Forme bilineari

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lezione Forme bilineari
	Tipo: lezione
	Materie: Geometria analitica Algebra lineare
	Avanzamento: lezione completa al 100%

In questa lezione comincia il nostro studio degli spazi euclidei, cioè spazi in cui sono definiti i classici concetti metrici quali angolo, distanza, perpendicolarità, ecc... che non abbiamo mai affrontato (e non hanno senso) in uno spazio vettoriale normale.

Forme bilineari

Sia $V$ uno spazio vettoriale su un campo $𝕂$ . Una applicazione

b : V \times V \to 𝕂

si dice forma bilineare su $V$ se gode delle seguenti proprietà:

$b (𝐯 + 𝐯^{'}, 𝐰) = b (𝐯, 𝐰) + b (𝐯^{'}, 𝐰)$
$b (𝐯, 𝐰 + 𝐰^{'}) = b (𝐯, 𝐰) + b (𝐯, 𝐰^{'})$
$b (k 𝐯, 𝐰) = b (𝐯, k 𝐰) = k b (𝐯, 𝐰)$

$\forall 𝐯, 𝐯^{'}, 𝐰, 𝐰^{'} \in V, k \in 𝕂$

Inoltre $b$ si dice simmetrica se

b (𝐯, 𝐰) = b (𝐰, 𝐯)

mentre si dice antisimmetrica se

b (𝐯, 𝐰) = - b (𝐰, 𝐯)

sempre per ogni $𝐯 𝐰 \in V$ .

Vediamo alcuni esempi di forme bilineari.

La forma bilineare nulla $0 (𝐯, 𝐰) = 0$ è una forma bilineare simmetrica e antisimmetrica.
Il prodotto riga per colonna usuale nel calcolo matriciale è una forma bilineare. Infatti, sia $A = (a_{i j}) \in M_{n} (𝕂)$ e consideriamo i vettori colonna $𝐱, 𝐲$ , abbiamo
$b (𝐱, 𝐲) =^{t} 𝐱 A 𝐲 = \sum_{i, j = 1}^{n} x_{i} a_{i j} y_{j} \in 𝕂$
Dimostrate per esercizio che si tratta effettivamente di una forma bilineare.
Se la matrice dell'esempio 2 $A = (a_{i j}) \in M_{n} (𝕂)$ è la matrice identità, otteniamo la cosiddetta forma simmetrica standard su $𝕂$ definita come

b (𝐱, 𝐲) =^{t} 𝐱 \cdot 𝐲 = \sum_{i, j = 1}^{n} x_{i} y_{i} = x_{1} y_{1} + x_{2} y_{2} + \dots + x_{n} y_{n} \in 𝕂

Vediamo ora la matrice associata ad una applicazione bilineare.

Sia $V$ un $𝕂$ -spazio vettoriale di dimensione $n$ e sia ${𝐯_{1}, \dots, 𝐯_{n}}$ una sua base. Sia inoltre $b : V \times V \to 𝕂$ una forma bilineare su $V$ . Allora la matrice di $b$ rispetto alla base appena definita è

A = (a_{i j}) \in M_{n} (𝕂) : a_{i j} = b (𝐯_{i}, 𝐯_{j}), \forall i, j = 1, \dots, n

Prodotti scalari

Sia $(𝕂, +, \cdot, \leq)$ un campo ordinato. Una forma bilineare simmetrica su $V$ si dice prodotto scalare se

b (𝐯, 𝐯) = 0 \Leftrightarrow 𝐯 = 0

Il prodotto scalare si indica con il simbolo $<, >$ .

Con lo stesso simbolo viene denotato anche il prodotto scalare definito positivo, ossia un prodotto scalare tale che: $b (𝐯, 𝐯) \geq 0, \forall 𝐯 \in V$ .

Quel prodotto scalare tale che

< 𝐯, 𝐰 > = 𝐯_{1} 𝐰_{1} + 𝐯_{2} 𝐰_{2} + \dots + 𝐯_{n} 𝐰_{n}

si indica con $𝐯 \cdot 𝐰$ e si chiama prodotto scalare standard.

