funzione data |
integrale |
funzione data |
integrale
|
![{\displaystyle \ x^{m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/841c3250c3c453f43246477fc5bd3c34a6409cf2) |
![{\displaystyle {\frac {x^{m+1}}{m+1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d38249fbc213235bafb744d8e62b41dd9e303667) |
![{\displaystyle \ cos^{2}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e2fdda65ea482d32fe684f2baefb532d7ec156f) |
|
![{\displaystyle \ a^{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f89ec5bfb055f231a55161e75570d242ae7d6c28) |
![{\displaystyle {\frac {a^{x}}{\log {a}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87b40d9cce4e440807a89cddef28164bd4225ac7) |
![{\displaystyle \ -cosc^{2}\ x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c793bceaddcecfbf1cfe981cc6abb6aa3c13dc9) |
|
![{\displaystyle \ e^{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92048c7dcca1097527e9189031b4cc9402115043) |
![{\displaystyle \ e^{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92048c7dcca1097527e9189031b4cc9402115043) |
![{\displaystyle \ sec^{2}\ x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba4581bcd8352eb393c618896e9f654431925c10) |
|
![{\displaystyle {\frac {1}{x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68f89eaf83a3811c69adb4bf1119bafd661a4c08) |
![{\displaystyle \ logx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c453b247146c1d2a066a19d8c9a9644ce10c65d2) |
![{\displaystyle -\ cosec^{2}\ x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d3e8044c1757cb2a09fffbd4e5895695e5d4e62) |
|
![{\displaystyle \ sinx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c655c03d001fa7ec9a7879d0899ee60b3a5321b8) |
![{\displaystyle \ -cosx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1172b6275e5da6c17c3cf867affe2dcfa0d93bd) |
![{\displaystyle {1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/879fab9b721071157cf2a705660f2af7a68548b4) |
|
![{\displaystyle \ cosx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33e2158ea995480b2e6d9b5a5cd96179eeb80618) |
![{\displaystyle \ senx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fffce09af2ed5614860d2c856c020fb2bef5aabe) |
![{\displaystyle -{1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f48dbee13a3e77e4d43e3a220cb6ff4bda0d969) |
|
![{\displaystyle {\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efa0b6271943853896ad86fe890f7203f887531d) |
|
![{\displaystyle {\frac {1}{n{\sqrt[{n}]{x}}^{n-1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e7b1c758940d2d28e8a21110dd2b074fb90818f) |
|
- 1°)
![{\displaystyle \ \int _{}{(ax+b)^{n}}dx={\frac {1}{a}}\ \int _{}(ax+b)^{n}d(ax+b)={\frac {(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb3605afba688983a203bbe3790bb9a56872d254)
- 2°)
![{\displaystyle \ \int _{}{\frac {dx}{ax+b}}={\frac {1}{a}}\ \int _{}{\frac {d(ax+b)}{ax+b}}={\frac {1}{a}}\log(ax+b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43aad071711fd41c369ffcb77b844aedf7a12a7f)
- 3°)
![{\displaystyle \ \int _{}{\frac {dx}{(ax+b)^{n}}}={\frac {1}{a}}\ \int _{}{\frac {d(ax+b)}{(ax+b)^{n}}}={\frac {1}{a(1-n)(ax+b)^{n-1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e87aeb52550862cf667f17d34bf17e562a555703)
- 4°)
![{\displaystyle \ \int _{}{\frac {xdx}{ax^{2}+b}}={\frac {1}{2a}}\ \int _{}{\frac {d(ax^{2}+b)}{ax^{2}+b}}={\frac {1}{2a}}\log(ax^{2}+b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48984dbdf7015dbb71f75bef30469ef1cf52d941)
- 5°)
- quando
![{\displaystyle \ {\frac {b}{a}}=c^{2}\ >0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/420b712c20959e5c6ae3ed545de1c2419852fe72)
- funzione razionale intera
