Esercizi sulla Dinamica del corpo rigido (superiori)

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quiz
Esercizi sulla Dinamica del corpo rigido (superiori)
Tipo di risorsa Tipo: quiz
Materia di appartenenza Materia: Fisica per le superiori 1
Avanzamento Avanzamento: quiz completo al 100%.

I seguenti esercizi riguardano la Dinamica del corpo rigido studiata nella Lezione 6 di Meccanica.

Esercizi[modifica]

1. Scala[modifica]

Una scala di massa e lunghezza è appoggiata ad un estremo ad un muro verticale (liscio) e ad un altro estremo al suolo con coefficiente di attrito . Detto l'angolo che la scala forma con la direzione verticale (si può verificare che la scala da sola è in equilibrio). Un uomo di massa sale sulla scala, la scala rimane ancora in equilibrio se l'uomo sale fino al gradino più alto?

(dati del problema , , , )

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2. Asta[modifica]

Es7p15.png

Una fune sostiene una trave orizzontale di massa , lunga , bloccata ad un estremo da una parete verticale e all'altro è appesa una massa . La fune è fissata nell'estremo B della trave, quindi non può scorrere, e forma un angolo con la direzione orizzontale.

Determinare a) la tensione della fune tra il muro e l'asta ; b) la componente normale esercitata dalla trave sulla parete ; c) il coefficiente minimo di attrito statico tra parete e trave, in maniera che la trave rimanga bloccata alla parete.

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3. Mezzo anello[modifica]

Determinare il centro di massa di un mezzo anello di raggio e massa uniforme.

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4. Quarto di anello[modifica]

Determinare il centro di massa di un quarto di anello di raggio e massa uniforme.

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5. Mezzo disco e mezza sfera[modifica]

Determinare il centro di massa di un mezzo disco di raggio e massa uniforme e di una mezza sfera con le stesse caratteristiche.

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6. Quarto di disco[modifica]

Determinare il centro di massa di un quarto di disco di raggio e massa uniforme.

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7. Sfera con foro[modifica]

Es7p1.png


Determinare il centro di massa di una sfera di raggio al cui interno sia stata tolta una sfera di raggio tangente alla sfera maggiore.

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8. Disco bloccato[modifica]

Es7p50.png

Un disco di massa e raggio è sottoposto all'azione di una forza che è applicata ad altezza , poggia su un piano orizzontale scabro ed è trattenuto fermo da un filo disposto come in figura con un angolo rispetto alla direzione orizzontale.

Determinare a) la tensione del filo; b) il coefficiente di attrito statico minimo che permette l'equilibrio. c) Se la forza viene applicata, più in alto ad altezza , trovare il valore per cui la forza di attrito è nulla e quindi il piano può essere liscio come si vuole.

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Manubrio.png

9. Manubrio asimmetrico[modifica]

Una asta rigida di massa trascurabile ha agli estremi due sfere piene di ferro di raggio e . Al centro dell'asta un perno (fulcro) nel punto permette la rotazione del sistema. La distanza tra i centri delle sfere ed il fulcro vale . Un filo trattiene la sfera di massa maggiore. Determinare: a) la massa totale del sistema e la posizione del centro di massa rispetto al punto ; b) la reazione vincolare del fulcro.

Il filo si spezza e il sistema incomincia a ruotare, determinare c) l'accelerazione angolare del sistema all'istante iniziale del moto; d) la velocità angolare quando l'asta è verticale.

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Soluzioni[modifica]

1. Scala[modifica]

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Detto il punto di appoggio verticale ed quello orizzontale; scelto l'asse come direzione orizzontale e la come verticale; assunto come polo. La prima equazione cardinale nella direzione verticale è:

da cui:

Lungo la direzione orizzontale:

Detta la distanza da dell'uomo compresa tra ed , imponendo che il momento delle forze rispetto al polo sia nullo:

da cui:

Che è massima quando:

cioè per:

La condizione di equilibrio è verificata infatti:


2. Asta[modifica]

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a)

Imponendo che sia nullo il momento totale delle forze, rispetto all'estremo sulla parete:

segue che:

b)

La componente normale della reazione vincolare della parete alla compressione vale:

c)

Le forze verticali agenti sulla trave ad esclusione della reazione vincolare sono:

Quindi, dovendo essere:

Il minore coefficiente di attrito statico che garantisce il blocco della trave vale:

3. Mezzo anello[modifica]

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Mezzoanello.PNG

Scegliamo l'origine e gli assi come in figura.

