Equazioni differenziali lineari

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Introduzione

Lo studio delle equazioni differenziali si trova alla base di molte discipline scientifiche, quali fisica, chimica e ovviamente matematica. Molti problemi fisici, chimici, meccanici o ingegneristici infatti sono spesso formulati in termini di problemi differenziali. In questa lezione, daremo le definizioni, le nozioni base necessarie per una chiara e corretta trattazione. Attenzione, prima di procedere con la lettura, è necessario avere bene in mente i seguenti concetti:

• Funzione
• Derivata
• Integrale

i quali intervengono in modo massiccio nell' esposizione.

Lo scopo è quello di dare allo studente gli strumenti necessari ad affrontare e risolvere, in modo analitico, le equazioni differenziali, porgendo maggiore attenzione a quelle lineari.

Definizioni e notazioni

Detto questo iniziamo con le notazioni che verranno utilizzate in seguito:

Notazioni: Derivata

Sia $f:I\rightarrow \mathbb {R}$ una funzione derivabile in I, dove I è un intervallo aperto contenuto in $\mathbb {R}$, come è noto, la derivata prima della funzione viene indicata con $f'\,\!$ oppure con ${\frac {df}{dx}}$. Per facilitare le notazioni, nel seguito della trattazione verranno utilizzate le seguenti:

$f'\,\!$ per indicare la derivata prima

$f''\,\!$ per indicare la derivata seconda

$f^{(3)}\,\!$ per indicare la derivata di ordine 3

$\vdots$

$f^{(n)}\,\!$ per indicare la derivata di ordine n

---

In modo informale possiamo affermare che le equazioni differenziali non sono altro che delle equazioni i cui termini dipendono da una funzione incognita e dalle sue derivate. È implicito che la funzione incognita dev'essere derivabile un numero "sufficiente" di volte. Diamo ora una definizione più formale, matematicamente più elegante

Definizione: Equazione Differenziale lineare

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Esempi

Diamo alcuni esempi così da avere bene in mente la nomenclatura appena definita.

Esempio 1

Prendiamo in esame la seguente:

$y'''+x^{2}y''+y=0\,\!$

e poniamoci le seguenti domande:

• È lineare?: Sì
• Qual è il suo ordine?: Il suo ordine è 3 in quanto esso è il massimo ordine di derivazione che appare.
• È a coefficienti costanti?: No, non è a coefficienti costanti perché il coefficiente della derivata seconda non è costante!
• È omogenea?: Si, in questo caso la funzione $g(x)=0\,\!$.

Abbiamo quindi di fronte un'Equazione differenziale lineare del terzo ordine a coefficienti NON costanti, omogenea

Esempio 2

Consideriamo ora:

$y''+y^{2}=2+x^{4}\,\!$

• È lineare?:No, osservate infatti che non tutti i termini in $y\,\!$ sono lineari ($y^{2}\,\!$)
• Qual è il suo ordine?: Il suo ordine è 2 in quanto esso è il massimo ordine di derivazione che appare.
• È a coefficienti costanti?: Si, è a coefficienti costanti!
• È omogenea?: No, in questo caso la funzione $g(x)=2+x^{4}\,\!$.

pertanto: $y''+y^{2}=2+x^{4}\,\!$ è un' equazione differenziale di ordine 2 NON lineare a coefficienti costanti, NON omogenea

Esempio 3

Sia data la seguente equazione differenziale:

$y''+2y'+y=0\,\!$

• È lineare?:Sì.
• Qual è il suo ordine?: Il suo ordine è 2 in quanto esso è il massimo ordine di derivazione che appare.
• È a coefficienti costanti?: Si, è a coefficienti costanti!
• È omogenea?:Sì, infatti $g(x)=0\,\!$.

quindi: $y''+2y'+y=0\,\!$ è un'equazione differenziale di ordine 2 lineare a coefficienti costanti, omogenea

---

Funzione integrale o soluzione

Abbiamo dato le nozioni base, senza però esplicitare cosa significa risolvere un'equazione differenziale. In pratica andiamo alla ricerca di una funzione che soddisfi la relazione data dalla equazione, tale funzione è detta funzione integrale o, come abbiamo già espresso in precedenza, funzione soluzione. In linguaggio matematico questo si traduce come:

Definizione: Soluzione di una equazione differenziale

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Come facciamo a capire che una funzione è soluzione di una data equazione differenziale? Vediamo un po' di facili esempi:

• Esempio 1

Data l'equazione differenziale

$y''+xy=(x-1)\sin {x}\!$

(che tipo di equazione differenziale è?)

mostrare che la funzione soluzione è $f(x)=\sin {x}\!$

Soluzione

Soluzione: (è un'equazione differenziale lineare non omogenea a coefficienti variabili)

È sufficiente valutare la derivata seconda della funzione $f\!$ e sostituire ciò che abbiamo ottenuto nella relazione, andiamo nel particolare:

• $f(x)=\sin {x}\!$ di conseguenza $f'(x)=\cos {x}\!$ e quindi $f''(x)=-\sin {x}\!$

sostituiamo le funzioni ottenute nella equazione:

• $f''(x)+xf(x)=-\sin {x}+x\sin {x}=(x-1)\sin {x}\!$

La funzione $f\!$ soddisfa l'equazione differenziale e pertanto essa è soluzione!

• Esempio 2 (fondamentale)

Data l'equazione differenziale:

$y'''+y''=2\!$

• Dire che tipo di equazione differenziale è ed inoltre mostrare che

• $f_{1}(x)=x^{2}+1\!$ è una funzione soluzione.
• $f_{2}(x)=x^{2}+x+1\!$ è una funzione soluzione.
• $f_{3}(x)=x^{2}+Ax+B\!$, con $A,B\in \mathbb {R}$ costanti, è una funzione soluzione.

Trarre le dovute conclusioni.

Soluzione

• $y'''+y''=2\!$ è un'equazione differenziale del terzo ordine a coefficienti costanti, non omogenea.

• Calcoliamo la derivata prima, seconda e terza della funzione $f_{1}\!$, sostituiamo nell'equazione e verifichiamo che sussiste l'uguaglianza:

$f_{1}(x)=x^{2}+1\Rightarrow f_{1}'(x)=2x\Rightarrow f_{1}''(x)=2\Rightarrow f_{1}'''(x)=0$

quindi si ha che $f_{1}'''+f_{1}''=2\!$. Ciò mostra quindi che $f_{1}$ è soluzione

• Verifichiamo ora per $f_{2}(x)=x^{2}+x+1\!$:

$f_{2}'(x)=2x+1\Rightarrow f_{2}''(x)=2\Rightarrow f_{1}'''(x)=0$

facilmente si ha che $f_{2}'''+f_{2}''=2\!$.

• Prendiamo in esame la funzione $f_{3}(x)=x^{2}+Ax+B\!$, con $A,B\in \mathbb {R}$ costanti

$f_{3}'(x)=2x+A\Rightarrow f_{3}''(x)=2\Rightarrow f_{3}'''(x)=0$

sostituiamo nell'equazione ottenendo effettivamente l'uguaglianza, infatti:

$f_{3}'''(x)+f_{3}''(x)=2\!$.

Da questo esempio si deduce che la soluzione di una equazione differenziale non è unica, infatti ne abbiamo trovate tre: $f_{1},f_{2},f_{3}\!$

.

Proprietà delle equazioni differenziali lineari

Un altro concetto fondamentale riguarda l'integrale generale di una data equazione differenziale. È bene iniziare questo nuovo argomento introducendo nuove notazioni.

