Esercizi sulle Leggi di Laplace e sulla Legge di Ampère (superiori)

I seguenti esercizi riguardano le Leggi di Laplace studiate nella Lezione 10 e la Legge di Ampère studiata nella Lezione 11 di Elettromagnetismo.

Esercizi

1. Un elettrone in un campo magnetico

Un elettrone, accelerato da una differenza di potenziale V viene a trovarsi in un campo di induzione magnetica $|B|\$. La sua velocità forma un angolo $\vartheta \$ con la direzione di ${\overrightarrow {B}}\$. Determinare:

a) Il periodo $T\$ di rotazione

b) Il passo $p\$ (la distanza percorsa nella direzione del campo dopo ogni giro)

c) Il raggio $r\$ dell'elica cilindrica descritta.

(dati del problema $V=100V\$, $|B|=10^{-4}\ T$, $\vartheta =\pi /3$)

2. Spira circolare

Determinare il rapporto tra il campo magnetico nel centro di una bobina circolare di raggio $R\$ e quello in un punto sul suo asse a distanza $R/2\$.

3. Un dipolo ruotante

Un dipolo elettrico di momento $p\$ è formato da due cariche separate da una distanza $d\$. Se il dipolo è posto in rotazione attorno ad un asse ortogonale alla congiungente che dista $d/4\$ dalla carica negativa compiendo $n\$ giri al secondo.

Determinare: a) Il momento di dipolo magnetico equivalente del sistema. b) Il campo di induzione magnetica a $100d\$ dal centro di rotazione (anche solo approssimato) sull'asse di rotazione. c) Il campo di induzione magnetica nel centro di rotazione.

(dati del problema: $p=10^{-3}\ Cm$, $d=2\cdot 10^{-2}\ m$, $n=1000\ \$)

4. Forza tra spire

Due spire circolari di raggio $R=50\ cm$, ciascuna di 10 spire, aventi lo stesso asse sono poste in piani paralleli orizzontali distanti $d=3\ mm$. La spira superiore è appesa al piatto di una bilancia. Se non vi è corrente circolante la bilancia è in equilibrio. Se circola sulle sue spire una corrente di $I=1\ A$ concorde per ristabilire l'equilibrio occorre aggiungere sull'altro piatto della bilancia una massa $m\$ da determinare.

5. Una spira quadrata

Dato un punto a distanza $\alpha l\$ sull'asse di una spira quadrata di lato $l\$ percorsa da una corrente $I\$. Determinare il rapporto tra il campo magnetico generato dalla spira e quello del dipolo magnetico equivalente. In particolare eseguire il calcolo per $\alpha =2\$ .

6. Un disco ruotante

Un disco conduttore di raggio $R\$ ruota attorno al proprio asse con velocità angolare $\omega \$. La carica totale è $Q\$, essendo il disco sottile, la densità di carica superficiale sopra il disco varia con la distanza dal centro $r\$ con la legge: $\sigma ={\frac {A}{\sqrt {R^{2}-r^{2}}}}\$. Determinare: a) Il valore di $A\$. b) Il campo di induzione magnetica generato nel centro di un disco di pari carica e raggio, ruotante alla stessa velocità angolare. c) Il campo di induzione magnetica nel centro del disco.

(dati del problema $Q=3.14\ nC$, $\omega =10^{3}\ rad/s\$, $R=2\ m$)

7. Spira filo

Una spira quadrata indeformabile soggetta alla forza peso con massa $m=1\ g$ e lato $a\$ ed un filo rettilineo infinito sono situati nel medesimo piano verticale e percorsi dalla stessa corrente $i\$. Il filo è parallelo al lato superiore della spira, con distanza a dal lato superiore e 2a da quello inferiore. Quale deve essere il valore della corrente perché la spira si trovi in equilibrio ad una distanza $x=a\$ (dove $x\$ è la distanza dal lato più vicino alla spira al filo)

8. Dipolo magnetico e spira

Determinare il rapporto tra il campo magnetico sull'asse di una spira circolare di raggio $R\$ a distanza $\alpha R\$ dal centro e quello approssimato calcolato con la formula del dipolo per $\alpha =0.5\$ ed $\alpha =2\$.

