Forme bilineari

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Geometria analitica > Forme bilineari


lezione
Forme bilineari
Tipo di risorsa Tipo: lezione
Materia di appartenenza Materia: Geometria analitica
Avanzamento Avanzamento: lezione completa al 100%.

In questa lezione comincia il nostro studio degli spazi euclidei, cioè spazi in cui sono definiti i classici concetti metrici quali angolo, distanza, perpendicolarità, ecc... che non abbiamo mai affrontato (e non hanno senso) in uno spazio vettoriale normale.

Forme bilineari[modifica]

Sia uno spazio vettoriale su un campo . Una applicazione

si dice forma bilineare su se gode delle seguenti proprietà:


Inoltre si dice simmetrica se

mentre si dice antisimmetrica se

sempre per ogni .

Vediamo alcuni esempi di forme bilineari.

  1. La forma bilineare nulla è una forma bilineare simmetrica e antisimmetrica.
  2. Il prodotto riga per colonna usuale nel calcolo matriciale è una forma bilineare. Infatti, sia e consideriamo i vettori colonna , abbiamo
    Dimostrate per esercizio che si tratta effettivamente di una forma bilineare.
  3. Se la matrice dell'esempio 2 è la matrice identità, otteniamo la cosiddetta forma simmetrica standard su definita come

Vediamo ora la matrice associata ad una applicazione bilineare.

Sia un -spazio vettoriale di dimensione e sia una sua base. Sia inoltre una forma bilineare su . Allora la matrice di rispetto alla base appena definita è


Prodotti scalari[modifica]

Sia un campo ordinato. Una forma bilineare simmetrica su si dice prodotto scalare se

Il prodotto scalare si indica con il simbolo .

Con lo stesso simbolo viene denotato anche il prodotto scalare definito positivo, ossia un prodotto scalare tale che: .

Quel prodotto scalare tale che

si indica con e si chiama prodotto scalare standard.


Uno spazio vettoriale nel quale è definita l'operazione di prodotto scalare, si indica con
e prende il nome di spazio vettoriale euclideo.


Teorema (Disuguaglianza di Schwarz)[modifica]

Siano . Allora

e l'uguaglianza vale se e solo se e sono linearmente dipendenti.


Dimostrazione[modifica]

Supponiamo i vettori diversi da zero, altrimenti il teorema è banale.

Sia un vettore combinazione lineare di e , quindi . Per la definizione di prodotto scalare:

.

Prendendo tale che e otteniamo al secondo membro

.

Dividendo ambo i membri per , che è strettamente positivo perché abbiamo supposto non nullo, otteniamo

L'eguaglianza vale se e solo se:

, cioè e sono linearmente dipendenti.


Norma di un vettore[modifica]

Si definisce in uno spazio vettoriale euclideo la norma di un vettore come


Utilizzando la norma, si può esprimere la disuguaglianza di Schwartz come . La norma di un vettore gode delle seguenti proprietà:

  1. e vale l'uguaglianza se e solo se e sono paralleli.

La proprietà 3 è la nota disuguaglianza triangolare che dimostriamo nel seguente modo:


Vettori e insiemi ortogonali[modifica]

Due vettori si dicono ortogonali (o perpendicolari) se e solo se .

Sia un insieme di vettori non nulli di . Tale insieme si dice ortogonale se sono ortogonali tutti i vettori dell'insieme presi due a due, cioè se

.

Nel caso , cioè , allora l'insieme si dice ortonormale. Equivalentemente, un insieme ortonormale è un insieme ortogonale i cui vettori sono dei versori.


Se un insieme ortogonale od ortonormale è una base di una spazio vettoriale, si dice semplicemente che tale base è una base ortogonale o ortonormale.

Lemma[modifica]

Sia un insieme ortogonale. Allora

  1. i sono linearmente indipendenti;
  2. Se , è una base (ortogonale) di ;
  3. , il vettore è ortogonale a ciascuno di essi.


Dimostrazione[modifica]

1. Basta dimostrare che se due vettori non nulli sono ortogonali, allora sono indipendenti.

Siano e due vettori non nulli, e tali che . Sia un qualunque vettore combinazione lineare di e , ossia .

Devo dimostrare che implica che .

Sia . Allora deve succedere che

Quindi .

I due vettori sono non nulli, quindi i due prodotti scalari sono positivi, e quindi, affinché l'eguaglianza valga, deve essere che e devono essere nulli, da cui segue la tesi.

2. Dalla 1. segue che un insieme di vettori indipendenti in uno spazio di dimensione è una base.

3. Fissiamo un indice , e sia un vettore della base ortogonale. Prendiamo un vettore , e sia il vettore definito nell'enunciato. Ecco cosa succede:

Visto che stiamo in una base ortogonale, , e quindi la sommatoria si riduce al termine .

In definitiva: .

Tutto ciò è vero, qualunque sia e qualunque sia , ossia la tesi.


Procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt[modifica]

Sia una base di . Allora costituito dai vettori

è una base ortogonale.


Dimostrazione[modifica]

Osserviamo che e che ogni è non nullo. Infatti, se per assurdo un qualche fosse nullo, avremmo

e questo contraddice l'ipotesi che sia una base.

Per il Lemma precedente, sappiamo che ogni è ortogonale al vettore che lo precede nella n-upla , dunque è un insieme ortogonale.

Sempre per il Lemma deduciamo che i sono linearmente indipendenti e pertanto costituiscono una base.


Questo algoritmo ci permette di ottenere una base ortogonale a partire da una base di partenza data.

Proposizione (esistenza di una base ortonormale)[modifica]

Sia una base ortogonale di . Esiste allora una base ortonormale costituita dai vettori


Dimostrazione[modifica]

Dunque tutti i vettori sono ortonormali.


Esempi[modifica]

  1. Sia di dimensione 4 e sia una base di ortonormale (è la base canonica). Consideriamo poi i vettori

.

Applichiamo il procedimento di Gram-Schmidt per ottenere una base ortogonale.

Dunque è una base ortogonale di .

Proposizione[modifica]

Sia una base ortonormale dello spazio euclideo . Poniamo inoltre e . Allora


Dimostrazione[modifica]