Poniamo

$L(y):=y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\dots +a_{1}(x)y'+a_{0}(x)y$

L(y) è chiamato operatore differenziale di ordine n ed agisce su funzioni. Esso associa ad una funzione $f\!$ derivabile n volte l'espressione:

$L(f)=f^{(n)}+a_{n-1}(x)f^{(n-1)}+\dots +a_{1}(x)f'+a_{0}(x)f.$

Inoltre L è lineare, ciò significa che per ogni coppia di funzioni derivabili n volte y(x) e z(x), e per ogni costante reale α si ha:

1. $L(y+z)=L(y)+L(z)\!$ (additività)
2. $L(\alpha y)=\alpha L(y)\!$ (omogeneità)

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Esercizio: Mostrare che l'operatore

$L(y):=y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\dots +a_{1}(x)y'+a_{0}(x)y$

è lineare.

Soluzione

Il nostro intento è quello di mostrare l'additività e l'omogeneità:

1. Additività: Siano y e z due funzioni derivabili n volte

$L(y+z)=(y+z)^{(n)}+a_{n-1}(x)(y+z)^{(n-1)}+\dots +a_{1}(x)(y+z)'+a_{0}(x)(y+z)=$

$=y^{(n)}+z^{(n)}+a_{n-1}(x)(y^{(n-1)}+z^{(n-1)})+\dots +a_{1}(x)(y'+z')+a_{0}(x)(y+z)$

espandendo e ordinando i termini abbiamo che:

$(y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\dots +a_{1}(x)y'+a_{0}(x)y)+z^{(n)}+a_{n-1}(x)z^{(n-1)}+\dots +a_{1}(x)z'+a_{0}(x)z=$

$=L(y)+L(z)\!$

2. Omogeneità: Siano α costante reale, y funzione derivabile n volte.

$L(\alpha y)=[\alpha y]^{(n)}+a_{n-1}(x)[\alpha y]^{(n-1)}+\dots +a_{1}(x)[\alpha y']+a_{0}(x)[\alpha y]=$

$=\alpha (y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\dots +a_{1}(x)y'+a_{0}(x)y)=$

$=\alpha L(y)\!$

$\Box$

Nota: Per mostrare che L è un operatore lineare, abbiamo utilizzato le regole di derivazione.

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Altra definizione necessaria è la seguente:

Definizione: Data l'equazione differenziale lineare non omogenea

$L(y):=y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\dots +a_{1}(x)y'+a_{0}(x)y=f(x)$

indicheremo con $y_{p}$ una funzione soddisfacente l'equazione e verrà chiamata integrale particolare

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La linearità di tali equazioni differenziali comporta notevoli conseguenze dal punto di vista sia teorico che applicativo. Verranno enunciati e dimostrati teoremi in cui si applica questa proprietà. Il primo risultato che analizzeremo è il seguente:

Teorema

Teorema: sulle combinazioni lineari

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Dimostrazione: Per ipotesi abbiamo che le funzioni ${\tilde {y}}$ e ${\tilde {z}}$ sono soluzioni dell' equazione differenziale, pertanto si ha che:

1. $L({\tilde {y}})=0$
2. $L({\tilde {z}})=0$

Sia $h:=\alpha {\tilde {y}}+\beta {\tilde {z}}$, dove $\alpha ,\beta \in \mathbb {R}$ sono costanti arbitrarie. È chiaro che h è la combinazione lineare delle funzioni ${\tilde {y}},{\tilde {z}}$. Applichiamo ad essa l'operatore L:

• $L(h)=L(\alpha {\tilde {y}}+\beta {\tilde {z}})=$

sfruttando la linearità dell'operatore L:

• $=\alpha L({\tilde {y}})+\beta L({\tilde {z}})=0$

Al risultato si arriva sfruttando 1. e 2.