![{\displaystyle \ \int _{}(a_{o}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+.....+a_{n-1}x+a_{n})dx=a_{o}{\frac {x^{n+1}}{n+1}}+....+a_{n+1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/195956af552dc41f80c8c0e6fd3edc499ff63de9)
- funzione razionale fratta:
![{\displaystyle {\frac {A(x)}{B(x)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd49f7d22b5503b931578fef98d5eded8dcf425e)
Se il denominatore è tale che:
![{\displaystyle \ B(x)=(x-\alpha )(x-\beta )^{r}[(x-\epsilon )^{2}+\delta ^{2}][x-\mu )^{2}+\nu ^{2}]^{s}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e5f36d4a8d479f0526be05aa9d0a856295b0d16)
essendo:
una radice reale semplice,
una radice reale multipla,
due radici complesse semplici,
due radici complesse multiple,
dell'equazione:
, la frazione data si decompone nel seguente modo:
![{\displaystyle {\frac {A(x)}{B(x)}}={\frac {c_{1}}{x-\alpha }}+{\frac {d_{r}}{(x-\beta )^{r}}}+{\frac {d_{r-1}}{(x-\beta )^{r-1}}}+....+{\frac {d_{1}}{x-\beta }}+{\frac {m_{1}x+n_{1}}{(x-\epsilon )^{2}+\delta ^{2}}}+{\frac {p_{s}x+q_{s}}{[(x-\mu )^{2}+\nu ^{2}]^{s-}}}+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8b07bf0da84aff471f52d28b089bad4e98d9286)
![{\displaystyle +{\frac {p_{s-1}x+q_{s-1}}{[(x-\mu )^{2}+\nu ^{2}]^{s-1}}}+....+{\frac {p_{1}x+q_{1}}{(x-\nu )^{2}+\nu ^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9522e22f19caa70fdbc978094479936e52447b5f)
dove le costanti
, si determinano riducendo i due membri a forma intera, confrontando i numeratori ottenuti, e risolvendo il sistema che si ottiene scrivendo che devono essere uguali i coefficienti delle stesse potenze della
dei due membri. L'integrazione della frazione
è ricondotta così ad un gruppo di integrali quasi tutti immediati
- formule risolutive notevoli
- A)
![{\displaystyle \ \int _{}{\frac {A(x)dx}{(x-\alpha _{1})(x-\alpha _{2})....(x-\alpha _{n})}}=\sum _{i=1}^{n}c_{i}\ log(x-\alpha _{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49d0dc5532097844621cf3cad086ff3fed4c259d)
- B)
![{\displaystyle \ \int _{}{\frac {dx}{(ax^{2}+b)^{2}}}={\frac {\sum _{i=1}^{i=n}c_{i}\ log(x-\alpha _{i})}{(ax^{2}+b)^{n-1}}}+c_{n}I_{o}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a1e0c64ed432fc48a1032f341239c008644e058)
- dove
![{\displaystyle \ I_{o}(x)=\ \int _{}{\frac {dx}{ax^{2}+b}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7e1aa96a0340aa2b32c2efbf16d97ff6c29d9e5)
con F simbolo di funzione razionale.
Ponendo:
dove
, da cui:
, l'integrale diventa:
![{\displaystyle \int _{}{}F({t^{\mu }-b \over a},\ t^{m}q_{1},\ t^{p}q_{2},...t^{r}q_{k}){\mu \over a}\ t^{\mu -1}dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e2c689eaf7438b6a16912f2c3bb27d9e3603caf)
con:
e si è così ricondotti all'integrale di una funzione razionale.
- esempio
Ponendo
si ha:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{}{}{dx \over 1+{\sqrt {x}}}&=2\int _{}{}{t\ dt \over 1+t}=2t-2\log(1+t)\\&=2{\sqrt {x}}-2\log(1+{\sqrt {x}})\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/510a938889ac0cf03af1e545a73cdbfe5de68d62)
Posto
onde
si ha:
![{\displaystyle \ \int _{}{}{dx \over {\sqrt[{3}]{x}}-1}=\int _{}{}{1 \over t-1}3\ t^{2}dt=3\int _{}{}{t^{2} \over t-1}dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/699daf7f99fb58997040421bfe6d768012c62db4)
Ora,
quindi
![{\displaystyle \ \int _{}{}{t^{2} \over t-1}dt=t+{t^{2} \over 2}+\log(t-1);}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d8f04ce8f4abb4c4e3ebb80361117ba82dbddab)
allora, per
![{\displaystyle \int _{}{}{dx \over {\sqrt[{3}]{x}}-1}=3[{\sqrt[{3}]{x}}+{1 \over 2}{\sqrt[{3}]{x}}^{2}+\log({\sqrt[{3}]{x}}-1)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/caeb95f6d50d80d18192aa130538e3e5d8f9c0cc)
con F simbolo di funzione razionale.
I°) Se a>0, si pone:
da cui:
![{\displaystyle x={t^{2}-c \over 2{\sqrt {a}}\ t+b},\qquad dx=2{(t^{2}+c){\sqrt {a}}+bt \over (2t{\sqrt {a}}+b)^{2}}dt,\qquad t=x+{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6fdaed4bcd6464387f930a87d289e5b65dfdc33)
![{\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}={\frac {(t^{2}+c){\sqrt {a}}+bt}{2t{\sqrt {a}}+b}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30995db3901e1840d3843b662bdd658a3c20beb1)
Sostituendo tutto in funzione di t l'integrale vieme razionalizzato.
- esempio
![{\displaystyle \int {}{}{1 \over {\sqrt {x^{2}-4x+5}}}dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97bf44f4d850e58183eccf2b98a7e210a1318a91)
Poniamo:
da cui
![{\displaystyle x={1 \over 2}{t^{2}-5 \over t-2},\qquad dx={t^{2}-4t+5 \over 2(t-2)^{2}}\ dt,\qquad t=x+{\sqrt {x^{2}-4x+5}};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22c869d03d02e46fb43bfac0a5b72d3db8c141c5)
![{\displaystyle {\sqrt {x^{2}-4x+5}}={t^{2}-4t+5 \over 2(t-2)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f66b9aacc474db32aa146c83c1338cc6bc6a811d)
allora, a meno di una costante:
![{\displaystyle \int _{}{}{1 \over {t^{2}-4t+5 \over 2(t-2)}}\ {1 \over 2}\ {t^{2}-4t+5 \over (t-2)^{2}}dt=\int _{}{}{dt \over t-2}=\log(t-2);}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfee68774d073963f9ad7c56f428b6192b5aeb35)
si ha quindi:
![{\displaystyle \int _{}{}{dx \over {\sqrt {x^{2}-4x+5}}}=\log(x+{\sqrt {x^{2}-4x+5}}-2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70781ec226f3518d96e9232446cb71b3ec968f6f)
con F simbolo di funzione razionale.
Si pone:
da cui:
Esprimendo in t, l'integrale viene razionalizzato.
- esempio
![{\displaystyle \int _{}{}{dx \over sen\ x+cos\ x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06cba20e9c2770b2005835ee06f0b09532221561)
Ricordato che
![{\displaystyle sen\ x={2\ tang{x \over 2} \over 1+tang^{2}{x \over 2}}\qquad cos\ x={1-tang^{2}{x \over 2} \over {1+tang^{2}{x \over 2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b51f9adb9898e868e223aa9438ba8fb45231f164)
si porrà:
da cui
allora:
con che la funzione da integrare è una funzione razionale.
con F simbolo di funzione razionale.
Si pone:
, da cui
e l'integrale espresso in t viene razionalizzato.
- esempio
![{\displaystyle \int _{}{}tang\ x\ dx=\int _{}{}{t \over 1+t^{2}}\ dt={1 \over 2}\ log_{e}(1+t^{2})={1 \over 2}\log _{e}(1+tng^{2}x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e338adcc33636ec02ba39f5db9d918a3097fe9d0)
con F simbolo di funzione razionale.
Si pone :
da cui
e sostituendo l'integrale viene razionalizzato.
- esempio
![{\displaystyle \int {}{}{1 \over 1+e^{x}}\ dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/508cc8906e7ab7f2c83ed2e4243169e2bb27459a)
Posto
da cui
si ha:
e
![{\displaystyle \int {}{}{dx \over 1+e^{x}}=log\ e^{x}-log\ (1+e^{x})=x-log(1+e^{x})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63830a3412a3582781787f9eedc740de6ca5a15d)
Si possono ridurre a integrali di funzioni trigronometriche dei tipi a) e b) mediante opportune sostituzioni gli integrali seguenti di funzioni irrazionali.
