Soluzione degli esercizi sul metodo di bisezione

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Esercizio 1

• Ecco una possibile implementazione del metodo di bisezione con Octave/MATLAB:

function [x e iter]=bisection(f,a,b,err,itermax)
%The function bisection find the zeros of function
%with the bisection algorithm.
%It returns the zero x, the error e, and the number of iteration needed iter
%
%HOW TO USE IT:
%Example
%>>f=@(x)x.^3;
%>>a=-1; b=2;
%>>err=1e-5; itermax=1000;
%>>[x e iter]=bisection(f,a,b,err,itermax);

e=b-a;
iter=0;
if( f(a) .* f(b) >= 0 ) 
	x =[];
	disp("f(a) *  f(b) >= 0! No solution!")
else
	while( e > err )
		iter = iter + 1;
		x = 0.5 * ( b + a )
		e = abs(b - x);
		if( f(x) == 0 )
			break;
		elseif( f(x) * f(a) > 0 )
			a = x;
		else
			b = x;
		end
		if( iter == itermax)
			break;
		end	
	end
end

• Per i punti 1, 2 e 3 si veda l'esempio nella pagina del metodo di bisezione.

Per il punto 4 si ha che

$k\ge {\log }_{2}3\cdot 10^{2}0\pi \approx 69.8$,

e quindi bisognerebbe richiedere almeno 70 iterazioni. La possibilità che l'algoritmo converga con tale tolleranza dipende dal calcolatore in uso: in particolare con Octave la precisione della macchina risulta essere circa $2\cdot 10^{-16}$. Non ha quindi senso scegliere una tolleranza più piccola di tale precisione. Il numero di iterazioni, se non specificato, sarebbe infinito.

Esercizio 2

1. Per verificare l'esistenza delle radici $\alpha$ basta verificare che siano soddisfatte le ipotesi del teorema degli zeri. La prima ipotesi richiede che la funzione $f$ sia continua ed ovviamente la funzione in questione lo è dato che è somma di funzioni continue. La seconda ipotesi richiede che la funzione agli estremi dell'intervallo abbia segno opposto, ed infatti abbiamo

   $f(-2)\approx -3.86,f(0)=1⟹f(a)f(b)<0$.

   

   Confronto dell'errore medio e dell'errore vero nel metodo di bisezione in scala logaritmica.

   Per mostrare l'unicità dobbiamo mostrare che la funzione $f$ è monotona ed infatti

   $f^{\prime }(x)=e^x-2x>0\mathrm{\forall }x\in [-2,0]$.

2. Il numero di iterazioni necessarie è dato da

   $k\ge {\log }_2\frac{b-a}{ϵ}={\log }_{2}2\cdot 10^8\approx 27.5754$,

   e quindi si ha che $k\ge 28$.

3. L'intervallo $[-2,-1]$ non contiene alcuna radice venendo a mancare la seconda delle ipotesi del teorema degli zeri, infatti

   $f(-2)\approx -3.86,f(-1)=-0.63⟹f(a)f(b)>0$.

4. $\alpha \approx -0.7035$
5. Nel grafico si mostra in rosso l'errore medio ed in blu l'errore effettivo. Dal grafico è evidente la non monotonia dell'errore effettivo. Si nota che l'andamento globale delle due curve è il medesimo, giustificando quindi la nomenclatura di errore medio per $e_k$.

Esercizio 3

Per la soluzione si veda l'analisi di convergenza nella pagina del metodo di bisezione.