Spazi vettoriali

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Spazi e sottospazi Vettoriali


lezione
Spazi vettoriali
Tipo di risorsa Tipo: lezione
Materia di appartenenza Materia: Algebra lineare
Avanzamento Avanzamento: lezione completa al 75%.

Per questa lezione sono utili le nozioni di Gruppo e Campo algebrico.

Spazi e sottospazi vettoriali[modifica]

Un insieme di vettori appartenenti ad un qualsiasi campo formano uno spazio vettoriale se è un gruppo abeliano e , con prodotto per uno scalare, gode della proprietà distributiva, associativa, esistenza dell'elemento neutro e dello 0. In altri termini, esplicitando le proprietà:



Un sottospazio vettoriale di è un insieme con la proprietà di chiusura per le operazioni di somma e prodotto per uno scalare, cioè:

Esempi di spazi e sottospazi vettoriali[modifica]

è uno spazio vettoriale. Infatti soddisfa tutte le proprietà descritte sopra.

Combinazioni lineari di vettori[modifica]

Definizione: si definisce combinazione lineare di vettori con coefficienti il vettore
.

Si definisce inoltre il sottospazio generato dai l'insieme delle combinazioni lineari dei , cioè:

Dunque, dato uno spazio vettoriale e sottospazio vettoriale, diremo che i vettori generano il sottospazio se tutti gli elementi di possono essere scritti come combinazione lineare dei vettori .

Si osservi che dalla sola definizione data non è necessario che tali generatori siano "necessari" per generare lo spazio. Non è escluso cioè che togliendo dall'insieme un vettore, il sottospazio vettoriale così generato resti lo stesso.

Esempi[modifica]

  • Dato un vettore non nullo si ha che il sottospazio generato da (spesso indicato con o anche come o come ) è l'insieme di tutti i multipli di . La verifica delle proprietà di sottospazio è immediata.
  • (solo per studenti con nozioni di geometria analitica) Consideriamo il sottospazio vettoriale di con equazioni cartesiane nell'usuale sistema di coordinate. Si osserva facilmente che un insieme di generatori di tale sottospazio è dato dai vettori definiti nell'esempio successivo.

Infatti un generico punto del sottospazio ha la forma e può quindi essere scritto come .

Questo dimostra che il sottospazio generato da e contiene . Il viceversa è banalmente vero unicamente osservando che i due generatori appartengono entrambi al sottospazio .

  • Rispetto all'esempio appena considerato si può osservare che qualsiasi coppia di vettori della forma con , genera lo stesso sottospazio .

Dipendenza e indipendenza lineare[modifica]

Definizione: un insieme di vettori si dicono linearmente dipendenti se esistono degli non tutti nulli tali che

.

Viceversa, i vettori si dicono linearmente indipendenti, ovvero se

.

Vedremo più avanti, quando studieremo i sistemi lineari, metodi più efficaci per determinare la dipendenza o indipendenza lineare di un insieme vettori. In ogni caso, facciamone comunque qualche esempio utile a chi ha già nozioni di sistemi lineari e rango di una matrice.

Esempi[modifica]

  • Consideriamo lo spazio vettoriale reale . Verifichiamo che i vettori , sono linearmente indipendenti. Prendiamo in esame una generica combinazione lineare a coefficienti reali dei due vettori e mostriamo che essa è il vettore nullo se e soltanto se entrambi i coefficienti sono nulli. Una generica combinazione lineare dei due vettori è il vettore della forma
    Analizziamo ora le implicazioni che derivano dal supporre che una tale combinazione risulti essere il vettore nullo
    riscrivendo tale condizione si ottiene il seguenti sistema
    il quale ha solo la soluzione banale . Abbiamo dunque mostrato che ogni combinazione lineare dei due vettori è il vettore nullo se e soltanto se i coefficienti di tale combinazione lineare sono nulli. Questo dimostra che i due vettori sono linearmente indipendenti
  • Analogamente all'esempio 1 si può mostrare che i versori di :
    sono linearmente indipendenti. Daremo di seguito una dimostrazione alternativa allo scopo di mostrare un altro approccio all'indipendenza lineare basato sulle matrici. Dalla definizione di indipendenza lineare segue che, se e non fossero linearmente indipendenti, esisterebbero tre coefficienti scalari non nulli
    e tali che .
    Questa condizione si può banalmente riscrivere come , il che significa che se non sono linearmente indipendenti uno di essi (nel nostro caso ) appartiene al sottospazio vettoriale generato dagli altri due.
    Possiamo quindi dire che la matrice costituita dai tre vettori non avrà rango massimo, in particolare in questo caso sarà:
    ma questo è assurdo essendo la matrice esattamente la matrice identica.
    Questo ragionamento dà una caratterizzazione equivalente dell'indipendenza lineare, ovvero:
    I vettori sono linearmente indipendenti se e solo se la matrice che ha come colonne tali vettori ha rango massimo