Esercizi sul metodo di Newton

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Esercizio 1

• Scrivere una funzione Octave/MATLAB per il metodo di Newton. La funzione deve prendere in ingresso la funzione di cui si vuole stimare lo zero e la sua derivata, l'initial guess $x_{0}$, la tolleranza $\epsilon$ ed il numero massimo di iterazioni.

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Esercizio 2

• Si consideri una funzione $\displaystyle f(x)$ tale che $\displaystyle f(x)>0$ e $\displaystyle f''(x)>0$ su tutto l'intervallo reale $\displaystyle \mathbb {R}$ . Dimostrare che se $\displaystyle z$ è l'unico zero della funzione $\displaystyle f$ allora il metodo di Newton converge per ogni scelta di $\displaystyle x_{0}$.

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Esercizio 3

Si consideri di calcolare la radice quadrata (positiva) di $\displaystyle a>0$. Assumendo $\displaystyle x_{0}>0$ e $\displaystyle x_{0}\neq {\sqrt {a}}$ si mostri che

1. $\displaystyle x_{k+1}={\frac {1}{2}}\left(x_{k}+{\frac {a}{x_{k}}}\right)$;
2. $\displaystyle x_{k+1}^{2}-a=\left({\frac {x_{k}-a}{2x_{k}}}\right)^{2}\,$, per $\displaystyle k\geq 0$ e quindi $\displaystyle x_{k}>{\sqrt {a}}$ per ogni $\displaystyle k>0$ ;
3. la successione $\displaystyle x_{k}$ è strettamente decrescente;
4. $\displaystyle e_{k+1}={\sqrt {a}}-x_{k+1}=-{\frac {e_{k}^{2}}{2x_{k}}}\;$

   e che

   $\displaystyle {\textrm {Rel}}(x_{k+1})={\frac {{\sqrt {a}}-x_{k+1}}{\sqrt {a}}}=-{\frac {\sqrt {a}}{2x_{k}}}\left[{\textrm {Rel}}(x_{k+1})\right]^{2}$.

$\displaystyle$