9. Campo magnetico terrestre

Il campo magnetico terrestre è simile a quello di un dipolo magnetico $m\$ disposto al centro della terra diretto da Sud a Nord. Determinare con questa ipotesi a) Il campo magnetico al polo Nord b) Il campo magnetico all'equatore c) Quale dovrebbe essere l'intensità di corrente in una spira che circondasse la terra all'equatore per annullare il campo magnetico terrestre a grande distanza.

(dati del problema: $m=8\cdot 10^{22}\ Am^{2}$, il raggio terrestre medio vale $r_{T}=6367\;Km$)

Si ricorda che il campo di induzione magnetica di un dipolo magnetico vale:

${\overrightarrow {B}}={\frac {\mu _{\circ }}{4\pi r^{5}}}\left[3({\overrightarrow {m}}\cdot {\overrightarrow {r}}){\overrightarrow {r}}-r^{2}{\overrightarrow {m}}\right]$

10. Nastro percorso da corrente

Un nastro conduttore rettilineo, di spessore trascurabile e molto lungo, ha larghezza $w\$ ed è percorso da una corrente $I\$ uniformemente distribuita sulla sezione del nastro. Considerare un punto P sul piano del nastro distante $d=1.5\ w$ dal centro del nastro, determinare il valore del campo magnetico generato dal nastro.

(Dati del problema $w=3\ cm$, $I=15\ A$)

11.Bobina di Helmholtz

Si chiamano bobine di Helmholtz due bobine circolari percorsi dalla stessa corrente, concordi coassiali e a distanza $h\$. Si determini il valore di $h\$ per cui la variazione del campo magnetico al centro sia minima. Determinare il valore del campo al centro del sistema quando si ha tale minima variazione del campo. Si indica con $N\$ il numero di spire di ogni bobina ed $I\$ la corrente che le percorre.

Soluzioni

1. Un elettrone in un campo magnetico

Essendo:

${\frac {1}{2}}mv^{2}=eV\$

$|v|={\sqrt {\frac {2eV}{m}}}=5.93\cdot 10^{6}\ m/s$

quindi la componente di v nella direzione del campo vale:

$v_{pa}=|v|\cos \vartheta =2.96\cdot 10^{6}\ m/s$

mentre in quella perpendicolare vale:

$v_{\perp }=|v|\sin \vartheta =5.13\cdot 10^{6}\ m/s$

a) quindi:

$T={\frac {2\pi m}{e|B|}}=358\ ns$

b)

$p=v_{pa}T=1.06\ m$

c)

$R={\frac {v_{\perp }}{\omega }}={\frac {v_{\perp }}{2\pi }}T=0.292\ m$

2. Spira circolare

Il campo magnetico di una spira circolare sul proprio asse e diretta lungo l'asse ( assunto come asse delle z) e vale:

$B_{z}(0,0,z)={\frac {\mu _{\circ }IR^{2}}{2(R^{2}+z^{2})^{3/2}}}\$

Non si può usare l'approssimazione del dipolo magnetico in quanto entrambi i punti sono troppo vicini alla spira per $z=0\$:

$B_{z}={\frac {\mu _{\circ }I}{2R}}\$

mentre per $z=R/2\$:

$B_{z}={\frac {\mu _{\circ }IR^{2}}{2(R^{2}+R^{2}/4)^{3/2}}}={\frac {\mu _{\circ }I}{2R(5/4)^{3/2}}}\$

Quindi il rapporto vale: $(5/4)^{3/2}=1.40\$

3. Un dipolo ruotante

a) Il periodo vale:

$T={\frac {1}{n}}=1\ ms$

Quindi la carica positiva

$q={\frac {p}{d}}=0.05\ C$

equivale ad una spira di raggio $3d/4\$ percorsa da una corrente

$I={\frac {q}{T}}={\frac {np}{d}}=50\ A$

Quindi ha un momento magnetico:

$m^{+}=\pi \left({\frac {3d}{4}}\right)^{2}I=3.53\times 10^{-2}\ Am^{2}$

mentre, la carica negativa equivale ad una spira di raggio $d/4\$ percorsa da una corrente di segno opposto a prima pari a:

$I={\frac {np}{d}}\$

Quindi ha un momento magnetico:

$m^{-}=-\pi \left({\frac {d}{4}}\right)^{2}I=-3.93\times 10^{-3}\ Am^{2}$

Il momento magnetico totale quindi vale:

$m=m^{+}+m^{-}=3.14\times 10^{-2}\ Am^{2}$

b) Quindi a grande distanza genera un campo di induzione magnetica pari a:

$B_{a}={\frac {\mu _{o}m}{2\pi \left(100d\right)^{3}}}=7.85\times 10^{-10}\ T$

Eguale, nei limiti della precisione del calcolo, al valore esatto:

$B={\frac {\mu _{o}I\left({\frac {3d}{4}}\right)^{2}}{2\left[\left({\frac {3d}{4}}\right)^{2}+\left(100d\right)^{2}\right]^{3/2}}}-{\frac {\mu _{o}I\left({\frac {d}{4}}\right)^{2}}{2\left[\left({\frac {d}{4}}\right)^{2}+\left(100d\right)^{2}\right]^{3/2}}}=7.85\times 10^{-10}\ T$

c) Al centro non posso usare l'approssimazione del dipolo, ma debbo calcolare la sovrapposizione dei campi delle due spire:

$B={\frac {\mu _{o}I}{2}}\cdot \left[{\frac {1}{\left({\frac {3d}{4}}\right)}}-{\frac {1}{\left({\frac {d}{4}}\right)}}\right]=-4.19\times 10^{-3}\ T$

4. Forza tra spire

Essendo $d\ll R\$ posso considerarli come due fili paralleli indefiniti. Tra di essi agisce una forza attrattiva di:

$|F|={\frac {N^{2}\mu _{o}}{2\pi d}}I^{2}2\pi R={\frac {N^{2}\mu _{o}RI^{2}}{d}}\$

L'equilibrio viene ristabilito se:

$mg={\frac {\mu _{o}RN^{2}I^{2}}{d}}\$

$m={\frac {\mu _{o}RN^{2}I^{2}}{gd}}=2.14\ g$

5. Una spira quadrata

Scelto un sistema di coordinate cartesiane con centro coincidente con l'asse della spira ed assi $x\$ ed $y\$ paralleli alle spire stesse. Un elemento del lato di destra parallelo all'asse $y\$ ha coordinate ${\vec {dl_{1}}}=(0,dy,0)\$ è a distanza ${\vec {r}}=(-l/2,y,\alpha l)\$ dal punto sull'asse per cui:

${\vec {dl_{1}}}\times {\vec {r}}=\alpha ldy{\vec {i}}+{\frac {l}{2}}dy{\vec {k}}\$

Quindi la componente parallela all'asse, l'unica esistente per ragioni di simmetria, generata da tutto il lato vale:

$B_{z}^{1}={\frac {\mu _{o}}{4\pi }}{\frac {l}{2}}I\int _{-{\frac {l}{2}}}^{\frac {l}{2}}{\frac {dy}{\left[({\frac {l}{2}})^{2}+y^{2}+(\alpha l)^{2}\right]^{3/2}}}\$ $B_{z}^{1}={\frac {\mu _{o}}{4\pi }}{\frac {l}{2}}I\left[{\frac {y}{({\frac {l}{2}})^{2}+(\alpha l)^{2}}}{\frac {1}{\sqrt {({\frac {l}{2}})^{2}+y^{2}+(\alpha l)^{2}}}}\right]_{-{\frac {l}{2}}}^{\frac {l}{2}}\$

Quindi per i 4 lati: $B_{z}=4B_{z}^{1}={\frac {\mu _{o}}{2\pi l}}I{\frac {4{\sqrt {2}}}{(1+4\alpha ^{2}){\sqrt {1+2\alpha ^{2}}}}}\$

Mentre il campo generato sull'asse del dipolo equivalente vale: $B_{dz}={\frac {\mu _{o}}{2\pi }}{\frac {Il^{2}}{\alpha ^{3}l^{3}}}={\frac {\mu _{o}}{2\pi }}{\frac {I}{\alpha ^{3}l}}\$

Quindi il loro rapporto vale:

$R={\frac {B_{z}}{B_{dz}}}={\frac {4\alpha ^{3}{\sqrt {2}}}{(1+4\alpha ^{2}){\sqrt {1+2\alpha ^{2}}}}}\$

In particolare per $\alpha =2\$ vale;

$R=0.89\$

6. Un disco ruotante

a)

$Q=\int _{0}^{R}{\frac {A2\pi rdr}{\sqrt {R^{2}-r^{2}}}}=2\pi AR\$

$A={\frac {Q}{2\pi R}}=2.5\times 10^{-10}\ C/m$

b) Nel caso dell'anello

$I={\frac {Q}{T}}={\frac {Q}{2\pi }}\omega \$

$B_{z}=\mu _{o}{\frac {I}{2R}}=\mu _{o}{\frac {Q\omega }{4\pi R}}=1.57\times 10^{-13}\ T\$

c) Nel caso del disco, consideriamo una generica corona circolare di spessore infinitesimo $dr\$:

$dQ=\sigma 2\pi rdr\$

$dI={\frac {dQ}{2\pi }}\omega ={\frac {\sigma 2\pi rdr\omega }{2\pi }}={\frac {A}{\sqrt {R^{2}-r^{2}}}}rdr\omega \$

$dB_{z}=\mu _{o}{\frac {dI}{2r}}=\mu _{o}{\frac {Adr\omega }{2{\sqrt {R^{2}-r^{2}}}}}=\mu _{o}{\frac {Q\omega dr}{4\pi R{\sqrt {R^{2}-r^{2}}}}}\$

quindi:

$B_{z}=\mu _{o}\int _{0}^{R}{\frac {Q\omega dr}{4\pi R{\sqrt {R^{2}-r^{2}}}}}={\frac {\mu _{o}Q\omega }{4\pi R}}\left[\arcsin {\frac {r}{R}}\right]_{0}^{R}={\frac {\mu _{o}Q\omega }{8R}}=2.5\times 10^{-13}\ T$

7. Spira filo

Il campo generato dal filo vale, nel lato superiore in modulo:

$B_{1}={\frac {\mu _{o}}{2\pi }}{\frac {1}{x}}$

in quello inferiore sempre in modulo:

$B_{2}={\frac {\mu _{o}}{2\pi }}{\frac {1}{x+a}}\$

La corrente sulla spira deve essere tale da essere concorde sul lato superiore a quella del filo. Le forze agenti sui lati verticali della spira sono opposte e contrarie, per cui la risultante è nulla, mentre sul lato superiore agisce una forza diretta come la verticale in modulo eguale a:

$F_{1}={\frac {\mu _{o}i^{2}a}{2\pi x}}\$

sul lato inferiore in senso opposto e in modulo:

$F_{2}={\frac {\mu _{o}i^{2}a}{2\pi (x+a)}}\$

imponendo quindi che:

$F_{1}-F_{2}=mg\$

${\frac {\mu _{o}i^{2}}{4\pi }}=mg\$

$i={\sqrt {\frac {4\pi mg}{\mu _{o}}}}=313\ A$

8. Dipolo magnetico e spira

Il campo di una spira sul suo asse vale:

$|B|_{esatto}={\frac {\mu _{o}IR^{2}}{2(R^{2}+z^{2})^{3/2}}}={\frac {\mu _{o}IR^{2}}{2(R^{2}+\alpha ^{2}R^{2})^{3/2}}}={\frac {\mu _{o}I}{2R(1+\alpha ^{2})^{3/2}}}$

La spira è un dipolo di momento:

$|m|=I\pi R^{2}$

Mentre la formula del dipolo:

${\vec {B}}={\frac {\mu _{o}}{4\pi r^{5}}}\left[3({\vec {m}}\cdot {\vec {r}}){\vec {r}}-r^{2}{\vec {m}}\right]$

che lungo l'asse diventa:

${\vec {B}}={\frac {\mu _{o}}{2\pi r^{3}}}{\vec {m}}={\frac {\mu _{o}}{2\pi \alpha ^{3}R^{3}}}{\vec {m}}$

$|B|_{appross}={\frac {\mu _{o}}{2\alpha ^{3}R}}I$

Il loro rapporto vale:

$Rapp=|B|_{esatto}/|B|_{appross}={\frac {\alpha ^{3}}{(1+\alpha ^{2})^{3/2}}}$

$Rapp(\alpha =0.5)=0.089$

$Rapp(\alpha =2)=0.72$

9. Campo magnetico terrestre

a)

In questo al polo Nord:

$B_{z}={\frac {\mu _{\circ }|m|}{2\pi r_{T}^{3}}}=62\mu T$

b)

Mentre all'equatore:

$B_{z}=-{\frac {\mu _{\circ }|m|}{4\pi r_{T}^{3}}}=-31\mu T$

c)

Nella spira dovrà circolare una corrente oraria e imponendo che il momento di dipolo magnetico sia eguale a quello della terra:

$I\pi r_{T}^{2}=m$

da cui segue che:

$I={\frac {m}{\pi r^{2}}}=0.62\cdot 10^{9}\ A$

10. Nastro percorso da corrente

Se dividiamo il nastro in strisce sottili di larghezza $dx\$ percorse da una corrente:

$dI=I{\frac {dx}{w}}\$

Il campo di induzione magnetica, entrante nel piano della figura, generato nel punto $P$ sarà pari a:

$|dB|={\frac {\mu _{o}}{2\pi x}}dI={\frac {\mu _{o}}{2\pi x}}I{\frac {dx}{w}}\$

per cui il campo globalmente generato vale:

$|B|=\int _{d-w/2}^{d+w/2}|dB|={\frac {\mu _{o}I}{2\pi w}}\int _{d-w/2}^{d+w/2}{\frac {dx}{x}}={\frac {\mu _{o}I}{2\pi w}}\ln {\frac {d+w/2}{d-w/2}}={\frac {\mu _{o}I}{2\pi w}}\ln 2=6.9\cdot 10^{-5}\ T$

non molto differente da quello approssimato:

$B_{a}={\frac {\mu _{o}}{2\pi d}}I={\frac {\mu _{o}}{2\pi 1.5w}}I=6.7\cdot 10^{-5}\ T\$

11.Bobina di Helmholtz

Scelta come origine delle coordinate il centro del sistema, detta $z\$ la coordinata lungo l'asse delle bobine il campo generato in un generico punto sull'asse vale (la combinazione dei campi generati da due spire circolari):

$B_{z}={\frac {\mu _{o}INR^{2}}{2}}\left\{{\frac {1}{[R^{2}+(z-h/2)^{2}]^{3/2}}}+{\frac {1}{[R^{2}+(z+h/2)^{2}]^{3/2}}}\right\}\$

Se facciamo la derivata rispetto alla distanza tra le spire:

${\frac {\partial B_{z}}{\partial h}}={\frac {\mu _{o}INR^{2}}{2}}\left\{-{\frac {3(z-h/2)}{[R^{2}+(z-h/2)^{2}]^{5/2}}}-{\frac {3(z+h/2)}{[R^{2}+(z+h/2)^{2}]^{5/2}}}\right\}\$

Tale derivata è nulla sempre per $z=0\$ in quanto al centro si ha un massimo o un minimo o un flesso. Cioè se $h\ll R\$ mi aspetto un massimo al centro, se $h\gg R\$ mi aspetto un minimo, quello che voglio trovare quando si ha un flesso (passaggio dal massimo al minimo). Si ha un flesso quando anche la derivata seconda è nulla al centro, la derivata seconda è:

${\frac {\partial ^{2}B_{z}}{\partial h^{2}}}={\frac {\mu _{o}INR^{2}}{2}}\left\{-{\frac {3}{[R^{2}+(z-h/2)^{2}]^{5/2}}}+{\frac {15(z-h/2)^{2}}{[R^{2}+(z-h/2)^{2}]^{7/2}}}-{\frac {3}{[R^{2}+(z+h/2)^{2}]^{5/2}}}+{\frac {15(z+h/2)^{2}}{[R^{2}+(z+h/2)^{2}]^{7/2}}}\right\}$

E per $z=0\$ (al centro) si riduce a :

$\left.{\frac {\partial ^{2}B_{z}}{\partial h^{2}}}\right|_{z=0}={\frac {\mu _{o}INR^{2}}{2}}\left\{-{\frac {6}{[R^{2}+h^{2}/4]^{5/2}}}+{\frac {30h^{2}/4}{[R^{2}+h^{2}/4]^{7/2}}}\right\}={\frac {\mu _{o}INR^{2}}{2}}{\frac {-6R^{2}+6h^{2}}{(R^{2}+h^{2}/4)^{7/2}}}\$

che quindi si annulla quando:

$-6R^{2}+6h^{2}=0\$

cioè si ha minima variazione del campo se la distanza delle bobine è pari al raggio: $h=R\$

Nella figura è rappresentata la funzione:

$B_{z}={\frac {\mu _{o}IN}{2R}}\left\{{\frac {1}{[1+(z/R-1/2)^{2}]^{3/2}}}+{\frac {1}{[1+(z/R+1/2)^{2}]^{3/2}}}\right\}=\$

In particolare il campo vale al centro quindi:

$B_{z}(z=0)={\left({\frac {4}{5}}\right)}^{3/2}{\frac {\mu _{0}NI}{R}}\$