Esercizi sugli insiemi (superiori)

I seguenti esercizi riguardano Gli Insiemi studiati nella Lezione 5. Essi sono divisi per paragrafi in modo tale da favorire la scelta degli esercizi specifici.

Insiemi ed elementi

ESERCIZIO 1. Barra con una crocetta i raggruppamenti che ritieni siano degli insiemi.

• A. I fiumi più lunghi d'Italia. 1
• B. Le persone con più di 30 anni.
• C. I numeri 1, 20, 39, 43, 52.
• D. I libri più pesanti nella tua cartella.
• E. I punti di una retta.
• F. Gli animali con 2 zampe.
• G. Le vocali dell'alfabeto italiano.
• H. I professori bravi.
• I. I gatti con due code.
• J. I calciatori che hanno fatto pochi gol.

ESERCIZIO 2. Considerando l'insieme A delle lettere dell'alfabeto italiano, per ciascuno dei seguenti casi inserisci il simbolo adatto fra “€” e “₢”.

b ... A, i ... A, j ... A, e ... A, w ... A, z ... A.

ESERCIZIO 3. Le vocali delle parole che seguono formano insiemi uguali, tranne in un caso. Quale?

• A. Sito.
• B. Micio.
• C. Zitto.
• D. Fiocco.
• E. Lecito.
• F. Dito.

ESERCIZIO 4. Individua tra i seguenti insiemi quelli che sono uguali:

• A. Vocali della parola “SASSO”.
• B. Consonanti della parola “SASSO”.
• C. Vocali della parola “PIETRA”.
• D. Vocali della parola “PASSO”.

ESERCIZIO 5. Quali delle seguenti frasi rappresentano criteri oggettivi per individuare un insieme? Spiega perché.

• A. Le città che distano meno di 100km da Lecce. V F
• B. I laghi d'Italia. V F
• C. Le città vicine a Roma. V F
• D. I calciatori della Juventus. V F
• E. I libri di Mauro. V F
• F. I professori bassi della tua scuola. V F
• G. I tuoi compagni di scuola il cui nome inizia per M. V F
• H. I tuoi compagni di classe che sono gentili. V F
• I. gli zaini neri della tua classe. V F

ESERCIZIO 6. Scrivi al posto dei puntini il simbolo mancante tra “€” e “₢”.

• A. La Polo ...... all'insieme delle automobili Fiat.
• B. Il cane ...... all'insieme degli animali domestici.
• C. La Puglia ...... all'insieme delle regioni italiane.
• D. Firenze ...... all'insieme delle città francesi.
• E. Il numero 10 ...... all'insieme dei numeri naturali.
• F. Il numero 3 ...... all'insieme dei numeri pari.

ESERCIZI 7. Quali delle seguenti proprietà sono caratteristiche per un insieme?

• A. Essere una città italiana il cui nome inizia per W; V F
• B. Essere un bravo cantante. V F
• C. Essere un monte delle Alpi. V F
• D. Essere un ragazzo felice. V F
• E. Essere un numero naturale grande. V F
• F. Essere un ragazzo nato nel 1985. V F
• G. Essere un alunno della classe 1^aC. V F
• H. Essere una lettera dell'alfabeto inglese. V F
• I. Essere una retta del piano. V F
• J. Essere un libro interessante della biblioteca. V F
• K. Essere un italiano vivente nato nel 1850. V F
• L. Essere un italiano colto. V F

ESERCIZIO 8. Le stelle dell'universo formano un insieme. Le stelle visibili a occhio nudo formano un insieme? Spiega il tuo punto di vista.

Insieme vuoto, insieme universo, cardinalità

ESERCIZIO 9. Gli insiemi G = {gatti con 6 zampe} e P = {polli con 2 zampe} sono o non sono vuoti?

ESERCIZIO 10. Barra con una croce gli insiemi vuoti.

• A. L'insieme dei numeri positivi minori di 0.
• B. L'insieme dei numeri negativi minori di 100.
• C. L'insieme dei numeri pari minori di 100.
• D. L'insieme delle capitali europee della regione Lombardia.
• E. L'insieme dei triangoli con quattro angoli.
• F. L'insieme delle capitali italiane del Lazio.
• G. L'insieme dei punti di intersezione di due rette parallele.

ESERCIZIO 11. Quali delle seguenti scritture sono corrette per indicare l'insieme vuoto?

A ₡ B 0 C {₡} D {0} E { }.

ESERCIZIO 12. Quali dei seguenti insiemi sono vuoti? Per gli insiemi non vuoti indica la cardinalità, ossia il numero di elementi che contiene.

• A. L'insieme degli uccelli con 6 ali.
• B. L'insieme delle lettere della parola “VOLPE”.
• C. L'insieme dei cani con 5 zampe.
• D. L'insieme delle vocali della parola “COCCODRILLO”.
• E. L'insieme delle vocali dell'alfabeto italiano.
• F. L'insieme degli abitanti della luna.
• G. L'insieme dei numeri sulla tastiera del telefonino.

ESERCIZIO 13. Scrivi per ciascun insieme un possibile insieme universo.

• A. l'insieme dei rettangoli.
• B. l'insieme dei multipli di 3.
• C. l'insieme dei libri di matematica.
• D. l'insieme dei ragazzi promossi.

ESERCIZIO 14. Dato l'insieme A = f0, 2, 5g determina se le seguenti affermazioni sono vere o false.

• A. 0 € A.
• B. 5 € A.
• C. ₡ € A.
• D. A € A.
• E. 3,5 € A.
• F. 5 ₢ A.

