Collegamenti tra combinatoria e matrici
I collegamenti fra combinatoria e matrici sono molti e vari. Del resto sono molteplici i collegamenti fra la combinatoria e quasi tutti gli altri argomenti matematici e le matrici forniscono rappresentazioni molto concrete di oggetti che si trovano in quasi tutti i settori della matematica. Ma diamo qualche indicazione più utilizzabile.
La combinatoria è nata 4000 anni fa in Oriente con lo studio di matrici come i quadrati magici.
Altre matrici speciali che interessano la combinatoria sono i quadrati latini e le matrici di Hadamard.
I grafi sono rappresentabili con vari tipi di matrici (matrice delle adiacenze, matrice delle incidenze, matrice dei cicli, ...). Varie proprietà di simmetria dei grafi possono vedersi come proprietà di simmetria di particolari matrici e questo doppio punto di vista risulta utile all'avanzamento della conoscenza di entrambi i tipi di oggetti matematici. Va poi osservato che per risolvere effettivamente i numerosi problemi modellizzati con grafi (v. ottimizzazione combinatoria), queste strutture molto spesso sono implementate mediante matrici.
Un altro grosso argomento della combinatoria riguarda le strutture di incidenza e i disegni a blocchi, strutture definibili mediante matrici binarie. Un argomento collegato è la teoria dei codici, disciplina che studia configurazioni in spazi vettoriali discreti e fa largo uso di matrici.
Una teoria combinatoria avanzata e ramificata è la teoria delle matroidi: queste strutture, come rivela il nome, sono sofisticate generalizzazioni delle matrici e di configurazioni relative a grafi e a spazi discreti.
La combinatoria enumerativa si serve spesso di successioni di polinomi speciali e di successioni di serie di potenze formali: queste entità possono rappresentarsi significativamente mediante matrici infinite. Queste matrici sono molteplici e sono forse più note come tabelle che presentano schieramenti di numeri speciali: ad esempio il triangolo di Tartaglia, cioè una presentazione dei coefficienti binomiali, può vedersi come una presentazione della successione dei polinomi di Newton .
I giochi combinatori riguardano in gran parte delle scacchiere, cioè matrici con entrate appartenenti a domini finiti particolari.
Bibliografia
[modifica]- Richard A. Brualdi, Herbert Ryser (1981): Combinatorial matrix theory, Encyclopedia of mathematics and its applications, Cambridge University Press ISBN 0-521-32265-0