Esercizi sul metodo di bisezione

Analisi numerica > Esercizi sul metodo di bisezione

• Indice delle lezioni di:
  • Analisi numerica
• Torna al corso:
  • Matematica

Esercizio 1

• Scrivere una funzione Octave/MATLAB per il metodo di bisezione. La funzione deve prendere in ingresso la funzione di cui si vuole stimare lo zero, gli estremi della funzione $a$ e $b$, la tolleranza $\epsilon$ ed il numero massimo di iterazioni.
• Si consideri la funzione $\displaystyle f(x)=\cos x$ in $\displaystyle [0,3\pi ]$.
  1. Quanti zeri ci sono in quest'intervallo?
  2. Teoricamente, dopo quante iterazioni ci si aspetta di trovare una soluzione?
  3. Posto $\epsilon =10^{-10}$, quante iterazioni sono necessarie? Il risultato numerico rispetta quello teorico?
  4. Posto $\epsilon =10^{-20}$, quante iterazioni sono necessarie? Il risultato numerico rispetta quello teorico?

Vai alla soluzione.

Esercizio 2

• Si consideri la funzione $\displaystyle f(x)=e^{x}-x^{2}$ in $\displaystyle [-2,0]$.
  1. Si dimostri che esiste un unico zero $\alpha$ tale che $f(\alpha )=0$.
  2. Posta la tolleranza $\epsilon =10^{-8}$, si calcoli quante iterazioni sono richieste?
  3. Si consideri la restrizione dell'intervallo a $\displaystyle [-2,-1]$. In questo caso quante iterazioni sono necessarie?
  4. Tramite la funzione di Octave/MATLAB dell'esercizio 1 si calcoli lo zero della funzione.
  5. Si calcoli la soluzione con precisione $\epsilon =10^{-15}$ e la si consideri come soluzione esatta. Considerando quindi $\epsilon =10^{-8}$, fare un grafico in scala logaritmica che rappresenti l'andamento dell'errore medio e dell'errore effettivo. Commentare.

Vai alla soluzione.

Esercizio 3

Si dimostri che per la successione definita dal metodo di bisezione con $k\geq 0$ si ha

$|\alpha -x_{k}|\leq {\frac {b-a}{2^{k+1}}}$.

Vai alla soluzione.