungo $l_{2}\$. Cioè algebricamnete si ha :

$\oint _{\ell }{\vec {B}}\cdot {\overrightarrow {d\ell }}=\int _{\ell _{1}}{\vec {B}}\cdot {\overrightarrow {d\ell }}+\int _{\ell _{2}}{\vec {B}}\cdot {\overrightarrow {d\ell }}={\frac {\mu _{o}I}{2\pi }}\left(\int _{\ell _{1}}d\theta +\int _{\ell _{2}}d\theta \right)=0\$

In termini più generali si può scrivere che:

$\oint _{\ell }{\vec {B}}\cdot {\overrightarrow {d\ell }}={\frac {\mu _{o}I}{2\pi }}\oint _{\ell }d\theta =N\mu _{o}I\$

Cammino di integrazione che si concatena 2 volte attorno ad un filo percorso da corrente

Dove $N\$ rappresenta il numero di volte per cui la linea $\ell \$ si concatena col filo percorso da corrente. Se la corrente non è concatenata ($N=0\$) la circuitazione di ${\overrightarrow {B}}\$ è nulla; se la linea è concatenata una volta solo allora si ha la prima equazione vista. Se la linea è concatenata come nell'esempio a fianco due volte $N=2\$ e così via. Osserviamo che la circuitazione non dipenda dalla forma della linea $\ell \$ scelta. Ma solo dal grado di concatenazione con il filo scelto; in particolare si ottiene lo stesso risultato anche integrando su una linea chiusa che giri intorno al filo molto vicino al filo stesso. Poiché razionalmente quando andiamo molto vicino al filo il campo ${\overrightarrow {B}}\$ prodotto dipende principalmente da una porzione molto piccola del filo e che localmente può essere rappresentata come rettilinea, ci aspettiamo, che la relazione valga in un caso generale, qualunque sia la forma del filo percorso da corrente $I\$. Se inoltre il campo ${\overrightarrow {B}}\$ viene generato da più circuiti tenendo conto della proprietà di additività del campo di induzione magnetica si ha che:

$\oint _{\ell }{\vec {B}}\cdot {\overrightarrow {d\ell }}={\frac {\mu _{o}I}{2\pi }}\oint _{\ell }d\theta =\mu _{o}\sum I_{i}\$

Dove $\sum I_{i}\$ è la somma delle varie correnti $I_{i}\$ ciascuna concatenata in maniera diversa con il circuito $i\$. Nella sommatoria le correnti vanno prese col segno positivo o negativo a seconda del loro verso.

Il teorema della circuitazione nella sua forma completa è chiamata legge di Ampère e rappresenta per il magnetismo l'equivalente del teorema di Gauss dell'elettrostatica.

Il Teorema di Ampère in forma differenziale

Consideriamo una linea l che delimita una regione di spazio S. La corrente totale che attraversa tale regione di spazio vale:

$\int _{S}{\vec {J}}\cdot {\overrightarrow {dS}}=I\$

Quindi dalla legge di Ampère in forma integrale:

$\oint _{l}{\vec {B}}{\overrightarrow {dl}}=\mu _{o}\int _{S}{\vec {J}}\cdot {\overrightarrow {dS}}\$

Applicando il Teorema di Stokes al primo membro:

$\int _{S}{\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}{dS}=\mu _{o}\int _{S}{\vec {J}}\cdot {\overrightarrow {dS}}\$

Dall'eguaglianza degli integrali qualsiasi sia la superficie di integrazione segue che gli integrandi debbono essere eguali cioè:

${\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}=\mu _{o}{\vec {J}}\$

Tale espressione è la IV equazione di Maxwell (ma in realtà vale solo in condizioni di campi elettrici non variabili nel tempo)

Alcuni esempi di applicazione della legge di Ampère

Campo di un filo di raggio non trascurabile

Un cilindro di raggio $R_{1}\$ percorso da una corrente uniforme ed un cammino circolare coassiale di raggio r

Consideriamo un filo rettilineo di raggio $R_{1}\$ percorso da una corrente $I\$ come in figura.

A distanza $r>R_{1}\$ abbiamo già visto l'espressione del campo di induzione magnetica (è tangente alle circonferenze coassiali con il filo e ha una direzione data dalla regola della mano destra) ed ha una intensità pari a:

$|B|={\frac {\mu _{\circ }I}{2\pi r}}\qquad r>R_{1}\$

Consideriamo una circonferenza concentrica al filo, tratteggiata nella figura, ma di raggio $r<R_{1}\$, la densità di corrente elettrica vale:

$|J|={\frac {I}{\pi R_{1}^{2}}}\$

Quindi l'applicazione del teorema di Ampere a questo circuito chiuso comporta che:

$|B|2\pi r=\mu _{o}|J|\pi r^{2}=\mu _{o}{\frac {I}{\pi R_{1}^{2}}}\pi r^{2}\qquad r<R_{1}\$

$|B|=\mu _{o}{\frac {Ir}{2\pi R_{1}^{2}}}\qquad r<R_{1}\$

Cioè il campo di induzione magnetica non diverge, ma si annulla al centro del filo.

Campo di un cavo coassiale

Un cavo coassiale percorso al centro da una corrente I e sulla guaina esterna da una corrente -I

Analogamente dato un cavo coassiale percorso da una corrente $I\$ nel filo centrale di raggio $R_{1}\$ e da una corrente $-I\$ nel conduttore esterno di raggio $R_{2}\$ e spessore trascurabile.

