Metodo di Newton

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Metodo di Newton


Analisi numerica > Metodo di Newton

lezione
Metodo di Newton
Tipo di risorsa Tipo: lezione
Materia di appartenenza Materia: Analisi numerica

Con il metodo di Newton si costruisce la successione degli per trovare la radice di una funzione partendo da una stima iniziale . La stima iniziale si suppone essere vicino alla radice . Si costruisce, quindi, la tangente di in e si fa una prima approssimazione di calcolando la radice della tangente. Ripetendo questo processo si ottiene la successione degli .

Derivazione del metodo di Newton[modifica]

Approssimiamo con uno sviluppo di Taylor intorno a fermandoci al secondo ordine

con preso tra e . Imponendo e ricordando che si ottiene

Tralasciando l'ultimo termine, si ottiene un'approssimazione di che chiamiamo ottenendo così il

Metodo di Newton:

Analisi di convergenza[modifica]

Risulta chiaro dalla derivazione del metodo che l'errore commesso dal metodo di Newton è dato da

Formula dell'errore per il metodo di Newton:

Da questo si nota che se il metodo converge, l'ordine di convergenza è pari a 2. La convergenza del metodo di Newton dipende però dalla scelta della stima iniziale .

Vale il seguente

Teorema

Si assuma che e siano continue in un intorno della radice e che . Allora preso sufficientemente vicino a , allora la successione , con , definita dal metodo di Newton converge ad . Inoltre si ha ordine di convergenza essendo