- I°
, con F simbolo di funzione razionale.
si pone:
onde:
![{\displaystyle \int {}{}F(x,{\sqrt {a^{2}-x^{2}}})\ dx=\int {}{}F(a\ sent,a\ cost)a\ cost\ dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/402f8cc41beba10293a18390965295cac267f0bb)
- esempio
![{\displaystyle \int {}{}{5 \over {\sqrt {5^{2}-x^{2}}}}\ dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42d46229e098b8e2bda019fa843ff9bbcf785db2)
Si pone
da cui:
e
Allora:
![{\displaystyle \int {}{}{x \over {\sqrt {5^{2}-x^{2}}}}\ dx=\int {}{}{5\ sent \over {\sqrt {5^{2}-5^{2}\ sen^{2}t}}}5\ cost\ dt=-5\ cost}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/966d2073e2c4e3b837667e8bfc3e090d00da38fe)
Sostituendo i ha:
- II°
![{\displaystyle \int {}{}F(x,{\sqrt {a^{2}+x^{2}}})\ dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/641c840b76be1ab0807c56cd1365cb105365f937)
Si pone:
ovvero
da cui:
![{\displaystyle \ dx=a\ sec^{2}t\ dt\qquad dx=a\ cosh\ t\ dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2806d3745d3d81e846509231a0e3efdde91e810d)
Allora:
![{\displaystyle \int {}(x,{\sqrt {a^{2}+x^{2}}})\ dx=\int {}{}F(a\ tang\ t,a\ sec\ t)a\ sec^{2}t\ dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9618e59cd42db8a90d0fd29d392d2c02490ae2d)
- ovvero
![{\displaystyle =\int {}F(a\ senh\ t,\ a\ cosh\ t)a\ cosh\ t\ dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66789e81433ca2d22d5c4ac50181c37791da09f1)
- esempio
- III°
![{\displaystyle \int {}{}F(x,{\sqrt {x^{2}-a^{2}}})\ dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c23b237c0ec3999e68fa3cd7779e292b2cb1b334)
Si possono ridurre facilmente a integrali razionali i seguenti: ponendo
ovvero
, si ha:
![{\displaystyle \int _{}{}sen\ xF(sen^{2}x,cos\ x)dx=-\int _{}{}F(t-t^{2},t)dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88266db7c9f6007928ae88967375b685c5edb5d1)
![{\displaystyle \int _{}{}cos\ xF(cos^{2}x,sen\ x)dx=\int _{}{}F(1-t^{2},t)dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccf6c493393d0ddebb5411f8895c29c110b8f9ba)
con F simbolo di funzione razionale.
![{\displaystyle \ \int _{}{\frac {x+1}{x^{2}-5x+6}}dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32802e50e9bf407475513a375aaacedb4ac70084)
- Si ha:
,
,
,
da cui:
![{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}c_{1}+c_{2}=1\\-3c_{1}-2c_{2}=1\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67b36c5005c1831693fbf4a85ee6756b8aaba627)
Risolvendo il sistema si ha:
e
Quindi:
![{\displaystyle \int _{}{\frac {x+1}{x^{2}-5x+6}}dx=\ \int _{}{\frac {-3}{x-2}}dx+\ \int _{}{\frac {4}{x-3}}dx=log{\frac {(x-3)^{4}}{(x-2)^{3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cfcb9fbb1c7b908c68a6c1752b1941eaa62d8f9)
![{\displaystyle \ \int _{}{\frac {x^{3}+x+1}{x^{3}-x^{2}+x-1}}dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/180cafa6052dd4320c1f17d2748c92f2bb71828c)
- Eseguendo la divisione si ha:
![{\displaystyle \ \int _{}{\frac {x^{3}+x+1}{x^{3}-x^{2}+x-1}}=1+{\frac {x^{2}+2}{x^{3}-x^{2}+x-1}}=1+{\frac {x^{2}+2}{(x-1)(x^{2}+1)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecece9823028e39cafac0acd35597b6ebc5ca2c5)
- Scomponendo la seconda frazione ottenuta e determinando le costanti come nell'esempio precedente si trova:
![{\displaystyle {\frac {x^{2}+2}{x^{3}-x^{2}+x-1}}={\frac {c_{1}}{x-1}}+{\frac {c_{2}x+c_{2}}{x^{2}+1}}={\frac {3}{2}}{\frac {1}{x-1}}-{\frac {1}{2}}{\frac {x+1}{x^{2}+1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a93c2176358227b0c1a4ad9c2302e8f0b9ff9e6)
- Quindi:
![{\displaystyle =x+log{\sqrt {\frac {(x-1)^{3}}{{\sqrt {(}}x^{2}+1)}}}-{\frac {1}{2}}arc\ tang(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7116b9ce4522380a754d18362ae26c7f6ab64f1c)
![{\displaystyle \int {}{}{x^{3}-x^{2}+1 \over (1+x^{2})^{3}}dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/987cbec2393375d2fd6ee08d7d6aaae0ccff27d9)
Applicando la formula notevole