Materia:Geometria analitica

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Geometria analitica

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Area di Scienze matematiche, fisiche e naturali

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Dipartimento: Scienze matematiche, fisiche e naturali

Presentazione

La geometria (dal greco antico γεωμετρία, composto da γεω, geo = "terra" e μετρία, metria = "misura", tradotto quindi letteralmente come misurazione della terra) è quella parte della scienza matematica che si occupa delle forme nel piano e nello spazio e delle loro mutue relazioni.

Si tratta di una materia di fondamentale importanza che trova spazio in innumerevole applicazioni.

Prerequisiti

Geometria è una di quelle materie in cui gli argomenti sono tutti in stretta relazione tra loro. Per comprendere al meglio gli argomenti di geometria analitica è consigliabile prima soffermarsi sull'algebra lineare, comprendere il significato geometrico degli omomorfismi ed in generale costruire una visione geometria di tutti i concetti.

Soprattutto per le applicazioni lineari, autovalori-autovettori ed in generale gli argomenti a cavallo tra il primo ed il secondo modulo, è fondamentale prendere confidenza con l'argomento cercando di risolvere quanti più esercizi si riesce.

Programma

Programma dettagliato

Modulo 1

Strutture algebriche di base: dominio, codominio, funzione, iniettività, suriettività, campo e sue proprietà.
Matrici: operazioni fra matrici (somma e prodotto), matrice nulla, matrice opposta, matrice identica, matrice inversa, matrice invertibile, matrice trasposta, matrice simmetrica, matrice diagonale, matrice scalare.
Spazi vettoriali: sottoinsieme e sottospazio vettoriale, intersezione, unione, somma, somma diretta, Formula di Grassmann.
Dipendenza lineare: generatori, famiglie linearmente indipendenti e dipendenti, base, dimensione.
Applicazioni lineari: nucleo, immagine, antimmagine, teorema delle dimensioni.
Sistemi lineari e forma canonica della matrice: Rango di una matrice, operazioni elementari su una matrice, metodo per calcolare la inversa di una matrice, teorema di Rouché-Capelli, sistemi di Cramer.
Determinante: proprietà, regola di Sarrus, formula di Laplace, matrice inversa, sottomatrici, minori.
Relazione fra applicazioni lineari e matrici: matrice associata, cambiamento di base.

Modulo 2

Diagonalizzabilità: endomorfismi, autovettore e autovalore, autospazi, equazione e polinomio caratteristico, moltiplicità, diagonalizzazione di una matrice, similitudine.
Spazi euclidei: forme bilineari, prodotto scalare, prodotto vettoriale, basi ortogonali e ortonormali, gruppo ortogonale, spazio perpendicolare, spazio metrico.
Forme quadratiche: coniche a centro, matrice associata.
Geometria analitica nel piano e nello spazio: rette, piani, fasci di rette e fasci di piani, rette complanari (parallele, coincidenti, incidenti), rette sghembe, distanza punto piano, distanza punto retta, distanza fra rette sghembe, area e volume, relazioni fra rette, relazioni tra retta e piano.

Modulo 3

Modulo 1

Insiemi e relazioni
...

Modulo 2

Verifiche d'apprendimento

È possibile, e fortemente consigliato, integrare le lezioni e valutare la propria preparazione attraverso queste esercitazioni. È possibile verificare la conoscenza di un argomento specifico o dell'intero programma.

Esami del modulo 1

Esame 240308

Risorse
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