Integrale

La comprensione ottimale dell'argomento trattato in questa voce presuppone la conoscenza dei seguenti concetti: Somma di Riemann Calibro Partizione Finezza

Definizioni

Un integrale può essere considerato come l'operazione inversa della Derivata. Esistono tre differenti definizioni di integrale:

1. Integrale di Kurzweil-Henstock
2. Integrale di Lebesgue
3. Integrale di Riemann

La definizione data da Kurzweil e Henstock è la più generale delle tre,e in effetti la seconda e la terza individuano sottospazi vettoriali della prima.

Integrale di Kurzweil-Henstock

Una funzione $f:I\subset \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ si dice integrabile secondo Kurzweil-Henstock (abbreviato K.H.-integrabile) se e solo se è convergente la somma di Riemann associata a ogni P-Partizione $\delta$-fine di $I$. In altre parole se e solo se

$\exists A\in \mathbb {R} :\forall \epsilon >0,\exists \delta$ calibro su I tale che: $\forall \Pi$ P-partizione $\delta$-fine diI,

$|S(I,f,\Pi )-A|\leq \epsilon$

Alcuni esempi

La funzione costante $f:I\subset \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$

$f(x)=k,k\in \mathbb {R}$

È KH-integrabile. Vediamo perché:

Analogamente si dimostra (introducendo però un calibro non costante), che anche la funzione

$f(x)=mx,m\in \mathbb {R}$

.

Per estensione si può vedere che le funzioni KH-integrabili sono L-Integrabili, e quindi R-integrabili. Pertanto tutte le funzioni continue sono KH-Integrabili.

Anche per le funzioni KH-integrabili vale il Teorema fondamentale del calcolo integrale, così enunciato:

Altre risorse

Vedere la voce Integrali per gli esercizi.