Rappresentazione degli insiemi

ESERCIZIO 15. Dai una rappresentazione tabulare dei seguenti insiemi.

• A. Delle vocali della parola “ESERCIZI”.
• B. Delle lettere della parola “RIFLETTERE”.
• C. Dei numeri naturali compresi tra 6 e 12, estremi esclusi.
• D. Dei numeri dispari compresi tra 10 e 20.
• E. Delle lettere dell'alfabeto italiano.
• F. Dei numeri naturali minori di 10.
• G. Dei multipli di 7.
• H. Delle preposizioni con più di due lettere.
• I. Dei numeri naturali minori di 6.

ESERCIZIO 16. Indica in rappresentazione tabulare i seguenti insiemi.

• A. A = {x € N | x < 10}.
• B. B = {x € N | 2 ≤ x < 5}.
• C. C = {x € N | 5 ≤ x ≤ 10}.
• D. D = {x € N | 2x ≤ 10}.
• E. E = {e € N | 5 ≤ e < 10}.
• F. F = {f € N | f è multiplo di 3 e f < 15}.
• G. G = {g € N | g è una cifra del numero 121231}.
• H. H = {h € N | h = 3n + 1, con n € N}.

ESERCIZIO 17. Elenca per tabulazione gli elementi di A = {x | x € N, x è pari, x ≤ 10, x ≠ 0}.

ESERCIZIO 18. Elenca per tabulazione gli elementi di L = {l è una lettera della parola MATEMATICA}.

ESERCIZIO 19. Descrivi mediante la proprietà caratteristica l'insieme D = {S, T, U, D, I, A, R, E}.

D = {x | x è ............}

ESERCIZIO 20. Descrivi mediante la proprietà caratteristica l'insieme.

X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}.

X = {x € N | ... x ...}

ESERCIZIO 21. Descrivi mediante la proprietà caratteristica l'insieme dei numeri primi minori di 1000.

ESERCIZIO 22. Elenca gli elementi dell'insieme I = {n € N | n è divisore di 12}.

ESERCIZIO 23. Elenca gli elementi dell'insieme I = {n € N | n è multiplo di 3 minore di 20}.

ESERCIZIO 24. Dato l'insieme A = {2, 4, 8, 16, 32, 64} quale delle seguenti proprietà caratterizzano i suoi elementi?

• A. A = {n € N | n è numero pari minore di 65}.
• B. A = {n € N | n è una potenza di 2}.
• C. A = {n € N | n è una potenza di 2 minore di 65}.
• D. A = {n € N | n = 2^m, con m = 1, 2, 3, 4, 5, 6}.

ESERCIZIO 25. Quale delle seguenti frasi indica la proprietà caratteristica di A = {0, 4, 8, 12, 16, 20, ...}.

• A. I multipli di 2.
• B. I numeri pari.
• C. I multipli di 4.
• D. I divisori di 20.

ESERCIZIO 26. Rappresenta in forma caratteristica i seguenti insiemi.

• A. A = {5, 6, 7, 8, 9, 10}.
• B. B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ..., 98, 99, 100}.
• C. C = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30}.
• D. D = {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50}.
• E. E = {4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81}.

ESERCIZIO 27. Quale delle seguenti è una rappresentazione per caratteristica dell'insieme D = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18}.

• A. D = {x e N | x 6 18}.
• B. D = {x e N | x è multiplo di 3 e x < 20}.
• C. D = {x e N | x = 3x}.
• D. D = {x e N | x = 3}.

ESERCIZIO 28. Individua una proprietà caratteristica dei seguenti insiemi numerici.

• A. A = {4, 9, 16, 25, ...}.
• B. B = {1/4, 1/9, 1/16, 1/25, ...}.
• C. C = {2, 3/2, 4/3, 5/4, 6/5, ...}.
• D. D = {1/5, 1/10, 1/15, 1/20, ...}.
• E. E = {1/4, 2/9, 3/16, 4/25, 5/36, ...}.
• F. F = {+1, -2, +4, -8, +16, -32, +64, ...}.

ESERCIZIO 29. Rappresenta in forma caratteristica i seguenti insiemi.

• A. A = {0, 2, 4, 6, 8, 10}.
• B. B = {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ...}.
• C. C = {3, 4, 5, 6, 7}.
• D. D = {-5, -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4, +5}.
• E. E = {0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100}.

ESERCIZIO 30. Scrivi i primi dieci elementi dei seguenti insiemi.

• A. A = {x | x = 2n, n € N}.
• B. B = {x | x = n², n € N}.
• C. C = {x | x = 2n², n € N}.
• D. D = {x | x = 2n + 2, n € N}.
• E. E = {x | x = n² - n, n € N}.
• F. E = {x | x = ${\frac {n+1}{n-1}}\$, x € Z, n € N}.

ESERCIZIO 31. Elenca gli elementi dei seguenti insiemi.

• A. A = {x € Z | -3 ≤ x < 2}.
• B. B = {x € N | -4 ≤ x ≤ 1 o 5 < x ≤ 7}.
• C. C = {x € Z | -1 < x ≤ 10}.
• D. D = {x € N | x < 10}.

ESERCIZIO 32. Per ciascuno dei seguenti insiemi indica alcuni elementi.

• A. X = {x € N | x - 1 è pari } ............................................................
• B. Y = {y € N | y = 3n, con n € N} .....................................................
• C. Z = {z € N | z = 3n e z non è divisibile per 2, n € N} .................................
• D. W = {w € N | w < 0} .................................................................

ESERCIZIO 33. Rappresenta con un diagramma di Eulero-Venn l'insieme:

• A. Dei multipli di 3 compresi tra 10 e 30, estremi inclusi.
• B. Delle note musicali.
• C. Dei numeri primi minori di 20.
• D. Delle consonanti della parola “MATEMATICA”.
• E. Delle province della Toscana.

ESERCIZIO 34. Rappresenta i seguenti insiemi con rappresentazione tabulare, caratteristica e grafica.

• A. Insieme A dei divisori di 30.
• B. Insieme B dei numeri pari minori o uguali a 10.
• C. L'insieme C delle province della Puglia.
• D. L'insieme D delle lettere della parola “COCCO”.

ESERCIZIO 35. Rappresenta nel modo che ritieni più opportuno gli insiemi i cui elementi sono:

• A. I numeri naturali multipli di 5 compresi tra 10 e 10000.
• B. I colori dell'arcobaleno.
• C. I numeri razionali maggiori o uguali a 2/7.
• D. I punti di una superficie S.
• E. Le lettere di cui è composto il tuo nome.

ESERCIZIO 36. Rappresenta con una modalità a tua scelta l'insieme dei numeri interi multipli di 5 maggiori di 10 e minori di 100 che non sono dispari.

ESERCIZIO 37. Dati gli insiemi: X = {8, 9, 10}, Y = {0, 8, 9, 10}, H = {10, 9, 8}, W = {w € N | 8 ≤ w ≤ 10}, Z = {z € N | 8 < z ≤ 10} e J = {j € N | 7 < j < 11}, individua le uguaglianze corrette.

• A. X = Y.
• B. X = H.
• C. W = H.
• D. X = Z.
• E. card(Z) = 2;
• F. X = J.

ESERCIZIO 38. Dati gli insiemi: A = {g, a, t, o}, B = {o, g, t, a}, C = {c | c è una lettera della parola “gatto”}, D = {g, t}, E = {gatto}, F = {f | f è una consonante della parola “gatto”}, segna con una crocetta le uguaglianze corrette:

• A. A = B.
• B. A = D.
• C. A = C.
• D. E = A.
• E. C = E.
• F. D = F.
• G. C = D.
• H. D = E.

ESERCIZIO 39. Quali dei seguenti insiemi sono uguali?

• A. A = {1 + 3, 5 - 2, 1 + 1, 9 - 8, 1 - 1}.
• B. B = {n € N | n < 5}.
• C. C = {6 - 4, 6 + 4, 6 - 6}.

ESERCIZIO 40. Quali dei seguenti insiemi sono uguali?

• A. A = {x € N | 3 6 x 6 12}.
• B. B = {x € N | x = 3 * n, con 1 6 n 6 4}.
• C. A = {x € N | 2 < x < 13}.
• D. B = {x € N | x = 3ⁿ, con n = 1, 2, 3, 4}.

Sottoinsieme

ESERCIZIO 41. Siano T = {t | t è un triangolo}, R = {r | r è un rettangolo}, E = {e | e è un triangolo equilatero}. Quale affermazione è vera?

• A. R C T.
• B. E C T.
• C. E C R.
• D. T C E.

ESERCIZIO 42. Siano A = {x € Q | 3 ≤ x ≤ 4}, B = {x € Q | x > 1}, C = {x € Q | x ≤ 5}. Quali affermazione sono vere?

• A. A C B.
• B. A C C.
• C. B C C.
• D. C C A.
• E. B C A.
• F. C C B.

ESERCIZIO 43. Dato l'insieme A = {0, 1, 5, 6, 9} stabilisci quali dei seguenti sono o meno suoi sottoinsiemi, completando con gli opportuni simboli le scritture a fianco indicate.

• A. B = {1, 5, 6} B ... A.
• B. C = {0, 1, 3, 5} C ... A.
• C. D = {} D ... A.
• D. E = {0} E ... A.
• E. F = {5, 6, 7} F ... A.
• F. G = {6, 0, 1, 5, 9} G ... A.

ESERCIZIO 44. Siano dati i seguenti insiemi C = {x | x è una lettera della parola “REMARE”}, D = {x | x è una lettera della parola “VOLARE”}, E = {x | x è una lettera della parola “AMARE”}, indica quali delle seguenti relazioni sono vere:

• A. D ʢ C.
• B. D ₵ E.
• C. C = E.
• D. E ʡ C.

ESERCIZIO 45. Quali dei seguenti insiemi possono essere sottoinsiemi dell'insieme dei quadrilateri? L'insieme dei:

• A. Quadrati.
• B. Rombi.
• C. Trapezi.
• D. Triangoli equilateri.
• E. Cerchi.
• F. Parallelogrammi.

ESERCIZIO 46. In una classe di 30 allievi 16 hanno debito in matematica, 20 in italiano, 10 non hanno avuto nessun debito. Rappresenta la situazione con un diagramma di Eulero-Venn.

• A. Quanti allievi hanno debito in entrambe le materie.
• B. Quanti allievi hanno almeno un debito.
• C. Quanti allievi non hanno debito in italiano.
• D. Quanti allievi non hanno debito in matematica.

Insieme delle parti

ESERCIZIO 47. Se A = {x € N | 1 ≤ x < 3} quanti elementi ha γ(A)?

ESERCIZIO 48. Considera l'insieme B = {x € N | 1 < x < 5} e γ(B). Quali delle seguenti affermazioni sono vere o false?

