Equazioni differenziali lineari del primo ordine

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lezione
Equazioni differenziali lineari del primo ordine
Tipo di risorsa Tipo: lezione
Materia di appartenenza Materia: Analisi matematica




Questa lezione segue equazioni differenziali lineari. Se riscontri difficoltà nella lettura di questa pagina, vorrei incoraggiarti a leggere la prima lezione, nella quale vengono fornite le nozioni necessarie per una buona comprensione del testo. In questa lezione, inizieremo a muovere i primi passi nella risoluzione analitica delle equazioni differenziali ordinarie del primo ordine. Esse sono alla base della teoria delle equazioni differenziali, inoltre hanno un notevole utilizzo nella modellizazione dei problemi scientifici, tecnologici o addirittura demografici.

Definizione[modifica]


Definizione: Equazione differenziale lineare del primo ordine

L'equazione differenziale lineare di ordine 1 si presenta nella forma più generica come:

In cui

  • è una funzione continua in I,intervallo aperto
  • anch'essa continue sullo stesso intervallo




Diremo che l'equazione è a coefficienti costanti se risulta che:

  • con b costante reale.

Inoltre se la funzione l'equazione differenziale verrà detta omogenea


Come abbiamo visto nella lezione precedente, l'integrale generale di un'equazione differenziale si esprime tramite la somma di una soluzione particolare dell'equazione differenziale e una soluzione dell'omogenea associata. È giunto il momento di iniziare a conoscere i metodi risolutivi, ma per maggior chiarezza, distingueremo i casi trattando dapprima le equazioni del primo ordine omogenee:

Soluzione per le E.D. omogenee (metodo di Lagrange)[modifica]


Teorema: Soluzione dell'equazione omogenea
Data l'equazione differenziale:

L'insieme delle soluzioni è dato dalla famiglia di funzioni che si presentano nella forma:

, in cui:
  • α è una costante appartenente all'insieme dei numeri reali.
  • A(x) è una primitiva della funzione a(x)


Dimostrazione
  • Per verificare che la funzione è effettivamente soluzione dell'equazione differenziale, è sufficiente derivare:
Sostituiamo ora l'espressione ottenuta:

Quindi la funzione soddisfa la relazione data dall'equazione differenziale.

  • Rimane ora da mostrare che le funzioni soluzioni si presentano tutte in quella forma, per tale motivo, supponiamo che esista una funzione soddisfacente l'equazione differenziale espressa come:
Il nostro intento è quello di mostrare che , cioè è costante nel suo insieme di definizione.Valutiamo ora con la regola del prodotto la derivata della funzione h(x) (nota che h(x) è derivabile perché soluzione dell'equazione differenziale)
Poiché h(x) soddisfa l'equazione differenziale allora si deve avere che:
quindi
eliminando i termini opposti si arriva all'espressione:
Ora ricordando che la funzione esponenziale è strettamente positiva, l'uguaglianza si ha se e solo se
e di conseguenza


Importante
In pratica abbiamo dimostrato che le funzioni che soddisfano l'equazione differenziale sono tutte e le sole funzioni che si esprimono come:

Esempi[modifica]

Esempio 1
Data l'equazione differenziale
Determinare la famiglia delle funzione che soddisfano l'equazione differenziale.
Soluzione
Riscriviamo l'equazione nel modo seguente:
È facile osservare che
Dal teorema abbiamo che la famiglia delle soluzioni è:
, dove
con C costante reale. Pertanto la soluzione è:
Nota che sfruttando le proprietà della funzione esponenziale l'espressione precedente può essere riespressa come:
Con costante reale
Esempio 2
Data l'equazione differenziale
Determinare la famiglia di funzioni che soddisfano l'equazione differenziale:
Soluzione
In questo caso:
pertanto risulta che:
La famiglia di soluzioni che soddisfa l'equazione differenziale data è:
Con costante reale.

Affronteremo ora una equazione differenziale completa, nella quale la funzione f(x) non è identicamente nulla, andremo quindi ad enunciare e dimostrare il teorema in cui verranno date le formule risolutive.

Metodi analitici di equazioni differenziali lineari del primo ordine[modifica]


teorema: soluzione generale

Data l'equazione differenziale:

con

  • funzioni continue in I

La famiglia delle primitive soddisfacenti l'equazione è:

In cui

  • C è una costante reale


Dimostrazione
Partiamo dall'equazione differenziale:
Moltiplichiamo ad ambo i membri
dove
ottenendo:
Approfondimento
Osserva che per la regola del prodotto della derivata si ha

Pertanto

da cui, osservando che il primo membro dell'uguaglianza può essere rivisto come si arriva a
Integrando membro a membro rispetto alla variabile x si ha che:
pertanto

Esempi[modifica]

Esempio 1
Risolvere l'equazione differenziale
Soluzione
Scriviamo l'equazione in forma normale:
Ci rendiamo subito conto che:
Applichiamo la formula risolutiva che ci consente di ottenere l'integrale generale dell'equazione differenziale:
in cui
(Notate che la costante additiva D è ininfluente, pertanto possiamo sceglierla uguale a zero)
Bisogna a questo punto risolvere l'integrale:

Pertanto si ha che la famiglia delle soluzioni che soddisfano l'equazioni differenziali è:

Esempio 2
Risolvere l'equazione differenziale

nell'intervallo

Soluzione
Una primitiva della funzione a(x) è
In questo caso il valore assoluto può essere omesso in quanto l'intervalo in cui stiamo lavorando è
Bisogna a questo punto risolvere l'integrale:
Utilizzando il metodo di integrazione per parti si arriva a:
L'intergrale generale è quindi: