La deformazione

Nota:
Razionalizzare la nomenclatura e riportarla

La deformazione è quel fenomeno per cui un corpo non rigido passa da una configurazione di partenza (detta indeformata) ad una di arrivo (detta attuale) in cui le distanze mutue tra tutti i punti che lo compongono non restano costanti, come invece accade nel corpo rigido. Il corpo, cioè, oltre a cambiare la sua posizione nello spazio vede modificata anche la sua forma.

Le cause della deformazione possono essere molteplici: intuitivamente si comprende che questa si genera nel momento in cui al corpo venga applicata una forza, ma è possibile anche che la deformazione avvenga in una condizione in cui non esistono forze esterne, e sia dovuta ad altri fenomeni quali distorsioni e fenomeni termici. In ogni caso, nella trattazione si prescinderà dalle cause della deformazione.

Nota:
Inserire immagine simile a http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Configurazioni_Cauchy.png ma con vettori posizione invece del vettore spostamento e con nomenclatura coerente con il testo

Per arrivare ad una trattazione matematica del problema della deformazione, si considera un sistema di riferimento di centro $O$ e con una terna destra di assi cartesiani con versori $i_{1}$ $i_{2}$ $i_{3}$. In base al sistema di riferimento dato è possibile definire le posizioni del generico punto $P$ del corpo (indeformato) ${\mathcal {C}}$ attraverso il vettore $\mathbf {P-O}$ di componenti $p_{1}$ $p_{2}$ $p_{3}$. Al generico punto considerato è possibile associare la posizione "attuale" $Q$ nella nuova configurazione ${\mathcal {C'}}$, valutabile allo stesso modo attraverso il vettore posizione $\mathbf {Q-O}$ di componenti $q_{1}$ $q_{2}$ $q_{3}$.

In termini strettamente matematici, dunque, la deformazione è quella funzione $f$ in grado di definire le coordinate del punto $Q$ in base a quelle del punto originario $P$, e cioè in formule:

$q_{i}=f_{i}(p_{j})$ con $i,j=1,2,3$

Nota:
Inserire immagine di una deformazione impossibile dal punto di vista fisico

Così come finora definita, la deformazione in linea teorica potrebbe essere di qualsiasi tipo, potendo quindi anche assumere caratteristiche tali da renderla assolutamente inaccettabile dal punto di vista fisico. Per evitare di ricorrere in casi di questo tipo alla funzione $f$ sono richieste una serie di caratteristiche matematiche:

• $f$ deve essere biunivoca, in modo da garantire che i punti del corpo restino distinti a deformazione avvenuta e che non si verifichi creazione di materia;
• $f$ e la sua inversa $f^{-1}$ devono essere funzioni continue, e siano derivabili con continuità, in modo da garantire che la deformazione non vari di molto nell'intorno di un generico punto del corpo.

Per definire l'ulteriore restrizione cui la deformazione deve sottostare è necessario definire preliminarmente il gradiente di deformazione $F$: quest'ultimo è un tensore del secondo ordine che rappresenta il gradiente di $f$, cioè è quel tensore le cui componenti sono rappresentate dalle derivate parziali di $f_{i}$ fatte rispetto alla coordinata $p_{j}$:

$F_{ij}={\frac {\delta f_{i}}{\delta p_{j}}}$

La matrice associata al tensore è la seguente:

${\begin{bmatrix}{\frac {\delta f_{1}}{\delta p_{1}}}&{\frac {\delta f_{1}}{\delta p_{2}}}&{\frac {\delta f_{1}}{\delta p_{3}}}\\{\frac {\delta f_{2}}{\delta p_{1}}}&{\frac {\delta f_{2}}{\delta p_{2}}}&{\frac {\delta f_{2}}{\delta p_{3}}}\\{\frac {\delta f_{3}}{\delta p_{1}}}&{\frac {\delta f_{3}}{\delta p_{2}}}&{\frac {\delta f_{3}}{\delta p_{3}}}\end{bmatrix}}$

L'ulteriore limitazione cui la deformazione deve sottostare è che il determinante di tale matrice non sia mai uguale a zero. In questo caso, infatti, si potrebbe avere che una sfera in seguito a deformazione possa degenerare in una figura piana (o viceversa), fatto che non è accettabile dal punto di vista fisico. In particolare si può anche dimostrare che deve essere $detF>0$: considerando una situazione in cui configurazione deformata e indeformata coincidano, si avrebbe che $detF=1$, ed essendo $F$ continua, non è possibile che si abbiano valori negativi senza che contemporaneamente in qualche punto si abbia l'annullamento del determinante.