Numeri finiti

lezione Numeri finiti
	Tipo: lezione
	Materia: Analisi numerica
	Avanzamento: lezione completa al 00%

È importante capire che il risultato di un calcolo eseguito dal calcolatore non è esatto.

Rappresentazione di un numero intero

Normalmente, un numero intero $n$ con generica base $β > 1$ si rappresenta come

n = d_{n} β^{n} + d_{n - 1} β^{n - 1} + \dots + d_{1} β + d_{0}

.

Ad esempio, il numero 2657 in base 10 si può rappresentare come $2 \cdot 1 0^{3} + 6 \cdot 1 0^{2} + 5 \cdot 1 0^{1} + 7$ .

Enunciamo allora il Teorema di rappresentazione:

Dato un intero $β > 1$ , un numero reale $x \neq 0$ si può rappresentare univocamente nel modo:

x = sgn (x) (d_{1} β^{- 1} + d_{2} β^{- 2} + \dots) β^{p} = sgn (x) m β^{p}

La mantissa $m$ verifica poi le seguenti condizioni:

$0 \leq d_{i} \leq β - 1$
$d_{1} \neq 0$ e $d_{i}$ non tutti uguali a $β - 1$ a partire da un indice in poi.

Il numero $p$ viene detto caratteristica di $x$ .

La rappresentazione di un numero del tipo

x = \pm (d_{1} d_{2} \dots d_{n}) β^{p}

è detta rappresentazione scientifica normalizzata.

$1.235 = (1 \cdot 1 0^{- 1} + 2 \cdot 1 0^{- 2} + 3 \cdot 1 0^{- 3} + 5 \cdot 1 0^{- 4}) \cdot 1 0^{1}$

Sia $n \in ℕ ∖ 0$ . Allora ...

Si definisce l'insieme dei numeri macchina un insieme denotato con $𝔽$ e formato in questo modo:

𝔽 (β, t, L, U) = {0} \cup {x \in ℝ ∣ x = sgn (x) β^{p} \sum_{i = 1}^{t} d_{i} β^{- i}}

Tale insieme ha $t$ cifre significative, base $β$ e range di cifre $(L, U)$ .