• A. {1} € γ(B). V F
• B. ₡ C γ(B). V F
• C. {2, 5} € γ(B). V F
• D. {₡} 2 γ(B). V F
• E. 0 € ₡. V F
• F. ₡ ʢ B. V F
• G. {1, 2, 3} € γ(B). V F
• H. {1, 2, 3} ₢ γ(B). V F

ESERCIZIO 49. Scrivi l'insieme che ha come insieme delle parti {₡, {8, 10}, {8}, {10}}.

ESERCIZIO 50. Dato H = {h | h è una lettera della parola “MAMMA”} scrivi tutti gli elementi di γ(H).

ESERCIZIO 51. Dato A = {x € N | n < 5 e n divisore di 12} scrivi tutti gli elementi di γ(A).

Insieme unione

ESERCIZIO 52. Dati A = {1, 2, 4, 5} e B = {1, 3, 4, 5, 8} determina la loro unione dopo aver rappresentato gli insiemi mediante diagrammi di Eulero-Venn.

ESERCIZIO 53. Dati gli insiemi L = {1, 2, 5, 6, 7, 8}, M = {4, 5, 6, 7, 10} e N = {2, 3, 5, 7, 9, 10} determina l'insieme unione completando prima la rappresentazione grafica poi quella tabulare.

ESERCIZIO 54. Dati gli insiemi C delle lettere della parola “GIARDINO” e D delle lettere della parola “ORA”, determina la loro unione aiutandoti con la rappresentazione grafica.

ESERCIZIO 55. Determina l'unione tra i seguenti insiemi:

• A. A = {-3, -2, -1, 0, +1, +2, +3}, B = {-2, -1, 0, +1, +2, +3, +4}. A n B = ..............
• B. A = {x € N | 2 ≤ x ≤ 5}, B = {x € N | 3 < x < 7}. A n B = ..............................
• C. A = {x € Z | -5 ≤ x ≤ +5}, B = {x € Z | -15 6 x < 3}. A n B = ........................
• D. A = {x € N | x > 100}, B = {x € N | 10 < x < 20}. A n B = .............................
• E. A = {l è una lettera di “SATURNO”}, B = {l è una lettera di “NETTUNO”}. A n B = ...

Insieme intersezione

ESERCIZIO 56. Dati A = {1, 2, 4, 5} e B = {1, 3, 4, 5, 8} determina la loro intersezione dopo aver rappresentato gli insiemi mediante diagrammi di Eulero-Venn.

ESERCIZIO 57. Dati gli insiemi C delle lettere della parola “LIBRO” e D delle lettere della parola “PASTA” determina la loro intersezione aiutandoti con la rappresentazione grafica.

ESERCIZIO 58. Considerando i 3 insiemi S = {a, b, c, e, f, s, t}, T = {a, c, g, h, l, s} e U = {b, c, d, g, s, t}, determina l'insieme intersezione dando sia la rappresentazione grafica sia quella tabulare.

ESERCIZIO 59. Determina l'intersezione tra i seguenti insiemi:

• A. A = {-3, -2, -1, 0, +1, +2, +3}, B = {-2, -1, 0, +1, +2, +3, +4}. A n B = ....
• B. A = {x € N | 2 ≤ x ≤ 5}, B = {x € N | 3 < x < 7}. B n A = ....
• C. A = {x € Z | -5 ≤ x ≤ +5}, B = {x € Z | -15 ≤ x < 3}. A n B = ....
• D. A = {x € N | x > 100}, B = {x € N | 10 < x < 20}. B n A = ....
• E. A = {l una lettera di “SATURNO”}, B = {l una lettera di “NETTUNO”}. A n B = ....
• F. A = {x € Q | x > -4}, B = {x € Q | x ≤ 4}. A n B = ....

Insieme differenza

ESERCIZIO 60. Dati gli insiemi E = {x | x è una lettera della parola “cartellone”} e F = {x | x è una lettera della parola “martello”}, determina E - F e F - E.

ESERCIZIO 61. Dati gli insiemi A = {x € Q | 3 < x ≤ 5} e B = {x € Q | x > 0} calcola le differenze A - B e B - A.

ESERCIZIO 62. Determina la differenza tra i seguenti insiemi:

• A. A = {-3, -2, -1, 0, +1, +2, +3}, B = {-2, -1, 0, +1, +2, +3, +4}. A - B = ....
• B. A = {x € N | 2 ≤ x ≤ 5}, B = {x € N | 3 < x < 7}. B - A = ....
• C. A = {x € Z | -5 ≤ x ≤ +5}, B = {x € Z | -15 ≤ x < 3}. A - B = ....
• D. A = {x € N | x > 100}, B = {x € N | 10 < x < 20}. B - A = ....
• E. A = {x € N | 10 ≤ x ≤ 100} e B = {y € N | 10 < y < 100}. A - B = ....
• F. A = {l è una lettera di “SATURNO”}, B = {l è una lettera di “NETTUNO”}. A - B = ....

Insieme complementare

ESERCIZIO 63. Verifica, utilizzando la rappresentazione grafica, che A_U U A = U e (A - B) U (B - A) U (A U B) = A n B.

ESERCIZIO 64. Dati E ed F sottoinsiemi di un insieme U, l'insieme definito da E n F è uguale a:

• A. E U F.
• B. E U F.
• C. E n F.
• D. E U F.

ESERCIZIO 65. Dati G ed H sottoinsiemi di un insieme U, l'insieme definito da G U H è uguale a:

• A. G n H.
• B. G n H.
• C. G n H.
• D. Nessuno dei precedenti.

ESERCIZIO 66. Dati i seguenti insiemi A = {x € N | x ≤ 25}, B = {x € N | 4 < x ≤ 9}, C = {x € N | x < 25} e D = {x € N | x > 7}. Scegli fra i seguenti i loro complementari.

