Con il metodo di Newton si costruisce la successione degli per trovare la radice di una funzione partendo da una stima iniziale . La stima iniziale si suppone essere vicino alla radice . Si costruisce, quindi, la tangente di in e si fa una prima approssimazione di calcolando la radice della tangente. Ripetendo questo processo si ottiene la successione degli .
Risulta chiaro dalla derivazione del metodo che l'errore commesso dal metodo di Newton è dato da
Formula dell'errore per il metodo di Newton:
Da questo si nota che se il metodo converge, l'ordine di convergenza è pari a 2. La convergenza del metodo di Newton dipende però dalla scelta della stima iniziale .
Vale il seguente
Teorema
Si assuma che e siano continue in un intorno della radice e che . Allora preso sufficientemente vicino a , allora la successione , con , definita dal metodo di Newton converge ad . Inoltre si ha ordine di convergenza essendo
Dimostrazione
Si prenda un intorno di raggio , cioè , con scelto in modo che . Tale condizione é possibile data la continuitá di . Si definisce
Dall'equazione per l'errore introdotta precedentemente si ha
Scelto e , si ha allora che , e quindi che .
Per induzione si trova che e che , per ogni .
Utilizzando nuovamente la formula dell'errore, si vede che
e quindi che
e data l'ipotesi fatta in precedenza che , si vede che per .
Infine, sempre dalla formula dell'errore, si ha che il punto é compreso tra ed e quindi, dato che ,
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