Uno spazio vettoriale

V

nel quale è definita l'operazione di prodotto scalare, si indica con

(V, <, >)

e prende il nome di spazio vettoriale euclideo.

Teorema (Disuguaglianza di Schwarz)

Siano $𝐯_{1}, 𝐯_{2} \in V$ . Allora

< 𝐯_{1}, 𝐯_{2} >^{2} \leq < 𝐯_{1}, 𝐯_{1} > < 𝐯_{2}, 𝐯_{2} >

e l'uguaglianza vale se e solo se $𝐯_{1}$ e $𝐯_{2}$ sono linearmente dipendenti.

Dimostrazione

Supponiamo i vettori diversi da zero, altrimenti il teorema è banale.

Sia $𝐰$ un vettore combinazione lineare di $𝐯_{1}$ e $𝐯_{2}$ , quindi $𝐰 = x_{1} 𝐯_{1} + x_{2} 𝐯_{2}$ . Per la definizione di prodotto scalare:

0 \leq < 𝐰, 𝐰 > = < x_{1} 𝐯_{1} + x_{2} 𝐯_{2}, x_{1} 𝐯_{1} + x_{2} 𝐯_{2} > = x_{1}^{2} < 𝐯_{1}, 𝐯_{1} > + 2 x_{1} x_{2} < 𝐯_{1}, 𝐯_{2} > + x_{2}^{2} < 𝐯_{2}, 𝐯_{2} >

.

Prendendo $𝐰$ tale che $x_{1} = < 𝐯_{2}, 𝐯_{2} >$ e $x_{2} = - < 𝐯_{1}, 𝐯_{2} >$ otteniamo al secondo membro

< 𝐯_{2}, 𝐯_{2} >^{2} < 𝐯_{1}, 𝐯_{1} > - 2 < 𝐯_{2}, 𝐯_{2} > < 𝐯_{1}, 𝐯_{2} >^{2} + < 𝐯_{1}, 𝐯_{2} >^{2} < 𝐯_{2}, 𝐯_{2} >

.

Dividendo ambo i membri per $< 𝐯_{2}, 𝐯_{2} >$ , che è strettamente positivo perché abbiamo supposto $𝐯_{2}$ non nullo, otteniamo

0 \leq < 𝐯_{2}, 𝐯_{2} > < 𝐯_{1}, 𝐯_{1} > - < 𝐯_{1}, 𝐯_{2} >^{2} ⟺ < 𝐯_{1}, 𝐯_{2} >^{2} \leq < 𝐯_{2}, 𝐯_{2} > < 𝐯_{1}, 𝐯_{1} >

L'eguaglianza vale se e solo se:

$𝐰 = x_{1} 𝐯_{1} + x_{2} 𝐯_{2} = < 𝐯_{2}, 𝐯_{2} > 𝐯_{1} - < 𝐯_{1}, 𝐯_{2} > 𝐯_{2} = 0$ , cioè $𝐯_{1}$ e $𝐯_{2}$ sono linearmente dipendenti.

◻

Norma di un vettore

Si definisce in uno spazio vettoriale euclideo la norma di un vettore $𝐯 \in V$ come

| | 𝐯 | | = \sqrt{< 𝐯, 𝐯 >}

Utilizzando la norma, si può esprimere la disuguaglianza di Schwartz come $| < 𝐯, 𝐰 > | \leq | | 𝐯 | | | | 𝐰 | |$ . La norma di un vettore gode delle seguenti proprietà:

$| | 𝐯 | | \geq 0, 𝐯 \neq 0$
$| | x 𝐯 | | = | x | | | 𝐯 | |, \forall x \in 𝕂$
$| | 𝐯 + 𝐰 | | \leq | | 𝐯 | | + | | 𝐰 | |$ e vale l'uguaglianza se e solo se $𝐯$ e $𝐰$ sono paralleli.

La proprietà 3 è la nota disuguaglianza triangolare che dimostriamo nel seguente modo:

$| | 𝐯 + 𝐰 | |^{2} = < 𝐯 + 𝐰, 𝐯 + 𝐰 > = | | 𝐯 | |^{2} + 2 < 𝐯, 𝐰 > + | | 𝐰 | |^{2} \leq | | 𝐯 | |^{2} + 2 | | 𝐯 | | | | 𝐰 | | + | | 𝐰 | |^{2} = (| | 𝐯 | | + | | 𝐰 | |)^{2}$ $\Leftrightarrow | | 𝐯 + 𝐰 | | \leq | | 𝐯 | | + | | 𝐰 | |$

◻

Vettori e insiemi ortogonali

Due vettori $𝐯, 𝐰 \in V$ si dicono ortogonali (o perpendicolari) se e solo se $< 𝐯, 𝐰 > = 0$ .

Sia ${𝐯_{1}, \dots, 𝐯_{n}}$ un insieme di vettori non nulli di $V$ . Tale insieme si dice ortogonale se sono ortogonali tutti i vettori dell'insieme presi due a due, cioè se

< 𝐯_{i}, 𝐯_{j} > = 0 \forall i, j = 1, \dots, n, i \neq j

.

Nel caso $< 𝐯_{i}, 𝐯_{j} > = 1, i = j$ , cioè $< 𝐯_{i}, 𝐯_{i} > = 1$ , allora l'insieme si dice ortonormale. Equivalentemente, un insieme ortonormale è un insieme ortogonale i cui vettori sono dei versori.

Se un insieme ortogonale od ortonormale è una base di una spazio vettoriale, si dice semplicemente che tale base è una base ortogonale o ortonormale.

Lemma

Sia ${𝐰_{1}, \dots, 𝐰_{n}}$ un insieme ortogonale. Allora

i $𝐰_{i}$ sono linearmente indipendenti;
Se $n = \dim (V)$ , ${𝐰_{1}, \dots, 𝐰_{n}}$ è una base (ortogonale) di $V$ ;
$\forall 𝐯 \in V$ , il vettore $𝐯^{'} = 𝐯 - \sum_{i = 1}^{n} \frac{< 𝐯, 𝐰_{i} >}{< 𝐰_{i}, 𝐰_{i} >} 𝐰_{i}$ è ortogonale a ciascuno di essi.

Dimostrazione

1. Basta dimostrare che se due vettori non nulli sono ortogonali, allora sono indipendenti.

Siano $𝐯_{1}$ e $𝐯_{2}$ due vettori non nulli, e tali che $< 𝐯_{1}, 𝐯_{2} > = 0$ . Sia $𝐰$ un qualunque vettore combinazione lineare di $𝐯_{1}$ e $𝐯_{2}$ , ossia $𝐰 = x_{1} 𝐯_{1} + x_{2} 𝐯_{2}$ .

Devo dimostrare che $𝐰 = 0$ implica che $x_{1} = x_{2} = 0$ .

Sia $0 = 𝐰 = x_{1} 𝐯_{1} + x_{2} 𝐯_{2}$ . Allora deve succedere che

0 = < 𝐰, 𝐰 > = < x_{1} 𝐯_{1} + x_{2} 𝐯_{2}, x_{1} 𝐯_{1} + x_{2} 𝐯_{2} > = x_{1}^{2} < 𝐯_{1}, 𝐯_{1} > + x_{2}^{2} < 𝐯_{2}, 𝐯_{2} > + 2 x_{1} x_{2} < 𝐯_{1}, 𝐯_{2} > = x_{1}^{2} < 𝐯_{1}, 𝐯_{1} > + x_{2}^{2} < 𝐯_{2}, 𝐯_{2} >

Quindi $x_{1}^{2} < 𝐯_{1}, 𝐯_{1} > = - x_{2}^{2} < 𝐯_{2}, 𝐯_{2} >$ .