• A. E = {x € N | x > 25}.
• B. F = {x € N | x ≤ 6}.
• C. G = {x € N | x > 25}.
• D. H = {x € N | x ≤ 7}.
• E. I = {x € N | x < 10 o x > 4}.
• F. L = {x € N | x < 4 o x > 10}.
• G. M = {x € N | x ≤ 4 o x > 9}.

Leggi di De Morgan

ESERCIZIO 67. Dimostra la seconda legge di De Morgan, annerendo gli spazi opportuni.

Partizione di un insieme

ESERCIZIO 68. Dato A = {do, re, mi} determina l'insieme delle parti γ(A).

ESERCIZIO 69. Determina una partizione dell'insieme L delle lettere dell'alfabeto.

ESERCIZIO 70. Fai un esempio di partizione possibile dei libri di una biblioteca.

ESERCIZIO 71. Dai un esempio di partizione dell'insieme dei triangoli.

Prodotto cartesiano fra insiemi

ESERCIZIO 72. Sia E = {x € N | 1 ≤ x < 3}, F = {x | x è una vocale della parola “TELEFONO”} e G = {x € N | x < -6}, calcola E X F, F X E, F X G, G X E.

ESERCIZIO 73. Quanti sono gli elementi del prodotto cartesiano A X B, dove A ha 6 elementi, B ne ha 3?

ESERCIZIO 74. Sapendo che E X F = {(x;x), (x;y), (x;z), (y;x), (y;y), (y;z)}, indica gli elementi di E e di F.

ESERCIZIO 75. Se A X B ha 5 elementi, da quanti elementi possono essere costituiti A e B?

ESERCIZIO 76. Dati gli insiemi A = {3, 5, 6} e B = {-2, 1} costruisci il diagramma cartesiano di A X B ed elencane gli elementi.

ESERCIZIO 77. Dato A = {0, 1, 2} calcola A X A.

I diagrammi di Eulero-Venn come modello di un problema

ESERCIZIO 78. La scuola “Step” organizza corsi di Salsa, Hip Hop e Break Dance.

• A. Gli iscritti ai corsi sono in tutto 98.
• B. 6 frequentano tutti e tre i corsi.
• C. 37 frequentano il corso di Salsa.
• D. 15 solo i corsi di Salsa e di Hip Hop.
• E. 7 solo i corsi Salsa e Break Dance.
• F. 9 almeno Hip Hop e Break Dance.
• G. 28 Salsa o Break Dance ma non Hip Hop.

Quanti praticano solo Hip Hop? Rappresentiamo la situazione con un diagramma di Eulero-Venn. S è l'insieme degli iscritti al corso di Salsa, B l'insieme degli iscritti al corso di Break Dance, H l'insieme degli iscritti al corso di Hip Hop.

ESERCIZIO 79. In una scuola di musica si tengono 4 corsi di cui quello di pianoforte è obbligatorio per tutti i 100 studenti iscritti, mentre quelli di violino, flauto e chitarra sono facoltativi. Per essere ammessi agli esami di fine anno bisogna frequentare almeno un corso oltre a quello di pianoforte. Se gli alunni:

• A. Che frequentano il corso di flauto sono 25 e non frequentano né quello di violino, né quello di chitarra.
• B. Iscritti sia al corso di violino sia a quello di chitarra sono 20.
• C. Che frequentano il corso di violino sono 46.
• D. Che frequentano solo il corso di violino sono tanti quanti quelli che frequentano solo il corso di chitarra.

Quanti alunni non possono sostenere l'esame finale? Quale dei seguenti diagrammi di Eulero-Venn può essere preso come modello della situazione?

ESERCIZIO 80. Il club “Argento vivo” ha 2 500 iscritti; nel mese di gennaio ha organizzato alcune manifestazioni sportive alle quali hanno partecipato 850 degli iscritti e alcuni tornei di scacchi ai quali hanno partecipato in 780. 320 iscritti al club hanno potuto partecipare, grazie alla perfetta organizzazione, sia alle manifestazioni sportive sia ai tornei di scacchi. Quanti soci del club non hanno partecipato a nessuna delle iniziative e quanti invece hanno partecipato ad almeno una?

ESERCIZIO 81. I componenti di una compagnia teatrale sanno almeno cantare, ballare, recitare. Al termine di una rappresentazione si sa che 12 hanno almeno ballato, 8 hanno almeno cantato e 16 hanno almeno recitato. La versatilità dei componenti ha permesso che 5 abbiano almeno ballato e cantato, 3 abbiano almeno cantato e recitato, 8 abbiano almeno ballato e recitato, 2 ballerini hanno ballato, cantato e recitato. Quanti sono i componenti della compagnia?

ESERCIZIO 82. Da un'indagine condotta su consumatori adulti è risultato che 605 bevono almeno vino, 582 bevono almeno latte, 348 bevono almeno birra, 140 bevono almeno vino e birra, 85 bevono almeno vino e latte, 56 bevono almeno latte e birra, 25 bevono tutte e tre le bevande mentre 71 non bevono alcuna delle bevande citate.

• A. Quante persone bevono una sola bevanda?
• B. Quante bevono almeno una bevanda?
• C. Quante sono le persone intervistate?

ESERCIZIO 83. In una scuola di lingue sono iscritti 164 studenti; 80 seguono il corso di francese e 120 il corso di tedesco. Quanti studenti seguono entrambi i corsi? Quanti studenti seguono solo il corso di tedesco?

ESERCIZIO 84. In un classe di 28 allievi, 18 frequentano il laboratorio di teatro, 22 il laboratorio di fotografia, 3 non frequentano alcun laboratorio. Rappresenta la situazione con un diagramma di Eulero-Venn. Quanti allievi frequentano entrambi i laboratori? Quanti frequentano almeno un laboratorio? Quanti non frequentano il laboratorio di teatro?

ESERCIZIO 85. In una pizzeria, domenica sera, erano presenti 140 persone: 50 hanno mangiato pizza e calzone, 20 hanno mangiato solo calzone e 15 non hanno mangiato né pizza né calzone. Il pizzaiolo si chiede se può conoscere in base alle precedenti informazioni, quante pizze ha preparato. Aiutalo a risolvere il suo problema illustrando la situazione con un diagramma di Eulero-Venn, assegnando a ciascun insieme la sua cardinalità.

ESERCIZIO 86. In un paese di 3 200 abitanti arrivano due quotidiani: il primo è letto da 850 persone, il secondo da 780. Poiché 320 persone leggono entrambi i quotidiani, quante persone non leggono alcun quotidiano e quante almeno uno?

ESERCIZIO 87. [Test di ammissione ad Architettura 2008] Nella classe di Asdrubale ci sono 37 allievi. Tutti si sono iscritti ad almeno una delle due attività extracurriculari (musica e pallavolo). Alla fine 15 fanno musica e 28 fanno pallavolo. Quanti allievi, frequentando entrambe le attività, hanno la necessità di programmare gli orari per evitare sovrapposizioni?

• A. 13.
• B. 9.
• C. 16.
• D. 22
• E. 6.

ESERCIZIO 88. [Test di ammissione a Medicina 2008] In un'aula scolastica, durante la ricreazione, 14 studenti stanno seduti, 8 mangiano la pizza. Con questi dati si può concludere con certezza che il numero totale N degli studenti è:

• A. N > 14.
• B. N < 14.
• C. N > 22.
• D. N = 22.
• E. N > 14.

ESERCIZIO 89. In una scuola di 150 alunni ci sono 23 studenti che frequentano il corso ECDL, 41 studenti che frequentano solo il corso di Inglese, 3 studenti che frequentano tutti e due i corsi. Quanti sono gli studenti che frequentano solo il corso ECDL? Quanti studenti non frequentano nessuno dei due corsi?

ESERCIZIO 90. In un giorno di vacanza, 20 alunni dovrebbero studiare latino e matematica per recuperare le lacune: 8 non studiano latino, 10 studiano matematica e 4 non studiano niente. Quanti alunni studiano entrambe le materie?

ESERCIZIO 91. In una classe di 20 alunni si sta organizzando una gita scolastica. Durante l'assemblea gli alunni raccolgono informazioni sulle mete già visitate: 18 hanno visitato Venezia, 14 Roma, 5 Firenze. Solo 3 hanno visitato tutte e tre le città, 5 hanno visitato Firenze e Venezia, 3 solo Venezia. Quanti hanno visitato solo Firenze? Quanti hanno visitato Firenze e Roma? Quanti non hanno visitato nessuna delle tre città? Quanti non hanno visitato Roma?

Esercizi riepilogativi

ESERCIZIO 92. Siano A = {x € N | 1 ≤ x ≤ 15} e B = {x € N | 2 ≤ x ≤ 20}.

Quale delle seguenti affermazioni è vera:

• A. A C B.
• B. B ɔ A.
• C. A = B.
• D. B ₵ A.

ESERCIZIO 93. Siano A = {x € N | x è pari e (1 ≤ x ≤ 20)} e B = {x € N | x è multiplo di 6 e 2 ≤ x ≤ 18}. Quale affermazione è vera?

• A. A C B.
• B. B ɔ A.
• C. A = B.
• D. B C A.

ESERCIZIO 94. Siano A = {x € N | 3 ≤ x ≤ 10} e B = {x € N | 2 ≤ x ≤ 20}. Quali delle seguenti affermazioni è vera:

• A. A C B.
• B. B ɔ A.
• C. A = B.
• D. B ₵ A.

ESERCIZIO 95. Individua tutti i possibili sottoinsiemi propri formati da tre elementi dell'insieme C = {a, e, i, o, u}.

ESERCIZIO 96. Sia A = {1, 2, 3, 4} scrivi i possibili sottoinsiemi propri e impropri di A.

ESERCIZIO 97. Associa a ogni diagramma la corretta rappresentazione grafica (ci può essere più di una risposta corretta).

ESERCIZIO 98. Dati A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20}, B = {3, 6, 9, 12, 15, 18} e C = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19}, calcola A n B, A U C, (A n B) U C, B n C, (A U B) n (B U C).

ESERCIZIO 99. SiaM = {l una lettera di “MATEMATICA”}, A = {l una lettera di “ALGEBRA”}, G = {l una lettera di “GEOMETRIA”}, I = {l una lettera di “INFORMATICA”} calcola:

• A. M U A.
• B. A U G.
• C. A n I.
• D. M n G.
• E. M U A U G U I.
• F. M n A n G n I.
• G. M U (A n G).
• H. M n (G U I).
• I. M - A.
• J. A - G.
• K. I - (A U B).
• L. (A U B) - (M n I).

ESERCIZIO 100. Sia M₃ l'insieme dei multipli 3 e M₄ l'insieme dei multipli di 4, in generaleMn l'insieme dei multipli del numero n.

