Geometria lineare nello spazio (superiori)

Concetti base

Postulati fondamentali

• Data una retta orientata r e un punto su di essa qualsiasi O, si chiama semiretta di origine O l'insieme dei punti dal punto O in uno dei due versi fissati.
• Data una retta orientata r e due punti (A,B) posizionati casualmente su di essa, si chiama 'segmento l'insieme dei punti compresi tra A e B
• Si dicono consecutivi due segmenti aventi in comune solamente un estremo
• Si dicono adiacenti due segmenti consecutivi situati sulla stessa retta
• Due rette si dicono incidenti se hanno un solo punto in comune
• Due rette si dicono parallele se non hanno nessun punto in comune
• Due rette si dicono sghembe se non hanno nessun punto in comune e non sono complanari
• In un piano l'insieme delle rette parallele a una retta data prende il nome di fascio di rette parallele
• Si definisce angolo ciasuna delle due parti in cui il piano è diviso da due semirette (lati) aventi origine (vertice) in comune.
• Si definisce poligono la figura formara da una poligonale chiusa e dalla parte di piano da essa delimitata

Gli angoli

Angoli particolari

• Un angolo acuto è un angolo di ampiezza inferiore a un angolo retto, ovvero

$0^{\circ }<\alpha <90^{\circ }(\pi /2)$

• Un angolo retto è un angolo di ampiezza uguale a un quarto di angolo giro, ovvero

$\alpha =90^{\circ }(\pi /2)$

• Un angolo ottuso è un angolo di ampiezza compresa fra l'angolo retto e l'angolo piatto, ovvero

$90^{\circ }(\pi /2)<\alpha <180^{\circ }(\pi )$

• Un angolo piatto è un angolo di ampiezza pari a mezzo angolo giro, ovvero

$\alpha =180^{\circ }(\pi )$

• Un angolo giro è un angolo di ampiezza massima

$\alpha =360^{\circ }(2\pi )$

corrisponde a un giro completo della semiretta sul proprio asse.

Nella nomenclatura degli angoli si può anche sentir parlare di angoli concavi o convessi:

• si ha un angolo concavo se è maggiore a un angolo piatto, $\alpha >180^{\circ }$ [l'immagine non è molto chiara in merito]
• si ha un angolo convesso se è inferiore di un angolo piatto, $\alpha <180^{\circ }$ [l'immagine non è molto chiara in merito]

Semirette particolari

• Si chiama bisettrice di un angolo di vertice O la semiretta di origine O, interna all'angolo, che divide l'angolo in due parti uguali.

Angoli di completamento

• • $\widehat{AOM}\cong \widehat{MOB}\cong \widehat{\frac{AOB}{2}}$
• Due angoli si dicono esplementari se hanno per somma un angolo giro
  • $\alpha +\beta \cong 2\pi$
• Due angoli si dicono supplementari se hanno per somma un angolo piatto
  • $\alpha +\beta \cong \pi$
• Due angoli si dicono complementari se hanno per somma un angolo retto
  • $\alpha +\beta \cong \frac{\pi }{2}$ oppure spesso indicato con $\beta \cong \frac{\pi }{2}-\alpha$

Angoli formati da rette parallele tagliate da una trasversale

Quando sul piano due rette qualsiasi "r" e "s" vengono tagliate da un trasversale "t", si originano 8 angoli ognuno dei quali è posto in relazione con quelli ad esso non contigui.

• Gli angoli corrispondenti sono equivalenti, quindi ne si deduce che:

$\alpha \cong {\alpha }^{\prime }\beta \cong {\beta }^{\prime }\gamma \cong {\gamma }^{\prime }\delta \cong {\delta }^{\prime }$

• Gli angoli coniugati interni sono supplementari, quindi ne si deduce che:

$\beta +{\alpha }^{\prime }\cong 180^{\circ }\gamma +{\delta }^{\prime }\cong 180^{\circ }$

• Gli angoli coniugati esterni sono supplementari, quindi ne si deduce che:

$\alpha +{\beta }^{\prime }\cong 180^{\circ }\delta +{\gamma }^{\prime }\cong 180^{\circ }$

• Gli angoli alterni interni sono equivalenti, quindi ne si deduce che:

$\beta \cong {\delta }^{\prime }\gamma \cong {\alpha }^{\prime }$

• Gli angoli alterni esterni sono equivalenti, quindi ne si deduce che:

$\alpha \cong {\gamma }^{\prime }\delta \cong {\beta }^{\prime }$

Gli angoli e i poligoni

La somma di tutti gli angoli di un poligono è possibile calcolarla attraverso:
$(n-2)\cdot 180$
dove n è il numero dei lati del poligono.