Geometria analitica > Forme bilineari
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In questa lezione comincia il nostro studio degli spazi euclidei, cioè spazi in cui sono definiti i classici concetti metrici quali angolo, distanza, perpendicolarità, ecc... che non abbiamo mai affrontato (e non hanno senso) in uno spazio vettoriale normale.
Sia uno spazio vettoriale su un campo . Una applicazione
si dice forma bilineare su se gode delle seguenti proprietà:
Inoltre si dice simmetrica se
mentre si dice antisimmetrica se
sempre per ogni .
Vediamo alcuni esempi di forme bilineari.
- La forma bilineare nulla è una forma bilineare simmetrica e antisimmetrica.
- Il prodotto riga per colonna usuale nel calcolo matriciale è una forma bilineare. Infatti, sia e consideriamo i vettori colonna , abbiamo
Dimostrate per esercizio che si tratta effettivamente di una forma bilineare.
- Se la matrice dell'esempio 2 è la matrice identità, otteniamo la cosiddetta forma simmetrica standard su definita come
Vediamo ora la matrice associata ad una applicazione bilineare.
Sia un -spazio vettoriale di dimensione e sia una sua base. Sia inoltre una forma bilineare su . Allora la matrice di rispetto alla base appena definita è
Sia un campo ordinato. Una forma bilineare simmetrica su si dice prodotto scalare se
Il prodotto scalare si indica con il simbolo .
Con lo stesso simbolo viene denotato anche il prodotto scalare definito positivo, ossia un prodotto scalare tale che: .
Quel prodotto scalare tale che
si indica con e si chiama prodotto scalare standard.
Uno spazio vettoriale
nel quale è definita l'operazione di prodotto scalare, si indica con
e prende il nome di
spazio vettoriale euclideo.
Teorema (Disuguaglianza di Schwarz)
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Supponiamo i vettori diversi da zero, altrimenti il teorema è banale.
Sia un vettore combinazione lineare di e , quindi . Per la definizione di prodotto scalare:
.
Prendendo tale che e otteniamo al secondo membro
.
Dividendo ambo i membri per , che è strettamente positivo perché abbiamo supposto non nullo, otteniamo
L'eguaglianza vale se e solo se:
, cioè e sono linearmente dipendenti.
Si definisce in uno spazio vettoriale euclideo la norma di un vettore come
Utilizzando la norma, si può esprimere la disuguaglianza di Schwartz come .
La norma di un vettore gode delle seguenti proprietà:
- e vale l'uguaglianza se e solo se e sono paralleli.
La proprietà 3 è la nota disuguaglianza triangolare che dimostriamo nel seguente modo:
Due vettori si dicono ortogonali (o perpendicolari) se e solo se .
Sia un insieme di vettori non nulli di . Tale insieme si dice ortogonale se sono ortogonali tutti i vettori dell'insieme presi due a due, cioè se
.
Nel caso , cioè , allora l'insieme si dice ortonormale. Equivalentemente, un insieme ortonormale è un insieme ortogonale i cui vettori sono dei versori.
Se un insieme ortogonale od ortonormale è una base di una spazio vettoriale, si dice semplicemente che tale base è una base ortogonale o ortonormale.
Sia un insieme ortogonale. Allora
- i sono linearmente indipendenti;
- Se , è una base (ortogonale) di ;
- , il vettore è ortogonale a ciascuno di essi.
1. Basta dimostrare che se due vettori non nulli sono ortogonali, allora sono indipendenti.
Siano e due vettori non nulli, e tali che . Sia un qualunque vettore combinazione lineare di e , ossia .
Devo dimostrare che implica che .
Sia . Allora deve succedere che
Quindi .
I due vettori sono non nulli, quindi i due prodotti scalari sono positivi, e quindi, affinché l'eguaglianza valga, deve essere che e devono essere nulli, da cui segue la tesi.
2. Dalla 1. segue che un insieme di vettori indipendenti in uno spazio di dimensione è una base.
3. Fissiamo un indice , e sia un vettore della base ortogonale. Prendiamo un vettore , e sia il vettore definito nell'enunciato. Ecco cosa succede:
Visto che stiamo in una base ortogonale, , e quindi la sommatoria si riduce al termine .
In definitiva: .
Tutto ciò è vero, qualunque sia e qualunque sia , ossia la tesi.
Procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt
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Sia una base di . Allora costituito dai vettori
è una base ortogonale.
Osserviamo che e che ogni è non nullo. Infatti, se per assurdo un qualche fosse nullo, avremmo
- e questo contraddice l'ipotesi che sia una base.
Per il Lemma precedente, sappiamo che ogni è ortogonale al vettore che lo precede nella n-upla , dunque è un insieme ortogonale.
Sempre per il Lemma deduciamo che i sono linearmente indipendenti e pertanto costituiscono una base.
Questo algoritmo ci permette di ottenere una base ortogonale a partire da una base di partenza data.
Proposizione (esistenza di una base ortonormale)
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Dunque tutti i vettori sono ortonormali.
- Sia di dimensione 4 e sia una base di ortonormale (è la base canonica). Consideriamo poi i vettori
.
- Applichiamo il procedimento di Gram-Schmidt per ottenere una base ortogonale.
Dunque è una base ortogonale di .