Gruppi ortogonali e spazi perpendicolari

lezione Gruppi ortogonali e spazi perpendicolari
	Tipo: lezione
	Materie: Geometria analitica Algebra lineare
	Avanzamento: lezione completa al 100%

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In questo corso verranno studiate alcune interessanti proprietà delle matrici su un campo $𝕂$ , che si riveleranno utili per trovare funzioni tali che l'immagine di una base ortonormale è ancora una base ortonormale. Inoltre, dato uno spazio vettoriale euclideo $< V, <, > >$ , verranno trattate alcuni sottospazi che sono definite tramite il prodotto scalare: il sottospazio perpendicolare.

L'insieme delle matrici quadrate di ordine $n$ su un campo $𝕂$ sarà denotato con $M_{n} (𝕂)$ . L'insieme delle matrici invertibili su $𝕂$ sarà denotato con $G L_{n} (𝕂)$ .

Sia $A \in M_{n} (𝕂)$ . La matrice trasposta di $A$ (cioè la matrice tale che le sue righe corrispondono alle colonne di $A$ ) verrà denotato con $A^{t}$ . La matrice identica verrà denotata con $I$ . L'inversa di $A$ , se esiste, verrà denotata con $A^{- 1}$ .

Definizione di matrice ortogonale e gruppo ortogonale

Una matrice $A \in G L_{n} (𝕂)$ dice ortogonale se $A^{- 1} = A^{t}$

Definiamo $O_{n} (𝕂) = {A \in G L_{n} (𝕂) : A ortogonale}$ il gruppo ortogonale di ordine $n$ su $𝕂$ . Esso è non vuoto perché $I \in O_{n} (𝕂)$

È noto che $(G L_{n} (𝕂), \cdot)$ è un gruppo detto gruppo lineare di dimensione $n$ su $𝕂$ . Si può dimostrare che $(O_{n} (𝕂), \cdot)$ è un sottogruppo di $G L_{n} (𝕂)$ o, equivalentemente, $A, B \in O_{n} (𝕂) \Rightarrow A^{- 1} B \in O_{n} (𝕂)$ (si vedano le proprietà di un sottogruppo).

Infatti $A, B \in O_{n} (𝕂) \Rightarrow (A^{- 1} B)^{- 1} = B^{- 1} (A^{- 1})^{- 1} = B^{t} (A^{- 1})^{t} = (A^{- 1} B)^{t} \Rightarrow A^{- 1} B \in O_{n} (𝕂)$ .

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Proprietà delle matrici ortogonali

Proposizione

$A è ortogonale ⟺ A^{t} A^{- 1} = I = A^{- 1} A^{t}$

Dimostrazione

Supponiamo $A$ ortogonale. Allora $A^{- 1} = A^{t} \Rightarrow A A^{- 1} = I = A A^{t}$ e $A^{- 1} A = I = A^{t} A$

Viceversa se $A^{t} A = I = A A^{t}$ , allora $A^{t} A = A A^{- 1} = A A^{t}$ . Siamo in un gruppo, quindi la regola della cancellazione di $A$ prova che, in ogni caso, $A^{- 1} = A^{t}$ .

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Osservazione

Osserviamo che se $A \in O_{n} (𝕂)$ , allora il suo determinante è $\pm 1$ .

Infatti $1 = det (I) = det (A A^{t}) = det (A) det (A^{t}) = (det A)^{2} \Rightarrow det A = \pm \sqrt{1} = \pm 1$

Il viceversa non vale, perché, ad esempio, la matrice $(\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix})$ ha determinante 1, ma $(\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}) \neq (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})$ .

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Sottogruppo speciale

Definiamo ora un sottogruppo di $O_{n} (𝕂)$ che denotiamo con $S O_{n} (𝕂) = {A \in O_{n} (𝕂) : det A = 1}$ . Questo sottogruppo è detto sottogruppo speciale ortogonale di ordine $n$ su $𝕂$ .

Proposizione

Sia $(V, <, >)$ uno spazio vettoriale euclideo, con $\dim (V) = n$ .

Sia $U = (𝐮_{1}, \dots, 𝐮_{n})$ una base ortonormale di $(V, <, >)$ . Un'altra base $B = (𝐯_{1}, \dots, 𝐯_{n})$ è ortonormale se e solo se è ortogonale la matrice del cambiamento di base $M_{U B}$ .

Dimostrazione

Sia $M_{U B} = (a_{i j})$ la matrice del cambiamento di base, ossia tale che $𝐯_{i} = \sum_{k = 1}^{n} a_{i k} 𝐮_{k}$ con $i = 1, \dots, n$ .

