Soluzione degli esercizi sul metodo di bisezione

Da Wikiversità, l'apprendimento libero.
Jump to navigation Jump to search
Soluzione degli esercizi sul metodo di bisezione


Analisi numerica > Soluzione degli esercizi sul metodo di bisezione

esercitazione
Soluzione degli esercizi sul metodo di bisezione
Tipo di risorsa Tipo: esercitazione
Materia di appartenenza Materia: Analisi numerica


Esercizio 1[modifica]

  • Ecco una possibile implementazione del metodo di bisezione con Octave/MATLAB:
function [x e iter]=bisection(f,a,b,err,itermax)
%The function bisection find the zeros of function
%with the bisection algorithm.
%It returns the zero x, the error e, and the number of iteration needed iter
%
%HOW TO USE IT:
%Example
%>>f=@(x)x.^3;
%>>a=-1; b=2;
%>>err=1e-5; itermax=1000;
%>>[x e iter]=bisection(f,a,b,err,itermax);

e=b-a;
iter=0;
if( f(a) .* f(b) >= 0 ) 
	x =[];
	disp("f(a) *  f(b) >= 0! No solution!")
else
	while( e > err )
		iter = iter + 1;
		x = 0.5 * ( b + a )
		e = abs(b - x);
		if( f(x) == 0 )
			break;
		elseif( f(x) * f(a) > 0 )
			a = x;
		else
			b = x;
		end
		if( iter == itermax)
			break;
		end	
	end
end

Per il punto 4 si ha che

,

e quindi bisognerebbe richiedere almeno 70 iterazioni. La possibilità che l'algoritmo converga con tale tolleranza dipende dal calcolatore in uso: in particolare con Octave la precisione della macchina risulta essere circa . Non ha quindi senso scegliere una tolleranza più piccola di tale precisione. Il numero di iterazioni, se non specificato, sarebbe infinito.

Esercizio 2[modifica]

  1. Per verifica l'esistenza della radici basta verificare che siano soddisfatte le ipotesi del teorema degli zeri. La prima ipotesi richiede che la funzione sia continua ed ovviamente la funzione in questione lo è dato che è somma di funzioni continue. La seconda ipotesi richiede che la funzione agli estremi dell'intervallo abbia segno opposto, ed infatti abbiamo
    .
    Confronto dell'errore medio e dell'errore vero nel metodo di bisezione in scala logaritmica.
    Per mostrare l'unicità dobbiamo mostrare che la funzione è monotona ed infatti
    .
  2. Il numero di iterazioni necessarie è dato da
    ,
    e quindi si ha che .
  3. L'intervallo non contiene alcuna radice venendo a mancare la seconda delle ipotesi del teorema degli zeri, infatti
    .
  4. Nel grafico si mostra in rosso l'errore medio ed in blu l'errore effettivo. Dal grafico è evidente la non monotonia dell'errore effettivo. Si nota che l'andamento globale delle due curve è il medesimo, giustificando quindi la nomenclatura di errore medio per .

Esercizio 3[modifica]

Per la soluzione si veda l'analisi di convergenza nella pagina del metodo di bisezione.