I due vettori sono non nulli, quindi i due prodotti scalari sono positivi, e quindi, affinché l'eguaglianza valga, deve essere che $x_{1}^{2}$ e $x_{2}^{2}$ devono essere nulli, da cui segue la tesi.

2. Dalla 1. segue che un insieme di $n$ vettori indipendenti in uno spazio $V$ di dimensione $n$ è una base.

3. Fissiamo un indice $j \in {1, \dots, n}$ , e sia $𝐰_{j}$ un vettore della base ortogonale. Prendiamo un vettore $𝐯 \in V$ , e sia $𝐯^{'}$ il vettore definito nell'enunciato. Ecco cosa succede:

$< 𝐰_{j}, 𝐯^{'} > = < 𝐰_{j}, 𝐯 > - < 𝐰_{j}, \sum_{i = 1}^{n} \frac{< 𝐯, 𝐰_{i} >}{< 𝐰_{i}, 𝐰_{i} >} 𝐰_{i} > = < 𝐰_{j}, 𝐯 > - \sum_{i = 1}^{n} \frac{< 𝐯, 𝐰_{i} >}{< 𝐰_{i}, 𝐰_{i} >} < 𝐰_{j}, 𝐰_{i} >$

Visto che stiamo in una base ortogonale, $< 𝐰_{j}, 𝐰_{i} > = 0, \forall i \neq j$ , e quindi la sommatoria si riduce al termine $\frac{< 𝐯, 𝐰_{j} >}{< 𝐰_{j}, 𝐰_{j} >} < 𝐰_{j}, 𝐰_{j} > = < 𝐯, 𝐰_{j} >$ .

In definitiva: $< 𝐰_{j}, 𝐯^{'} > = < 𝐰_{j}, 𝐯 > - < 𝐯, 𝐰_{j} > = 0$ .

Tutto ciò è vero, qualunque sia $𝐯$ e qualunque sia $j$ , ossia la tesi.

◻

Procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt

Sia $B = (𝐯_{1}, \dots, 𝐯_{n})$ una base di $(V, <, >)$ . Allora $O = (𝐰_{1}, \dots, 𝐰_{n})$ costituito dai vettori

𝐰_{1} = 𝐯_{1}

𝐰_{2} = 𝐯_{2} - \frac{< 𝐯_{2}, 𝐰_{1} >}{< 𝐰_{1}, 𝐰_{1} >} 𝐰_{1}

⋮

𝐰_{n} = 𝐯_{n} - \sum_{i = 1}^{n - 1} \frac{< 𝐯_{n}, 𝐰_{i} >}{< 𝐰_{i}, 𝐰_{i} >} 𝐰_{i}

è una base ortogonale.

Dimostrazione

Osserviamo che $𝐰_{i} \in ℒ (𝐯_{1}, \dots, 𝐯_{i}), \forall i \in {1, \dots, n}$ e che ogni $𝐰_{i}$ è non nullo. Infatti, se per assurdo un qualche $𝐰_{p}$ fosse nullo, avremmo

𝐰_{p} = 𝐯_{p} - \sum_{i = 1}^{n - 1} \frac{< 𝐯_{p}, 𝐰_{i} >}{< 𝐰_{i}, 𝐰_{i} >} 𝐰_{i} \Leftrightarrow 𝐯_{p} = \sum_{i = 1}^{n - 1} \frac{< 𝐯_{p}, 𝐰_{i} >}{< 𝐰_{i}, 𝐰_{i} >} 𝐰_{i} \in ℒ (𝐯_{1}, \dots, 𝐯_{n - 1})

e questo contraddice l'ipotesi che

B

sia una base.

Per il Lemma precedente, sappiamo che ogni $𝐰_{p}$ è ortogonale al vettore $𝐰_{p - 1}$ che lo precede nella n-upla $O$ , dunque $O$ è un insieme ortogonale.

Sempre per il Lemma deduciamo che i $𝐰_{i}$ sono linearmente indipendenti e pertanto costituiscono una base.

◻

Questo algoritmo ci permette di ottenere una base ortogonale a partire da una base di partenza data.