La densità lineare di massa vale:

Mentre l'elemento di lunghezza infinitesima, assunto come variabile l'angolo , è:

Quindi:

Tale generico elemento di trova nel punto di coordinate:

Quindi:

come era ovvio per ragioni di simmetria. Mentre:

4. Quarto di anello[modifica]

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Quartodianello.PNG

Scegliamo l'origine e gli assi come in figura.

La densità lineare di massa vale:

Mentre l'elemento di lunghezza infinitesima, assunto come variabile l'angolo , è:

Quindi:

Tale generico elemento di trova nel punto di coordinate:

Quindi:

Che coincide numericamente come si poteva aspettare per ragioni di simmetria con il valore dell'altro asse:

5. Mezzo disco e mezza sfera[modifica]

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a) Mezzo disco

Scegliamo l'origine e gli assi come in figura.

Mezzodisco.PNG

La densità superficiale di massa vale:

L'elemento di superficie infinitesimo è alto (larghezza della striscia più scura in figura):

ed ha una lunghezza:

L'elemento di superficie infinitesimo dS (striscia più scura in figura) è un rettangolo di superficie:

Quindi:

Quindi il generico elemento di superficie si trova ad una quota:

Quindi la posizione del centro di massa sull'asse delle y (la coordinata x per simmetria è nulla) vale:

b) Semisfera

Semisfera.png

La densità (volumetrica) di massa vale:

L'elemento di lunghezza infinitesima, è alto (larghezza del striscia più scura in figura):

L'elemento di volume infinitesimo dV (striscia più scura in figura) è un disco di altezza dh e raggio

Quindi:

Quindi:

Quindi il generico elemento di volume si trova ad una quota:

La coordinata y del centro di massa (la x e la z sono nulle per ragioni di simmetria) vale:

6. Quarto di disco[modifica]

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a) Mezzo disco

Scegliamo l'origine e gli assi come in figura.

Quartodidisco.PNG

La densità superficiale di massa vale:

L'elemento di lunghezza infinitesima è alto (larghezza della striscia più scura in figura):

L'elemento di superficie infinitesimo dS (striscia più scura in figura) è un rettangolo di altezza dh e di lunghezza

Quindi:

Quindi:

Quindi il generico elemento di superficie si trova ad una quota:

Quindi la posizione del centro di massa sull'asse delle y vale:

Costruendo un rettangolo verticale invece che orizzontale e ripetendo lo stesso ragionamento si ha che anche:

7. Sfera con foro[modifica]

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Detto la densità, il problema diventa equivalente ad una sfera uniforme di raggio e densità ed una sfera di raggio posta nel punto ma con densità . Quindi la posizione del sull'asse congiungente i due centri vale:

8. Disco bloccato[modifica]

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Sul disco agiscono quattro forze la forza peso, la tensione del filo, la reazione vincolare e la forza esterna.

a)

Scomponiamo la reazione vincolare in una componente normale al piano ed una orizzontale . La condizione di equilibrio per le forze, sull'asse orizzontale:

Per quanto riguarda i momenti rispetto al baricentro (positivo antiorario):

Eliminando :

b)

per quanto riguarda la reazione vincolare normale:

Imponendo che:

c)

Se la forza è applicata in la risultante delle forze orizzontali ha la stessa espressione anche se la tensione è diversa:

Il pedice è il modulo della tensione ed è la forza di attrito statico se è applicato nel punto ad altezza . Per quanto riguarda i momenti rispetto al baricentro invece:

Eliminando :

Che è nulla per

9. Manubrio asimmetrico[modifica]

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a)

La massa della sfera più piccola è:

mentre di quella maggiore:

Quindi:

Il centro di massa del sistema è a destra del fulcro a distanza:

b)

Per avere equilibrio il momento delle forze rispetto a deve essere nullo quindi, detta la tensione del filo, deve essere:

quindi:

Chiamiamo la reazione vincolare del perno (diretta seconda la verticale). Dovendo essere la risultante delle forze nulle:

c)

Il momento di inerzia della sfera di sinistra rispetto al fulcro vale:

Il momento di inerzia della sfera di destra rispetto al fulcro vale:

Quindi il momento di inerzia totale vale:

Quando si spezza il filo dalla seconda equazione cardinale:

d)

Nel punto più basso l'energia potenziale del sistema è diventata cinetica: