Integrale

Da Wikiversità, l'apprendimento libero.
lezione
Integrale
Tipo di risorsa Tipo: lezione
Materia di appartenenza Materia: Algebra
Avanzamento Avanzamento: lezione completa al 25%.
Gtk-dialog-info.svg

La comprensione ottimale dell'argomento trattato in questa voce presuppone la conoscienza dei seguenti concetti:

Definizioni[modifica]

Un'integrale può essere considerato come l'operazione inversa della Derivata. Esistono tre differenti definizioni di integrale:

  1. Integrale di Kurzweil-Henstock
  2. Integrale di Lebesgue
  3. Integrale di Riemann

La definizione data da Kurzweil e Henstock è la più generale delle tre,e in effetti la seconda e la terza individuano sottospazi vettoriali della prima.

Integrale di Kurzweil-Henstock[modifica]

Una funzione si dice integrabile secondo Kurzweil-Henstock (abbreviato K.H.-integrabile) se e solo se e' convergente la somma di Riemann associata a ogni P-Partizione -fine di . In altre parole se e solo se

calibro su I tale che: P-partizione -fine diI,

Alcuni esempi[modifica]

La funzione costante

È KH-integrabile. Vediamo perché:

Analogamente si dimostra (introducendo però un calibro non costante), che anche la funzione

.

Per estensione si può vedere che le funzioni KH-integrabili sono L-Integrabili, e quindi R-integrabili. Pertanto tutte le funzioni continue sono KH-Integrabili.

Anche per le funzioni KH-integrabili vale il Teorema fondamentale del calcolo integrale, così enunciato:

Altre risorse[modifica]

Vedere la voce Integrali per gli esercizi.