$\Box$

---

Teorema sull'integrale generale di un'equazione differenziale lineare

Altra caratteristica che segue dalla linearità è la seguente:

Teorema: Integrale generale di un'equazione differenziale lineare

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Dimostrazione: Per dimostrare il teorema, considereremo due funzioni, $y_{p}$ e $y$, che soddisfano l'equazione differenziale non omogenea, cioè sono tali che:

1. $L(y_{p})=f\!$
2. $L(y)=f\!$

Con esse, definiamo una nuova funzione: y$_{0}$=y$_{p}-$y, applichiamo ad essa l'operatore lineare L:

$L(y_{0})=L(y_{p}-y)=\!$ (per la linearità di L) $=L(y_{p})-L(y)=\!$(per 1. e 2.)$=f-f=0\!$

Con questi passaggi, abbiamo messo in evidenza il fatto che due soluzioni particolari dell'equazione non omogenea differiscono di una funzione che è soluzione dell'equazione differenziale omogenea associata. Pertanto possiamo asserire che l'integrale generale di una equazione differenziale lineare è:

$y(x)=y_{p}(x)+y_{0}(x)\!$

$\Box$

Test della lezione

Ora tocca a te, rispondi alle seguenti domande nel minor tempo possibile (max 20 minuti), ovviamente in modo corretto. Ti consentirà di capire quante informazioni hai recepito dopo la lettura della lezione. Attenzione, le domande 4, 5, 6, hanno più di una risposta esatta.

Test della lezione

1 $y''+x^{2}=0\!$ è un'equazione differenziale

	lineare,del secondo ordine, non omogenea, a coefficienti costanti.
	lineare,del secondo ordine, omogenea, a coefficienti costanti.
	non lineare, del secondo ordine, omogenea, a coefficienti variabili.
	nessuna delle precedenti.

2 $y^{(4)}+y^{2}=0\!$ è un'equazione differenziale

	lineare, del quarto ordine, omogenea, a coefficienti costanti
	lineare, del quarto ordine, non omogenea, a coefficienti variabili
	non lineare, del quarto ordine, omogenea, a coefficienti costanti
	nessuna delle precedenti

3 $y'+xy=x\!$ è un'equazione differenziale

	lineare, del primo ordine, omogenea, a coefficienti costanti
	lineare, del primo ordine, non omogenea, a coefficienti variabili
	non lineare, del primo ordine, omogenea, a coefficienti costanti
	nessuna delle precedenti

4 Dire quale/i tra le seguenti funzioni è/sono soluzione/i della equazione differenziale

$y''+x=0\!$

	$f(x)=x^{2}+1\!$
	$f(x)=-{\frac {x^{3}}{6}}$
	$f(x)=-{\frac {x^{3}}{6}}+2x$
	$f(x)={\frac {x^{3}}{6}}$

5 Dire quale/i tra le seguenti funzioni è/sono soluzione/i della equazione differenziale

$y''+y'=x\!$

	$f(x)=-x+{\frac {x^{2}}{2}}$
	$f(x)={\frac {x^{2}}{2}}-x-2e^{-x}$
	$f(x)=-{\frac {x^{2}}{2}}+2x$
	$f(x)={\frac {x^{2}}{2}}$

6 Dire quale/i tra le seguenti funzioni è/sono soluzione/i della equazione differenziale

$y''-y'=2e^{2x}\!$

	$f(x)=e^{2x}\!$
	$f(x)=e^{2x}+1\!$
	$f(x)=e^{2x+1}\!$
	$f(x)=e\!$

Nota Se il punteggio ottenuto è

• tra 0-2: insufficiente, consiglio vivamente di rileggere la lezione :)
• tra 3-5: non male, ma si può fare di più. Un lettura veloce, poi corri alla seconda lezione ;)
• 6: ottimo, hai colto le informazioni necessarie al proseguimento della lezione, continua così :D

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La trattazione delle equazioni differenziali è costellata da difficoltà via via crescenti, inoltre è molto vasta e di conseguenza è necessario studiare i casi uno per uno. La prossima lezione riguarderà le Equazioni differenziali lineari del primo ordine, per le quali verranno date e spiegate le formule risolutive al fine di ottenere la soluzione analitica.