• A. Calcola M₃ n M₄. Si tratta di M... l'insieme dei multipli di ....
• B. Calcola M₆ n M₄. Si tratta di M... l'insieme dei multipli di ....
• C. Calcola M₆₀ n M₄₈ ....
• D. Sai dedurre una regola che, dati due numeri naturali m e n calcoli M_m n M_n? Può accadere che questo insieme sia vuoto?

ESERCIZIO 101. Sia D₄ l'insieme dei divisori di 4 e D₆ l'insieme dei divisori di 6, in generale D_n l'insieme dei divisori del numero n.

• A. Calcola D₄ n D₆. Si tratta di D... l'insieme dei divisori di ....
• B. Calcola D₆₀ n D₄₈ ....
• C. Sai dedurre una regola che, dati due numeri naturali m e n, calcoli D_m n D_n? Può accadere che questo insieme sia vuoto? Qual è il numero minimo di elementi che può contenere?

ESERCIZIO 102. Determina l'insieme intersezione A n B e l'insieme unione A U B.

• A. A = {x | x € Q, 0 < x < 3/2} e B = {x | x € Q, 1 < x < 6}.
• B. A = {x | x € Q, -1 < x < 0} e B = {x | x € Q, 1/3 < x < 6}.
• C. A = {x | x € Q, -5 < x < 10} e B = {x | x € Q, 1/3 < x < 6}.
• D. A = {x | x € Q, 0 ≤ x < 10} e B = {x | x € Q, 1/3 < x ≤ 6}.
• E. M U A U G U I.
• F. M n A n G n I.
• G. M U (A n G).
• H. M n (G U I).
• I. M - A.
• J. A - G.
• K. I - (A U B).
• L. (A U B) - (M n I).

ESERCIZIO 103. Dato l'insieme A = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 32} e il suo sottoinsieme B dei multipli di 3, determina gli insiemi A - B e B - A.

ESERCIZIO 104. Dati gli insiemi C e D tali che C C D completa le seguenti relazioni aiutandoti con la rappresentazione grafica:

• A. D - C = ....
• B. D n C = ....
• C. C n D = ....
• D. C U C = ....
• E. C - D = ....
• F. C n C = ....

'ESERCIZIO 105. Quale delle seguenti scritture corrisponde a X n Y:

• A. X U Y.
• B. X n Y.
• C. X U Y.
• D. X U Y.

ESERCIZIO 106. Esegui le operazioni A U B, A n B, A - B tra i seguenti insiemi.

• A. A = {2, 4, 6, 8}, B = {1, 3, 6, 9}.
• B. A = {a, e, i, o, u}, B = {a, b, c, d, e}.
• C. A = {x € N | x è lettera di “casa”}, B = {x € N | x è lettera di “caserma”}.
• D. A = {x € N | x è pari}, B = {x € N | x è dispari}.
• E. A = {x € N | x è multiplo di 2}, B = {x € N | x è multiplo di 4}.
• F. A = {x € Z | -5 ≤ x ≤ 5}, B = {x € Z | -2 ≤ x ≤ 8}.
• G. A = ₡, B = {0}.

ESERCIZIO 107. Sia A = {a una lettera di “MATEMATICA”}, B = {b una lettera di “FILOSOFIA”}, C = {c una lettera di “GEOMETRIA”}, D = {d una lettera di “ITALIANO”} calcola:

• A. A n B.
• B. A n C.
• C. A n D.
• D. A n B n C n D.
• E. A U B U C n D.
• F. A U (B n C).
• G. B n (A U C).
• H. A - D.
• I. D - A.

'ESERCIZIO 108. Dati gli insiemi U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, B = {4, 5, 6, 7, 8, 9}, C = {3, 4, 5, 6, 7, 8}, dire se A, B, C sono equipotenti, se i tre insiemi costituiscono una partizione di U e scrivere per elencazione gli insiemi risultanti dalle seguenti operazioni:

• A. A n B.
• B. B n C.
• C. B U C.
• D. A U B.
• E. A U B U C.
• F. A n B n C.

ESERCIZIO 109. Dato A = {x € N | x è multiplo di 2} determina C_NA.

ESERCIZIO 110. Dato A = {I, II, III} e B = {a, b} determina A X B.

ESERCIZIO 111. Dato B = {1, 2, 3} calcola (B U B) n B.

ESERCIZIO 112. Dati A = {x € Z | -5 ≤ x < 2} e B = {x € N | -3 < x ≤ 2}, calcola A U B, A n B, B - A, C_AB, A X (A n B) e γ(B - A).

ESERCIZIO 113. Per ciascuna delle seguenti affermazioni false dai un controesempio.

• A. A U B = A.
• B. A n B = ₡ ---> A = ₡.
• C. Se x è multiplo di 2 allora è anche multiplo di 4.
• D. Se cardA = 2 e card B = 5 allora cardA U B = 7.
• E. Se cardA = 2 e card B = 5 allora cardA n B = 2.

ESERCIZIO 114. In base alla figura rispondi alle domande:

• A. L'insieme E ha 5 elementi. V F.
• B. 2 € E. V F.
• C. 3 ₢ G. V F.
• D. F C G. V F.
• E. F C E. V F.
• F. ₡ ʢ G. V F.
• G. card(E) = 8. V F.
• H. 10 € E. V F.
• I. F n E = F. V F.
• J. F U G = E. V F.
• K. (E - F) - G = {1, 4}. V F.

ESERCIZIO 115. Completa la seguente tabella:

ESERCIZIO 116. Rappresenta graficamente l'insieme A = {x € N | x ≤ 25 e x è pari} e B = {x € N | x ≤ 27 e x è multiplo di 4} e stabilisci se A ʡ B.