Applicando il teorema di Ampere avrò rispettivamente:

$|B|=\mu _{o}{\frac {Ir}{2\pi R_{1}^{2}}}\qquad r<R_{1}\$

A distanza $r>R_{1}\$ abbiamo già visto l'espressione del campo di induzione magnetica (è tangente alle circonferenze coassiali con il filo e ha una direzione data dalla regola della mano destra) ed ha una intensità pari a:

$|B|={\frac {\mu _{\circ }I}{2\pi r}}\qquad R_{1}<r<R_{2}\$

ed infine:

$|B|=0\qquad r\geq R_{2}\$

In quanto la corrente totale all'interno di una circonferenza di raggio $r>R_{2}\$ è nulla infatti ho al suo interno sia l'andata della corrente su filo interno che il ritorno sul filo esterno. Un cavo coassiale oltre a concentrare nel suo interno le linee del campo elettrico, concentra anche le linee del campo magnetico, delimitando al suo interno al regione di spazio in cui è presente il campo.

Campo di un solenoide ideale

Cammino di integrazione attorno alle spire di un solenoide ideale

Un solenoide è caratterizzato oltre che dal suo raggio $R\$, dal numero di spire per unità di lunghezza $n\$. Il caso ideale qui considerato prevede che la lunghezza del solenoide è molto grande rispetto al raggio e che le spire siano molto fitte, si può verificare anche sperimentalmente che, il campo magnetico generato all'esterno è molto debole, rispetto a quello interno, tanto da poterlo considerare nullo. Inoltre la componente del campo nella direzione perpendicolare all'asse è trascurabile.

Consideriamo un rettangolo come quello rappresentato in figura che attraversi il lato del solenoide e eseguiamo la circuitazione di ${\vec {B}}\$ attraverso tale cammino. Essendo ${\vec {B}}\$ normale ai lati $2\$ e $4\$ il suo contributo alla circuitazione è nullo. Il campo è trascurabile quindi nullo all'esterno del solenoide quindi:

$\oint _{l}{\vec {B}}\cdot {\vec {dl}}=|B|l_{1}\$

ma la corrente all'interno di tale circuito vale:

$nl_{1}I\$

Quindi:

$|B|=\mu _{o}nI\$

Tale risultato riproduce quanto ricavato, in maniera più generale, sovrapponendo il campo di molte spire circolari. Il solenoide rappresenta nel magnetismo l'analogo del condensatore a facce piane e parallele dell'elettrostatica. In quanto genera in una vasta regione di spazio un campo uniforme.

Potenziale vettore

In assenza di sorgenti che variano nel tempo, si definisce il potenziale vettore ${\overrightarrow {A}}\$ come il campo vettoriale il cui rotore è il campo magnetico:

${\vec {B}}={\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}$

Il potenziale vettore è determinato a meno del gradiente di una funzione scalare arbitraria $f({\vec {r}})$, infatti il rotore di un gradiente è identicamente nullo:

${\vec {\nabla }}\times \left[{\vec {A}}+{\vec {\nabla }}f\right]={\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}$

In quanto per l'identità di Schwarz si ha che:

${\vec {\nabla }}\times {\vec {\nabla }}f={\vec {i}}({\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial z}}-{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z\partial y}})+{\vec {j}}({\frac {\partial ^{2}f}{\partial z\partial x}}-{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial z}})+{\vec {k}}({\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}-{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}})\equiv 0$

Sfruttando questo fatto se ne calcola la divergenza:

${\vec {\nabla }}\cdot ({\vec {A}}+{\vec {\nabla }}f)={\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}}+{\vec {\nabla }}{\vec {\nabla }}f={\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}}+\nabla ^{2}f$

ed è possibile scegliere un'opportuna funzione $f$ in modo tale che:

$\nabla ^{2}f=-{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}}$

Questa operazione che elimina gradi di libertà arbitrari viene chiamata trasformazione di gauge.

Fatta questa scelta la divergenza di ${\vec {A}}$ è nulla:

${\vec {\nabla }}\cdot ({\vec {A}}+{\vec {\nabla }}f)=0$

La legge di Legge di Ampère in forma differenziale diventa:

${\vec {\nabla }}\times {\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}=\mu _{o}{\vec {J}}\$

Ma sviluppando l'espressione di destra:

${\vec {\nabla }}\cdot ({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}})-\nabla ^{2}{\vec {A}}=\mu _{o}{\vec {J}}\$

Per la trasformazione di gauge usata il primo membro è identicamente nullo e quindi la legge di Ampère diventa:

$\nabla ^{2}{\vec {A}}=-\mu _{o}{\vec {J}}\$

Le tre componenti di ${\vec {A}}\$ rispettano l'equazione di Poisson

${\begin{cases}\nabla ^{2}A_{x}=-\mu _{0}J_{x}\\\nabla ^{2}A_{y}=-\mu _{0}J_{y}\\\nabla ^{2}A_{z}=-\mu _{0}J_{z}\end{cases}}$

La soluzione dell'equazione esiste ed è unica:

${\vec {A}}({\vec {r}})={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{V'}{\frac {{\vec {J}}({\vec {r}}')}{|{\vec {r}}-{\overrightarrow {r'}}|}}dV'$

Avendo indicato con ${\vec {r}}\$ la posizione dello spazio dove si ha il potenziale vettore, e con ${\overrightarrow {r'}}\$ la posizione del generico elemento di volume percorso dalla densità di corrente ${\vec {J}}\$.

Se ho un conduttore filiforme $L'\$ il cui elemento infinitesimo ${\overrightarrow {dl'}}\$ è percorso una corrente I, si ha che:

${\vec {J}}dV'=IS{\overrightarrow {dl'}}$

Quindi l'integrale di volume si trasforma in un integrale di linea:

${\vec {A}}({\vec {r}})={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}I\oint _{L'}{\frac {\overrightarrow {dl'}}{|{\vec {r}}-{\overrightarrow {r'}}|}}$.