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Risoluzione di equazioni non lineari con metodi numerici

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lezione
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Risoluzione di equazioni non lineari con metodi numerici
Tipo di risorsa Tipo: lezione
Materia di appartenenza Materia: Analisi numerica
Avanzamento Avanzamento: lezione completa al 25%
Risoluzione di equazioni non lineari con metodi numerici


Analisi numerica > Risoluzione di equazioni non lineari con metodi numerici


L'obiettivo di questa lezione è imparare strumenti che ci permettano di calcolare con metodi numerici le soluzioni di un'equazione non lineare di tipo .

Supponiamo esista tale che . Vogliamo costruire una successione , con , tale che

Il numero è detto radice (della funzione ).

Convergenza

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Se la successione definita dal metodo numerico converge, possiamo allora chiederci quanto converga velocemente. A questo scopo si definisce l'ordine di convergenza di una successione:

Definizione (Ordine di convergenza). Una successione converge ad con ordine se

è l'ordine di convergenza del metodo numerico che ha generato la successione . Se , il metodo converge linearmente e la costante è detta fattore di convergenza.

La quantità

costituisce l'errore commesso al passo . In generale, con un metodo numerico, non vorremo fare infinite iterazioni e cercheremo solo un'approssimazione del valore . In particolare, potremo definire una tolleranza tale che se allora .

Esempio

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Supponiamo che la successione converga ad con ordine 2, dove la costante , e supponiamo che l'errore iniziale . Consideriamo un tolleranza , allora il metodo numerico convergerà al più in quattro iterazioni, ovvero , infatti: