Utente:Danielg/Sandbox2

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Algebra

• Operazioni algebriche
• La derivata
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Il dipartimento di Matematica offre dei servizi per studenti e semplici interessati di matematica. Biblioteca del Dipartimento di Matematica La Biblioteca del Dipartimento di Matematica e' un luogo dove e' possibile reperire wikibooks, libri, documenti e risorse in genere di tipo didattico o comunque di interesse per studenti, ricercatori e studiosi in genere di matematica. La Biblioteca non ospita direttamente le risorse sopra citate, ma ne cataloga i collegamenti per permettere un facile raggiungimento delle risorse matematiche dispnibili in rete. La Biblioteca del Dipartimento di Matematica si prefiggie lo scopo di creare un punto di riferimento per la consultazione del materiale matematico in rete e risulta di grande utilita' per chi e' alla ricerca di un supporto alle lezioni o anche per chi e' semplicemente curioso sulla materia e desidera navigare tra le risorse linkate. Entra nella Biblioteca del Dipartimento di Matematica! Ricevimento Il ricevimento e' un servizio per chi ha quesiti matematici da porre alla comunita' intera, che funge in questo caso da professore virtuale. Analogamente a quanto accade nelle universita' reali, potete usufruire del ricevimento per esporre domande, incomprensioni, richieste e quant'altro riguardo ad un certa materia e la comunita' cerchera' (se possibile) di aiutarvi. Anche in questo caso analogamente alla realta', e' un servizio che va usato con buon senso e non bisogna abusarne: ogni domanda relativa a incomprensioni, dubbi, richieste sulle materie (trattate da questo dipartimento) e' ben accetta, ma non prendete il ricevimento come una calcolatrice. Se volete solo sapere quanto fa il tal integrale, utilizzate un software apposito o una calcolatrice. Le materie disponibili per i ricevimenti sono le seguenti: Analisi Matematica

Teorema di Rouché-Capelli

Sia $Ax=b$ un sistema lineare di m equazioni in n incognite. Allora il sistema ha soluzioni se e solo se

${\rm {rg}}A={\rm {rg}}A^{\prime }$.

La soluzione è unica se e solo se

${\rm {rg}}A=n$.

Dimostrazione

Esistenza

Un sistema lineare ha soluzioni se e solo se il vettore dei termini noti b appartiene allo spazio vettoriale generato dai vettori colonna della matrice dei coefficienti A. Cioè, $b\in {\mathcal {L}}(A_{1},\ldots ,A_{n})$, ovvero tutti i vettori colonna $b$ dei termini noti si ottiene in funzione del vettore $x={\begin{pmatrix}x_{1}&\cdots &x_{n}\end{pmatrix}}$.

Si ha che

${\mathcal {L}}(A_{1},\ldots ,A_{n})\subseteq {\mathcal {L}}(A_{1},\ldots ,A_{n},b)$

cioè

${\rm {Im}}L_{A}\subseteq {\rm {Im}}L_{A^{\prime }}$

ma sappiamo che tutti i $b$ sono combinazioni lineari di $(A_{1},\ldots ,A_{n})$, quindi

${\mathcal {L}}(A_{1},\ldots ,A_{n})={\mathcal {L}}(A_{1},\ldots ,A_{n},b)\Rightarrow {\rm {rg}}A={\rm {rg}}A^{\prime }$.

Unicità

Per il Teorema di Struttura, se $v$ è l'unica soluzione del sistema allora non esistono soluzioni del sistema omogeneo $Ax=O$, quindi se e solo se ${\rm {rg}}A=n$.

Teorema di Cramer

Sia dato un sistema lineare $AX=B$ con $n$ equazioni in $n$ incognite e $\det A\neq 0$.

Per ogni $1\leq i\leq n$ sia $C_{i}$ la matrice ottenura da $A$ sostituendo alla colonna i-esima la colonna dei termini noti. Allora vale che:

$x_{i}={\frac {\det C_{i}}{\det A}},\forall i\in \left\{1,2,\ldots ,n\right\}$

Dimostrazione

Sia $C_{i}$ la matrice ottenuta da $A$ scambiando la i-esima colonna di $A$ con il vettore colonna dei termini noti $B$

$C_{i}=\left({\begin{matrix}a_{11}&\cdots &a_{1i-1}&b_{1}&a_{1i+1}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &&&\vdots &&&\vdots \\a_{i1}&\cdots &&b_{i}&&\cdots &a_{in}\\\vdots &&&\vdots &&&\vdots \\a_{n1}&\cdots &a_{ni-1}&b_{n}&a_{ni+1}&\cdots &a_{nn}\\\end{matrix}}\right)$

Lo sviluppo di Laplace rispetto alla i-esima colonna e'

$\det C=\sum _{j=1}^{n}b_{j}A_{ij}$

e sappiamo che

$\left({\begin{matrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\\\end{matrix}}\right)=A^{-1}B$

Sviluppiamo rispetto alla colonna i-esima

$x_{i}=\left(A^{-1}B\right)_{i}=\left(\sum _{j=1}^{n}{\frac {\det A_{ij}}{\det A}}b_{j}\right)_{i}={\frac {\det C}{\det A}}$