$U$ è una base ortonormale, quindi $\forall 𝐯, 𝐰 \in V, < 𝐯, 𝐰 > = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i}$ , con $x_{i}$ e $y_{i}$ le rispettive coordinate nella base $U$ .

Se $M_{U B}$ è ortogonale, allora (ricordando che se $A = (a_{i j})$ , allora $A^{t} = (a_{j i})$ ):

$M_{U B} M_{U B}^{t} = (c_{i j}), c_{i j} = \sum_{k = 1}^{n} a_{i k} a_{j k} = < 𝐯_{i}, 𝐯_{j} > = {\begin{matrix} 1, i = j \\ 0, i \neq j \end{matrix}$ . E quindi B è ortonormale.

Viceversa, se $B$ è ortonormale, allora $< 𝐯_{i}, 𝐯_{j} > = {\begin{matrix} 1, i = j \\ 0, i \neq j \end{matrix}$ cioè se $M_{U B}^{t} M_{U B} = I$ e dunque $M_{U B} \in O_{n} (𝕂)$

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Sottospazi perpendicolari

Sia $W$ un sottoinsieme non vuoto di $(V, <, >)$ . Definiamo il sottospazio perpendicolare di $W$

p e r p (W) = {𝐯 \in V : < 𝐯, 𝐰 > = 0, \forall 𝐰 \in W}

La dimostrazione che $p e r p (W)$ è effettivamente un sottospazio è semplice e la omettiamo per non appesantire ancora di più questa lezione già di per sé parecchio onerosa.

Proposizione (relazioni di dimensione tra lo spazio e il sottospazio perpendicolare)

Sia $W$ un sottospazio di $(V, <, >)$ , $\dim V = n$ . Allora

V = W \oplus p e r p (W)

Dimostrazione

Se $W = 0$ la tesi è banale perché $p e r p (W) = V$ .

Sia allora $W \neq 0$ e e fissiamo una base ortonormale $B = (𝐰_{1}, \dots, 𝐰_{m})$ .Preso comunque $W$ , esso sarà generato dai vettori della base $B_{1} = (𝐰_{1}, \dots, 𝐰_{n})$ con $n ⩽ m$ .dunque il suo ortogonale è il sottospazio generato dai vettori della base ortogonali a $(W_{1}, \dots, W_{n})$ cioè da $(W_{(} n + 1), \dots, W_{m})$ altrimenti esisterebbe un altro sottospazio perpendicolare a $W$ , per definizione di base ortonormale, non incluso in $p e r p (W)$ .Dunque $W + p e r p (W) = V$ occorre dimostrare come i due sottospazi siano in somma diretta. Per ogni $w \in W$ , si ha che $w^{'} \in p e r p (W)$ è ortogonale a $w$ , dunque la loro intersezione è necessariamente $(0)$ (non esiste nessun vettore di $W$ parallelo a un vettore di $p e r p (W)$ ). segue che $d i m (W \cap p e r p (W)) = 0$ . dunque abbiamo dimostrato che i due sottospazi sono in somma diretta. ciò cnclude la dimostrazione.

Proposizione

Siano $U, W$ sottospazi di $(V, <, >)$ . Allora

$p e r p (p e r p (U)) = U$
$U \subseteq W \Leftrightarrow p e r p (U) \supseteq p e r p (W)$

Dimostrazione

1. sia $B = (b_{0}, \dots, b_{m})$ una base ortonormale di $V$ . Sia $U$ sottospazio di $V$ . dunque $U$ ha come base $(b_{0}, \dots, b_{n})$ con $n ⩽ m$ . sia $p e r p (U)$ il sottospazio di $V$ generato dagli altri vettori della base ortonormale $(b_{(} n + 1) \dots, b_{m})$ (si è dimostrato in precedenza che $U, p e r p (U)$ sono in somma diretta). dunque $p e r p (p e r p (U))$ e $p e r p (U)$ devono essere anch'essi in somma diretta e la loro somma deve essere $V$ . dunque una base di $p e r p (p e r p (U)$ ) dev'essere $(b_{0}, \dots, b_{n})$ ma $s p a n (b_{0}, \dots, b_{n}) = U$ .

2. sia $B = (b_{0}, \dots, b_{m})$ base ortonormale di $V$ . Sia $s p a n (b_{0}, \dots, b_{n}) = U$ e $s p a n (b_{o}, \dots, b_{(} n + k)) = W$ con $n ⩽ m, k ⩾ 0$ . una base di $p e r p (U)$ sarà $(b_{(} n + 1), \dots, b_{m})$ e una base di $p e r p (W)$ sarà $(b_{(} n + k + 1), \dots, b_{m})$ . dunque si nota facilmente che $p e r p (W) \subseteq p e r p (U)$ , e i due coincidono se e solo se $k = 0$ ovvero se coincidono anche $U$ e $W$ .