Proposizione (esistenza di una base ortonormale)

Sia $B = (𝐯_{1}, \dots, 𝐯_{n})$ una base ortogonale di $V$ . Esiste allora una base ortonormale costituita dai vettori

𝐮_{p} = \frac{1}{| | 𝐯_{p} | |} 𝐯_{p}

Dimostrazione

$< 𝐮_{r}, 𝐮_{s} > = < \frac{1}{| | 𝐯_{s} | |} 𝐯_{s}, \frac{1}{| | 𝐯_{r} | |} 𝐯_{r} > = \frac{1}{| | 𝐯_{r} | | | | 𝐯_{s} | |} < 𝐯_{r}, 𝐯_{s} > = {\begin{matrix} 1, r = s \\ 0, r \neq s \end{matrix}$

Dunque tutti i vettori $𝐮_{i}$ sono ortonormali.

◻

Esempi

Sia $(V, <, >)$ di dimensione 4 e sia ${𝐞_{1}, 𝐞_{2}, 𝐞_{3}, 𝐞_{4}}$ una base di $V$ ortonormale (è la base canonica). Consideriamo poi i vettori

𝐯_{1} = (0, 1, 0, 1), 𝐯_{2} = (2, 1, 0, 1), 𝐯_{3} = (- 1, 0, 0, 1), 𝐯_{4} = (0, 0, 1, 0)

.

Applichiamo il procedimento di Gram-Schmidt per ottenere una base ortogonale.

𝐰_{1} = 𝐯_{1}

𝐰_{2} = 𝐯_{2} - \frac{< 𝐰_{1}, 𝐰_{2} >}{< 𝐰_{1}, 𝐰_{1} >} 𝐰_{1} = 𝐯_{2} - \frac{2}{2} 𝐰_{1} = 𝐯_{2} - 𝐯_{1} = 2 𝐞_{1}

𝐰_{3} = 𝐯_{3} - \sum_{i = 1}^{2} \frac{< 𝐯_{3}, 𝐰_{i} >}{< 𝐰_{i}, 𝐰_{i} >} 𝐰_{i} =

𝐯_{3} - \frac{< 𝐯_{3}, 𝐯_{1} >}{< 𝐯_{1}, 𝐯_{1} >} 𝐯_{1} - \frac{< 𝐯_{3}, 2 𝐞_{1} >}{< 2 𝐞_{1}, 2 𝐞_{1} >} 2 𝐞_{1} =

𝐯_{3} - \frac{1}{2} 𝐯_{1} - \frac{- 2}{4} 2 𝐞_{1} = - \frac{1}{2} 𝐞_{2} + \frac{1}{2} 𝐞_{4}

𝐰_{4} = 𝐯_{4} - \sum_{i = 1}^{3} \frac{< 𝐯_{4}, 𝐰_{i} >}{< 𝐰_{i}, 𝐰_{i} >} 𝐰_{i} = \dots = 𝐯_{4}

Dunque $((0, 1, 0, 1), 2 𝐞_{1}, - \frac{1}{2} 𝐞_{2} + \frac{1}{2} 𝐞_{4}, (0, 0, 1, 0))$ è una base ortogonale di $V$ .

Proposizione

Sia $U = (𝐮_{1}, \dots, 𝐮_{n})$ una base ortonormale dello spazio euclideo $V$ . Poniamo inoltre $𝐯 = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} 𝐮_{i}$ e $𝐯^{'} = \sum_{i = 1}^{n} y_{i} 𝐮_{i}$ . Allora

< 𝐯, 𝐰 > = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i}

Dimostrazione

$< 𝐯, 𝐰 > = < \sum_{i = 1}^{n} x_{i} 𝐮_{i}, \sum_{j = 1}^{n} y_{j} 𝐮_{j} > = \sum_{i \neq j = 1}^{n} x_{i} y_{j} < 𝐮_{i}, 𝐮_{j} > + \sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} < 𝐮_{i}, 𝐮_{i} > = 0 + \sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i}$

◻