Utente:Danielg/Sandbox2

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Algebra[modifica]

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Avanzamento lezione: 50%.svg 50% al 28-10-2020.


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Servizi Dipartimento[modifica]

Logica (MAT/01)
Algebra (MAT/02)
Probabilità e statistica matematica (MAT/06)
Analisi numerica (MAT/08)
Ricerca operativa (MAT/09)

servizi[modifica]

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Il dipartimento di Matematica offre dei servizi per studenti e semplici interessati di matematica.

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Teorema di Rouché-Capelli[modifica]

Sia un sistema lineare di m equazioni in n incognite. Allora il sistema ha soluzioni se e solo se

.

La soluzione è unica se e solo se

.

Dimostrazione[modifica]

Esistenza[modifica]

Un sistema lineare ha soluzioni se e solo se il vettore dei termini noti b appartiene allo spazio vettoriale generato dai vettori colonna della matrice dei coefficienti A. Cioè, , ovvero tutti i vettori colonna dei termini noti si ottiene in funzione del vettore .

Si ha che

cioè

ma sappiamo che tutti i sono combinazioni lineari di , quindi

.

Unicità[modifica]

Per il Teorema di Struttura, se è l'unica soluzione del sistema allora non esistono soluzioni del sistema omogeneo , quindi se e solo se .

Teorema di Cramer[modifica]

Sia dato un sistema lineare con equazioni in incognite e .

Per ogni sia la matrice ottenura da sostituendo alla colonna i-esima la colonna dei termini noti. Allora vale che:

Dimostrazione[modifica]

Sia la matrice ottenuta da scambiando la i-esima colonna di con il vettore colonna dei termini noti

Lo sviluppo di Laplace rispetto alla i-esima colonna e'

e sappiamo che

Sviluppiamo rispetto alla colonna i-esima