'ESERCIZIO 117. Verifica usando i diagrammi di Eulero-Venn che se A C B e B C C allora A C C. Le relazioni valgono anche se il simbolo "C" viene sostituito con "ʢ"?

ESERCIZIO 118. Considerato l'insieme X = {a, c, d, t, o} stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false.

• A. {x | x è una vocale della parola “carota”} C X. V F.
• B. {a, t} ₵ γ(X). V F.
• C. {a, t} € γ(X). V F.
• D. 0 € X. V F.
• E. ₡ € γ(X). V F.
• F. X € γ(X). V F.

ESERCIZIO 119. Se U è l'insieme universo degli italiani, D l'insieme delle donne italiane, L l'insieme degli italiani laureati, S l'insieme degli italiani sposati, cosa rappresentano i seguenti insiemi?

• A. D.
• B. L n D.
• C. L U D U S.
• D. L - S.
• E. L n S.
• F. L n D n S.

ESERCIZIO 120. Quanti elementi ha γ(H) sapendo che H ha 7 elementi?

'ESERCIZIO 121. Scrivi l'insieme che ha per insieme delle parti: {₡, {Mauro}, {Mario}, {Mauro, Mario}}.

ESERCIZIO 122. Se A U B = B cosa puoi dire di A e B?

• A. B ʢ A.
• B. A ₢ B.
• C. A ʢ B.
• D. A C B.
• E. A n B = ₡.

ESERCIZIO 123. Dati gli insiemi A = {10, 20, 30, 40, 50} e B = {20, 30, 50}, determina un insieme C tale che ognuna delle seguenti uguaglianze sia vera.

• A. B U C = A.
• B. A n C = B.
• C. C U C = B.
• D. C n C = A.

ESERCIZIO 124. Dati gli insiemi A = {x € N | x ≤ 10 e x è pari}, B = {x € N | x ≤ 20 e x è divisibile per 4} e C = {1, 2}, determina (A n B) X C.

ESERCIZIO 125. Dimostra la proprietà distributiva dell'intersezione rispetto l'unione annerendo gli spazi opportuni.

'ESERCIZIO 126. Se E - F = E cosa puoi dire di E e F?

• A. E U F = E.
• B. E = F.
• C. E ʢ F.
• D. F C E.
• E. E n F = ₡.

ESERCIZIO 127. Dimostra la proprietà distributiva dell'unione rispetto all'intersezione annerendo gli spazi opportuni e inserendo le formule opportune.

'ESERCIZIO 128. Quali dei seguenti sono sottoinsiemi dei numeri pari? L'insieme dei

• A. Multipli di 4.
• B. Multipli di 3.
• C. Multipli di 6.
• D. Numeri Primi.

ESERCIZIO 129. Dati gli insiemi A = {x | x € N, x < 10}, B = {x | x € N, 5 < x ≤ 16} e C = {x | x € N, x > 7} determina:

• A. A U B U C.
• B. A n B n C.
• C. (A U B) n C.
• D. (B n C) U A.

ESERCIZIO 130. Dati gli insiemi A = {x | x € Q, 3 < x ≤ 10}, B = {x | x € Q, x > 3} e C = {x | x € Q, x ≤ 5} determina:

• A. A U B.
• B. A n C.
• C. B - A.
• D. A U B U C.
• E. A n B n C.
• F. (A U B) U C.

ESERCIZIO 131. Dati gli insiemi A = {x | x € Q, x < 10}, B = {x | x 2 Q, 7 ≤ x < 20} e C = {x | x € Q, x > 20} calcola:

• A. B U C.
• B. B n C.
• C. A n C.
• D. C - B.
• E. A.
• F. A n C.
• G. B - C.
• H. A U B.
• I. A n C.

ESERCIZIO 132. Dato A = {x | x è un numero naturale, x è pari e x > 12} determina l'insieme complementare di A.

ESERCIZIO 133. Quanti sono i sottoinsiemi dell'insieme che contiene come elemento l'insieme vuoto?

ESERCIZIO 134. Dati A = {x | x è divisore di 12}, B = {x | x è divisore di 6} e C = {x | x è divisore di 15}, determina:

• A. A U B.
• B. A U C.
• C. A U B U C.
• D. A n B.
• E. B n C.
• F. A n C.
• G. A n B n C.
• H. A n (B U C).

ESERCIZIO 135. Dato l'insieme U = {x | x = 2n + 1, n € N, 0 ≤ n ≤ 5}:

• A. Rappresenta U in forma tabulare.
• B. Costruisci due sottoinsiemi propri A e B di U tali che A n B = ₡.
• C. Determina A U B e A - B, dai il risultato con rappresentazione tabulare e mediante diagrammi di Eulero-Venn.

ESERCIZIO 136. In base agli insiemi rappresentati con il diagramma di Eulero-Venn nella figura determina gli insiemi richiesti:

• A. A U B.
• B. A U B U C.
• C. A n B.
• D. B n C.
• E. A n B n C.
• F. A n (B U C).
• G. A U (B n C).
• H. B n C.
• I. (A U B) - C.
• J. B n C.
• K. C - (A n B).
• L. (A U B) - C.

ESERCIZIO 137. Determina l'insieme γ(A), insieme delle parti di A, dove A è l'insieme delle lettere della parola “NONNA”.

ESERCIZIO 138. Nel seguente diagramma di Eulero-Venn gli insiemi r, s, t sono rette, gli elementi A, B, C, D sono punti. Dai una rappresentazione geometrica, individuando le rette che corrispondono alla seguente situazione.