Soluzione degli esercizi sul metodo di Newton

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Soluzione degli esercizi sul metodo di Newton


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esercitazione
Soluzione degli esercizi sul metodo di Newton
Tipo di risorsa Tipo: esercitazione
Materia di appartenenza Materia: Analisi numerica


Esercizio 1[modifica]

  • Ecco una possibile implementazione del metodo di Newton con Octave/MATLAB:
function [x e iter]=newton(f,df,x0,err,itermax)
%The function newton find the zeros of function
%with the Newton algorithm.
%It returns the zero x, the error e, and the number of iteration needed iter
%
%HOW TO USE IT:
%Example
%>>f=@(x)x.^2-1;
%>>df=@(x)2*x;
%>>err=1e-5; itermax=1000;
%>>[x e iter]=newton(f,df,err,itermax);

iter=0;
e=2*err;
x=x0;
while ( e > err )
	iter = iter + 1;
	e = abs(f(x)./df(x));	
	x=x-f(x)./df(x)
	if(iter == itermax)
		break;
	end
end

Esercizio 2[modifica]

Si consideri la successione generata dal metodo di Newton

e si supponga esista unico zero della funzione. Allora abbiamo tre casi:

  1. In questo caso ovviamente la successione converge in quanto si ha che
  2. Notiamo che se allora e dalla definizione del metodo di Newton si ottiene
    ovvero la successione è decrescente. Dalla formula per l'errore se vede invece che
    Quindi la successione degli è decrescente e limitata, ovvero esiste finito il suo limite
    Dalla definizione del metodo di Newton si ha che e quindi per l'unicità dello zero si ha che .
  3. Procedendo come per il punto precedente, essendo ora , si ha che
    Tuttavia abbiamo anche che
    Quindi scelto si ha che e quindi la successione converge per quanto mostrato nel punto precedente ( prendendo ).

Esercizio 3[modifica]