Gruppi ortogonali e spazi perpendicolari

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lezione
Gruppi ortogonali e spazi perpendicolari
Tipo di risorsa Tipo: lezione
Materia di appartenenza Materie:
Avanzamento Avanzamento: lezione completa al 100%.

Geometria > Gruppi ortogonali e spazi perpendicolari

In questo corso verranno studiate alcune interessanti proprietà delle matrici su un campo , che si riveleranno utili per trovare funzioni tali che l'immagine di una base ortonormale è ancora una base ortonormale. Inoltre, dato uno spazio vettoriale euclideo , verranno trattate alcuni sottospazi che sono definite tramite il prodotto scalare: il sottospazio perpendicolare.

L'insieme delle matrici quadrate di ordine su un campo sarà denotato con . L'insieme delle matrici invertibili su sarà denotato con .

Sia . La matrice trasposta di (cioè la matrice tale che le sue righe corrispondono alle colonne di ) verrà denotato con . La matrice identica verrà denotata con . L'inversa di , se esiste, verrà denotata con .

Definizione di matrice ortogonale e gruppo ortogonale[modifica]

Una matrice dice ortogonale se


Definiamo il gruppo ortogonale di ordine su . Esso è non vuoto perché

È noto che è un gruppo detto gruppo lineare di dimensione su . Si può dimostrare che è un sottogruppo di o, equivalentemente, (si vedano le proprietà di un sottogruppo).

Infatti .


Proprietà delle matrici ortogonali[modifica]

Proposizione[modifica]

Dimostrazione[modifica]

Supponiamo ortogonale. Allora e

Viceversa se , allora . Siamo in un gruppo, quindi la regola della cancellazione di prova che, in ogni caso, .


Osservazione[modifica]

Osserviamo che se , allora il suo determinante è .

Infatti

Il viceversa non vale, perché, ad esempio, la matrice ha determinante 1, ma .


Sottogruppo speciale[modifica]

Definiamo ora un sottogruppo di che denotiamo con . Questo sottogruppo è detto sottogruppo speciale ortogonale di ordine su .

Proposizione[modifica]

Sia uno spazio vettoriale euclideo, con .

Sia una base ortonormale di . Un'altra base è ortonormale se e solo se è ortogonale la matrice del cambiamento di base .

Dimostrazione[modifica]

Sia la matrice del cambiamento di base, ossia tale che con .

è una base ortonormale, quindi , con e le rispettive coordinate nella base .

Se è ortogonale, allora (ricordando che se , allora ):

. E quindi B è ortonormale.

Viceversa, se è ortonormale, allora cioè se e dunque


Sottospazi perpendicolari[modifica]

Sia un sottoinsieme non vuoto di . Definiamo il sottospazio perpendicolare di

La dimostrazione che è effettivamente un sottospazio è semplice e la omettiamo per non appesantire ancora di più questa lezione già di per sé parecchio onerosa.

Proposizione (relazioni di dimensione tra lo spazio e il sottospazio perpendicolare)[modifica]

Sia un sottospazio di , . Allora

Dimostrazione[modifica]

Se la tesi è banale perché .

Sia allora e e fissiamo una base ortonormale .Preso comunque , esso sarà generato dai vettori della base con .dunque il suo ortogonale è il sottospazio generato dai vettori della base ortogonali a cioè da altrimenti esisterebbe un altro sottospazio perpendicolare a , per definizione di base ortonormale, non incluso in .Dunque occorre dimostrare come i due sottospazi siano in somma diretta. Per ogni , si ha che è ortogonale a , dunque la loro intersezione è necessariamente (non esiste nessun vettore di parallelo a un vettore di ). segue che . dunque abbiamo dimostrato che i due sottospazi sono in somma diretta. ciò cnclude la dimostrazione.

Proposizione[modifica]

Siano sottospazi di . Allora

Dimostrazione[modifica]

1. sia una base ortonormale di . Sia sottospazio di . dunque ha come base con . sia il sottospazio di generato dagli altri vettori della base ortonormale (si è dimostrato in precedenza che sono in somma diretta). dunque e devono essere anch'essi in somma diretta e la loro somma deve essere . dunque una base di ) dev'essere ma .

2. sia base ortonormale di . Sia e con . una base di sarà e una base di sarà . dunque si nota facilmente che , e i due coincidono se e solo se ovvero se coincidono anche e .