Materia:Analisi numerica
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L' analisi numerica (detta anche calcolo numerico o calcolo scientifico) è una disciplina che rientra nella classe della matematica applicata. Il suo obiettivo è di sviluppare metodi per la risoluzione "pratica" di problemi matematici nel continuo (cioè relativi ai numeri reali o ai numeri complessi) tramite algoritmi che siano stabili, nel senso che non amplifichino gli errori inevitabilmente presenti sui dati di partenza siano efficienti, ossia abbiano basso costo computazionale , nel senso che la soluzione possa essere fornita da un calcolatore in un tempo accettabile.
Si noti che la soluzione calcolata dall'algoritmo (detta anche soluzione numerica) è sempre un'approssimazione di quella esatta: un algoritmo non ha ovviamente interesse se la soluzione calcolata si discosta molto da quella esatta. La maggior parte delle soluzioni a problemi di analisi numerica sono fondate sull'algebra lineare. Non vanno peraltro trascurati i contributi della combinatorica e della geometria, come pure i collegamenti con i metodi probabilistici e fisico matematici.
Area di riferimento
Area di Scienze matematiche, fisiche e naturali
Corsi
Questa materia fa parte dei seguenti corsi:
Corso di Matematica
Corso di Ingegneria edile
Corso di Scienze della Terra
Dipartimento
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Dipartimento: Scienze matematiche, fisiche e naturali
L'algebra lineare svolge un ruolo particolarmente importante nell'analisi numerica e quindi la sua conoscenza è un prerequisito fondamentale.
E' inoltre consigliabile affiancare allo studio di questa disciplina un linguaggio di programmazione in grado di implementare in calcolatori i metodi iterativi studiati.
Fortran, C, MATLAB o Octave possono essere dei validi mezzi utili a questo scopo. Nelle presenti lezioni faremo uso di Octave (clone open-source di MATLAB).
Modulo 1
- I numeri nel calcolatore: numeri finiti, cambiamenti di base, precisione numerica, propagazione dell'errore, cifre significative, instabilità e mal condizionamento.
- Soluzione di equazioni non lineari: metodo dicotomico (o di bisezione), problema del punto fisso, metodo di Newton-Raphson, metodo della secante variabile (o Regula Falsi), metodo della tangente e della secante fissa. Efficienza computazionale e convergenza di uno schema iterativo.
- Soluzione di Sistemi Lineari
- Metodi diretti: metodo di eliminazione di Gauss, Fattorizzazione triangolare (di Crout), Metodo di Cholesky.
- Metodi iterativi: iterazioni di Jacobi, di Seidel e di rilassamento, metodo del gradiente e del gradiente coniugato.
- Metodi semi-iterativi:
Modulo 2
Modulo 3
| Modulo 1 | Modulo 2 |
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Lezioni
- Soluzione numerica di sistemi lineari
- Metodi diretti:
- Metodi iterativi
- metodo di Jacobi
- metodo di Seidel e di rilassamento
- metodo di Richardson
- metodo del gradiente e del gradiente coniugato
- Metodi semi-iterativi
È possibile, e fortemente consigliato, integrare le lezioni e valutare la propria preparazione attraverso queste esercitazioni. È possibile verificare la conoscenza di un argomento specifico o dell'intero programma.
Questa materia al momento non prevede verifiche d'apprendimento.
La Biblioteca del Dipartimento di Matematica contiene risorse utili per approfondire.
- E' possibile trovare wikibooks e documenti esterni di analisi numerica nella Biblioteca del Dipartimento di Matematica.
- Sito e download del programma Octave