Modulazioni analogiche

Introduzione

Per modulazione si intende la tecnologia che consente la trasmissione di un segnale elettromagnetico (detto segnale modulante) – mediante un generico mezzo trasmissivo – tramite un altro segnale elettromagnetico detto segnale portante. I segnali da modulare possono rappresentare le informazioni più diverse: audio, video, dati. Il risultato del processo di modulazione è il cosiddetto segnale modulato, dove il segnale modulante viene trasferito dalla sua banda base alla cosiddetta banda traslata (in un intorno della frequenza del segnale portante).

Il segnale modulante costituisce l’informazione da trasmettere, mentre il segnale portante non veicola informazione: serve esclusivamente per determinare in quali frequenze deve avvenire la modulazione stessa. Come accennato, il segnale modulato viene collocato dalla banda base, alla cosiddetta banda traslata, in un intorno di frequenze determinate da quelle occupate dal segnale portante.

L’operazione inversa di ripristino del segnale informativo originario in banda base è detta demodulazione. Il dispositivo in trasmissione che attua l’operazione di modulazione sul segnale informativo è detto modulatore, mentre il dispositivo in ricezione che attua l’operazione di demodulazione è detto demodulatore.

In un sistema di ricetrasmissione tali sistemi vengono riuniti entrambi sotto la dizione modem (dalla fusione dei termini MOdulatore e DEModulatore).

Perché è conveniente modulare un segnale?

È conveniente – o meglio, necessario – modulare un segnale per molteplici ragioni.

• Nel caso in cui i segnali debbano essere trasmessi mediante onde radio, il cosiddetto etere, l’antenna (sia in trasmissione, come in ricezione) deve avere un’altezza proporzionale alla lunghezza d’onda del segnale la quale – in banda base, per un segnale audio – è pari a circa:

$\lambda ={\frac {c}{f}}={\frac {2\cdot 10^{8}~{\text{m/s}}}{20~{\text{kHz}}}}=10~{\text{km}}$.

Modulare il segnale a frequenze più elevate riduce la lunghezza dell’antenna, rendendo il fenomeno della radiotrasmissione praticabile.

• In secondo luogo, modulando più segnali a frequenze differenti, è possibile far transitare più informazioni in un unico mezzo trasmissivo, quindi – a titolo di esempio – più persone possono comunicare contemporaneamente senza generare tra loro interferenze, oppure occupare l’intero mezzo trasmissivo. Si noti che, parlando di generico “mezzo trasmissivo”, il discorso appena fatto vale sia per l’etere, ma anche per un generico cavo o qualsiasi altro supporto in grado di veicolare onde elettromagnetiche.
• La modulazione è strategica poiché il segnale modulato può essere manipolato, al fine di ridurre gli effetti del rumore utilizzando le frequenze più opportune. Non tutte le modulazioni sono uguali e non tutte le frequenze hanno lo stesso tipo di comportamento. Per queste ragioni la modulazione, consentendo di ottimizzare gli effetti dei rumori, diventa il grimaldello per ridurre la quantità di banda di frequenza occupata a parità di qualità di trasmissione.
• La natura del segnale stesso è tale da concentrare il suo spettro nelle frequenze più basse, mentre tutti i mezzi trasmissivi hanno un miglior rendimento e qualità a frequenze più elevate. Anche questo fatto depone a favore delle modulazioni.
• Va anche detto che i segnali modulati possono essere a loro volta criptati, garantendo una maggior riservatezza durante la transazione dei dati. È cronaca di tutti i giorni quella relativa alle intercettazioni di ogni tipo. Una modulazione, specie se concepita ad hoc, consente di comunicare in sicurezza.
• Si ha – infine, ma non certo per importanza – una semplificazione dei circuiti adottati per la trasmissione e la ricezione dei segnali.

Tipologie di modulazione

Modello di uno spettro di un segnale periodico (a sinistra) e non periodico (a destra)

Ogni segnale, è scomponibile mediante le sue armoniche e può essere riscritto mediante l’inviluppo di onde sinusoidali. Per questa operazione viene utilizzata l’analisi di Fourier quando il segnale è periodico. In questo caso l’analisi in frequenza del segnale presenta uno spettro a righe. Diversamente, per segnali non periodici, si ricorre alla trasformata di Fourier, poiché la loro analisi in frequenza, rivela uno spettro continuo.

Come visibile in figura, un segnale periodico presenta uno spettro a righe, dove nella Figura sono state ipotizzate cinque armoniche, dalla fondamentale $A_{1}$ fino alla quinta armonica $A_{5}$ avente frequenza pari a cinque volte quella della fondamentale.

Diversamente, un segnale non periodico mostra uno spettro continuo partendo dalla sua frequenza minima $F_{min}$​ sino alla sua frequenza massima $F_{max}$.

Per queste ragioni, nel primo caso si parla di analisi di Fourier, dove la sintesi del segnale avviene attraverso la sommatoria delle sue armoniche. Diversamente, nel secondo caso si parla di trasformata di Fourier, dove la ricostruzione del segnale non può più avvenire tramite sommatorie delle sue singole componenti (infinitesime), ma soltanto attraverso un loro integrale.

Grafico animato rappresentante l'effetto della modulazione di un segnale sinusoidale modulato in ampiezza (AM) e frequenza (FM).

Pertanto, ogni componente in frequenza del segnale è di tipo sinusoidale (o cosinusoidale), indipendentemente dal fatto che il segnale sia periodico o non periodico. In generale ogni singola armonica è pari a:

$s(t)={\underline {A}}\cdot \sin({\underline {\omega }}t+{\underline {\varphi }})$,

e, pertanto (per un segnale periodico) ovvero dove $s(t)=s(t+T)\quad ;\quad T>0,~\forall t\in \Re$ si ottiene

$s(t)=\sum _{k=1}^{N}{\underline {A_{k}}}\cdot \sin({\underline {\omega _{k}}}t+{\underline {\varphi _{k}}})$,

dove i termini sottolineati corrispondono alle varie modulazioni che possono essere realizzate. Modulazione di ampiezza, frequenza e fase del generico segnale.

Da quanto precede, segue che possono esistere tre diverse tipologie di modulazione: la modulazione di ampiezza (agendo sull'ampiezza del segnale portante), la modulazione di frequenza (agendo sulla frequenza del segnale portante) e la modulazione di fase (agendo sulla fase del segnale portante).

Il segnale portante non contiene informazione, è una semplice sinusoide. La modulazione (di ampiezza, frequenza e fase) è il modo in cui il segnale portante insegue le generiche variazioni del segnale modulante.

Modulazione di ampiezza

La modulazione di ampiezza, in sigla AM, è una tecnologia utilizzata principalmente per trasmettere segnali audio utilizzando radiofrequenze e – in passato, in Italia fino al luglio 2012 – per trasmettere la componente video del segnale televisivo.

Consiste nel variare l'ampiezza del segnale che si intende utilizzare per la trasmissione (detto portante) in maniera direttamente proporzionale all'ampiezza del segnale che si intende trasmettere (modulante). Pertanto, la forma d'onda segnale modulato, conserverà sempre la stessa frequenza della portante.

È piuttosto semplice da realizzare, per questo motivo è stata utilizzata agli albori delle trasmissioni radio. Ma, soprattutto, il demodulatore AM – il componente che serve per decodificare il segnale modulato – si può realizzare con due soli componenti elettrici: un diodo e un condensatore. Questa caratteristica ha determinato l'immenso successo della modulazione di ampiezza.

I suoi principali inconvenienti sono l'estrema sensibilità ai disturbi e alle condizioni di propagazione, poiché qualsiasi disturbo si somma direttamente al segnale che si sta trasmettendo; oltre alla scarsa efficienza che richiede l'uso di potenze maggiori per coprire le medesime distanze di un segnale modulato in frequenza.

Teoria

Per semplicità di calcolo e dimostrazione, si suppone il segnale modulante $v_{m}(t)$ periodico, con pulsazione pari a $\omega _{m}=2\pi f_{m}$. Così facendo si ottiene:

$v_{m}(t)=V_{m}\cos(\omega _{m}t+\varphi _{m})$.

Il segnale in figura, per una più agevole semplicità dimostrativa, nel seguito verrà considerato con sfasamento nullo $\varphi _{m}=0$, ovvero in fase con in segnale modulante. Una generalizzazione è semplice, ma – allo stadio attuale – appesantirebbe soltanto la spiegazione pertanto viene così semplificata.

Per quel che riguarda il segnale portante – il quale deve avere una frequenza molto maggiore del segnale modulante – ovvero $\omega _{p}\gg \omega _{m}$, si avrà:

$v_{p}(t)=V_{p}\cos(\omega _{p}t)$.

Scatto fotografico di un segnale modulato in ampiezza

Il raffronto tra il segnale modulante e il segnale portante, come mostrato, non evidenzia chiaramente cosa si intende per molto maggiore. Le due immagini sono così riportate per motivi di chiarezza espositiva. Per "molto maggiore" si intende una grandezza fisica di almeno tre o quattro ordini di grandezza superiore all'altra, come evidenziato in questo scatto fotografico.

Modulatore AM (schema)

La modulazione di ampiezza si ottiene mediante due passaggi: un moltiplicatore e un sommatore, come riportato nello schema a lato.

Il segnale modulato in ampiezza attraverso il modulatore di figura assume la seguente espressione matematica:

$v_{AM}(t)=V_{p}\cos(\omega _{p}t)+K_{a}V_{m}\cos(\omega _{m}t)\cos(\omega _{p}t)=\left(V_{p}+K_{a}V_{m}\cos(\omega _{m}t)\right)\cos(\omega _{p}t)$.

Il segnale modulato in ampiezza presenta una costante $K_{a}$ introdotta dal moltiplicatore, che verrà spiegata a breve. Essa, oltre a essere determinata dal moltiplicatore dei segnali portante e modulante, assorbe il valore $V_{p}$.

Avendo posto $\omega _{p}\gg \omega _{m}$, in un periodo del segnale modulante sono contenute un numero molto elevate di oscillazioni del segnale portante. Questo è di fondamentale importanza per la ricostruzione del segnale, il quale deve non solo essere trasmesso, ma anche ricevuto e – pertanto – decodificato.

Ora, raccogliendo $V_{p}$, l’espressione del segnale modulato, può essere riscritta come segue, dove – al di fuori delle parentesi – viene riportato il segnale portante:

$v_{AM}(t)=V_{p}\cos(\omega _{p}t)\left(1+{\frac {K_{a}V_{m}}{V_{p}}}\cos(\omega _{m}t)\right)$,

e – una volta posto $m_{a}={\frac {K_{a}V_{m}}{V_{p}}}$ – dall'equazione precedente, si ottiene questa forma più compatta:

$v_{AM}(t)=V_{p}\cos(\omega _{p}t)\left(1+m_{a}\cos(\omega _{m}t)\right)$.

Il termine, molto importante,

$m_{a}={\frac {K_{a}V_{m}}{V_{p}}}$,

prende il nome di indice, o profondità, di modulazione e deve verificarsi $m_{a}\leq 1$ affinché l'inviluppo del segnale modulato abbia lo stesso andamento dell'informazione da trasmettere.

Nel caso in cui si verifichi $m_{a}\geq 1$ si dice che il segnale $v_{AM}(t)$ è in condizione di sovramodulazione. In questo caso vengono introdotte distorsioni nell'inviluppo del segnale modulato che non consentono – in ricezione – di ricostruire il segnale modulante $v_{m}(t)$. Valori tipici della profondità di modulazione sono pari a $m_{a}\simeq 0,4=40\%$.

Spettro di frequenza di un segnale AM

Lo spettro di frequenza del segnale modulato rappresenta l'insieme di ogni componente del segnale. Infatti, ogni segnale periodico è scomponibile in una somma di segnali sinusoidali quindi anche il segnale modulato è una somma di segnali sinusoidali. Per questo motivo è possibile studiare la modulazione ipotizzando che il segnale modulante sia sinusoidale: ogni altro segnale sarà un insieme di segnali sinusoidali, la dimostrazione di base resterà invariata.

L'espressione del segnale modulato in ampiezza, può essere riscritta più agevolmente come segue:

$v_{AM}(t)=V_{p}\cos(\omega _{p}t)+V_{p}m_{a}\cos(\omega _{m}t)\cos(\omega _{p}t)$,

tuttavia – in quest'espressione, essendoci un prodotto di coseni – è difficile stabilire con esattezza lo spettro del segnale modulato.

Per risolvere questo problema si applica la seconda formula di Werner, la quale recita:

$\cos \alpha \cos \beta ={\frac {1}{2}}\left[\cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta )\right]$.

Spettro di un generico segnale modulato in ampiezza

Sostituendo la seconda formula di Werner nel segnale modulato in AM e riordinando i termini che si ottengono in ragione della frequenza (partendo dalla frequenza minore, sino alla frequenza maggiore), si ottiene:

$v_{AM}(t)={\frac {V_{p}m_{a}}{2}}\cos \left[(\omega _{p}-\omega _{m})t\right]+V_{p}\cos(\omega _{p}t)+{\frac {V_{p}m_{a}}{2}}\cos \left[(\omega _{p}+\omega _{m})t\right]$.

Dall'equazione precedente si nota che un segnale modulato in AM è costituito dalla portante (il termine centrale della sommatoria) e da due componenti cosinusoidali dette righe o – più in generale – bande laterali inferiori e superiori. Tali bande laterali sono speculari, ovvero presentano il medesimo contenuto informativo.

Pertanto, la larghezza di banda (o banda di frequenza) è pari a:

$B_{AM}=(f_{p}+f_{m})-(f_{p}-f_{m})=2f_{m}$,

dove $f_{m}$ è la frequenza del segnale modulante e $f_{p}$ la frequenza del segnale portante. Questo significa che la banda occupata da un segnale modulato in ampiezza non dipende dalla frequenza del segnale portante, ma unicamente dalla frequenza massima del segnale modulante.

Trasmissione con modulazione AM in radiofrequenza

La larghezza di banda di un segnale modulato in AM è pari a $B_{AM}=2f_{m}$, dove $f_{m}$ è la frequenza massima del segnale in oggetto. Nelle trasmissioni radiofoniche il segnale modulante è il suono, il cui campo di frequenza si estende tra $20~{\text{Hz}}$ ed i $20~{\text{kHz}}$ circa. La larghezza del canale AM di un segnale sonoro, quindi, dovrebbe occupare una banda pari a $B_{AM}=40{\text{ kHz}}$. Se si desidera aumentare il numero dei canali da trasmettere simultaneamente – a parità di banda totale disponibile – è necessario ridurre la larghezza di banda da assegnare a ciascun canale (a scapito della qualità del segnale stesso).

Per quel che riguarda il nostro Paese e l'Unione Europea, si è stabilito – attraverso accordi internazionali – di fissare la banda di ogni singola stazione a $B_{AM}=9{\text{ kHz}}$. Nella radiodiffusione in onde medie, le trasmissioni AM sono allocate nella gamma di frequenze comprese tra i $526,5~{\text{kHz}}$ e i $1~615,5~{\text{kHz}}$.

Esercizio Calcolo del numero massimo di radio AM

Conoscendo la banda di frequenza riservata alle stazioni AM e a una singola stazione AM, calcolare il numero $N$ di stazioni massimo.

$N={\frac {F_{AM_{max}}-F_{AM_{min}}}{B_{AM}}}={\frac {1~616,5{\text{ kHz}}-526,5{\text{ kHz}}}{9{\text{ kHz}}}}={\frac {1~090{\text{ kHz}}}{9{\text{ kHz}}}}\simeq 121$.

Potenza e rendimento di un segnale AM

Si indichi con $R$ la resistenza d'uscita del circuito modulante. La potenza complessiva $P_{t}$ di un segnale AM è pari alla somma di quella associata al segnale portante $P_{p}$ oltre quella delle due bande laterali, inferiore $P_{bi}$ e superiore $P_{bs}$, ovvero:

$P_{t}=P_{bi}+P_{p}+P_{bs}$.

Si noti che le tre potenze, costituenti la potenza totale, sono state scritte in ragione della loro componente in frequenza: partendo dalla frequenza minore, sino alla frequenza maggiore.

Ora, ricordando la legge di Ohm: $V=R\cdot I$ e $P=V\cdot I$, dalle quali è facile desumere $P={\frac {V^{2}}{R}}$, si ha che la potenza di un segnale modulato in AM può essere riscritta in una forma più chiara e leggibile, sfruttando l'indice di modulazione $m_{a}$:

$P_{t}=P_{p}\left({\frac {m_{a}}{2}}\right)^{2}+P_{p}+P_{p}\left({\frac {m_{a}}{2}}\right)^{2}$,

poiché le potenze sono proporzionali al quadrato delle tensioni e la resistenza d'uscita è la medesima per tutte le componenti.

Pertanto tale potenza può essere riscritta, più semplicemente, come segue:

$P_{t}=P_{p}\left(1+2{\frac {m_{a}^{2}}{4}}\right)=P_{p}\left(1+{\frac {m_{a}^{2}}{2}}\right)$.

Per quanto riguarda il rendimento $\eta$ della modulazione si procede eseguendo il rapporto tra la potenza associata a una banda laterale e quella totale. Pertanto, si ha:

$\eta ={\frac {P_{bs}}{P_{t}}}={\frac {P_{p}{\frac {m_{a}^{2}}{4}}}{P_{p}\left(1+{\frac {m_{a}^{2}}{2}}\right)}}={\frac {m_{a}^{2}}{4+2m_{a}^{2}}}$.

Esercizio Rendimento massimo della modulazione AM

Sapendo che $m_{a}\leq 1$, è possibile porre nell'espressione del rendimento $m_{a}=1$, ottenendo:

$\eta _{max}={\frac {m_{a}^{2}}{4+2m_{a}^{2}}}={\frac {1}{4+2}}={\frac {1}{6}}\simeq 0,167=16,7\%$.

Il basso rendimento si giustifica considerando che la maggior parte della potenza è associata alla portante, la quale non contiene informazione, inoltre il segnale viene trasmesso due volte e solo una banda laterale è significativamente informativa.

Esercizio Rendimento tipico della modulazione AM

Per svolgere questo esercizio occorre ricordare che il valore tipico dell'indice di modulazione è pari a $m_{a}=0,4~(40\%)$. In questo caso si ottiene:

$\eta _{tipico}={\frac {m_{a}^{2}}{4+2m_{a}^{2}}}={\frac {0,4^{2}}{4+2\cdot 0,4^{2}}}={\frac {0,16}{4+2\cdot 0,16}}={\frac {0,16}{4,32}}\simeq 0,0370=3,70\%$.

Questo è il rendimento tipico della radiodiffusione in modulazione di ampiezza.

Modulazione AM-SSB

Oltre alla modulazione in ampiezza sin qui descritta è possibile sopprimere il segnale portante e una delle due bande laterali, ottenendo così la cosiddetta Modulazione AM-SSB (Modulazione di Ampiezza a Banda Laterale Singola). Il vantaggio è un rendimento pari al 100% (teorico) poiché non è più necessario investire potenza per trasmettere il segnale portante e la banda laterale speculare alla superiore (o inferiore) che non aggiunge contenuto informativo.

(

Modulazione di frequenza

«La mia banda suona il rock ed è un'eterna partenza viaggia bene ad onde medie e a modulazione di frequenza»

(Ivano Fossati, La mia banda suona il rock, 1979)

La modulazione di frequenza, in sigla FM, è la tecnica di modulazione maggiormente utilizzata per la trasmissione di informazioni utilizzando un segnale in radiofrequenza. La modulazione di frequenza consiste nel variare la frequenza del segnale che si intende utilizzare per la trasmissione (detto portante) in maniera proporzionale all'ampiezza del segnale che si intende trasmettere.

Rispetto alla modulazione di ampiezza, la modulazione di frequenza ha il vantaggio di essere meno sensibile ai disturbi e di permettere una trasmissione di miglior qualità. Ha inoltre una efficienza molto maggiore – rispetto alla modulazione di ampiezza – poiché la potenza del segnale modulato in FM è data esclusivamente dalla potenza della portante e non richiede potenza aggiuntiva per essere trasmesso. Invece nella modulazione AM la potenza trasmessa è funzione del segnale modulante, pertanto non può essere nota a priori.

Il difetto principale della modulazione di frequenza (ormai superato dalla tecnologia) è dato dalla necessità di realizzare circuiti più complessi, sia per la generazione del segnale da trasmettere, sia per la sua ricezione. Oggigiorno, questo punto viene posto decisamente in secondo piano poiché la tecnologia ha ormai costi irrisori, con il risultato che le trasmissioni in modulazione di ampiezza sono sempre meno usate soprattutto nell'ambito del broadcasting.

Teoria

Come nel caso della modulazione AM, per semplicità espositiva, supponiamo che il segnale modulante sia periodico, con pulsazione pari a $\omega =2\pi F$. Premesso questo, si ha:

$v_{m}(t)=V_{m}\cos(\omega _{m}t+\varphi _{m})$.

Il segnale modulante di figura, per una più agevole semplicità dimostrativa, nel seguito verrà considerato con sfasamento nullo ($\varphi _{m}=0$), ovvero in fase con in segnale modulante. Una generalizzazione è semplice, ma – allo stadio attuale – appesantirebbe soltanto la spiegazione pertanto viene così semplificata.

Per quanto riguarda il segnale portante – il quale deve avere una frequenza molto maggiore del segnale modulante – ovvero $\omega _{p}\gg \omega _{m}$, si avrà:

$v_{p}(t)=V_{p}\cos(\omega _{p}t)$.

Come sottolineato nel caso della modulazione di ampiezza, il raffronto tra il segnale modulante di figura e la rappresentazione del segnale portante, non evidenzia chiaramente cosa si intende per "molto maggiore". Le due immagini sono così riportate per motivi di chiarezza espositiva. È bene ribadire che per "molto maggiore" si intende una grandezza fisica di almeno tre o quattro ordini di grandezza superiore all'altra. Analogo ragionamento si esegue quando si parla di "molto minore".

È importante notare che il punto di partenza di ogni modulazione è il medesimo: vi è un segnale modulante (l'informazione in banda base) e un segnale portante (l'intorno di frequenze in cui si collocherà l'informazione in banda traslata).

Dopodiché, la diversa tecnologia di modulazione produrrà effetti differenti, ovvero diverse tipologie di segnali modulati.

Modulazione di frequenza
carrier = frequenza portante
signal = segnale modulante
output = portante modulata

Nel caso della modulazione FM la pulsazione di riposo del segnale modulato sarà pari a quella del segnale portante come indicato nell'equazione precedente, alla quale verrà sommato il segnale modulante moltiplicato per un'opportuna costante $K_{F}$ caratteristica del modulatore di frequenza.

Tale costante $K_{F}$ viene inserita per far sì che l'oscillazione in frequenza sia quella desiderata. Ne consegue che la pulsazione istantanea del segnale modulato in FM rispetta la seguente espressione:

$\omega _{FM}={\begin{cases}\omega _{p}+K_{F}v_{m}(t)=\\=\omega _{p}+K_{F}V_{m}\cos \omega _{m}t=\\=2\pi \left(f_{p}+{\frac {K_{F}V_{m}}{2\pi }}\cos \omega _{m}t\right)=\\=2\pi \left(f_{p}+\Delta _{f}\cos \omega _{m}t\right)\end{cases}}$

Dove, in quest'espressione, si è definita implicitamente $\Delta _{f}$ come massimo scarto di frequenza:

$\Delta _{f}={\frac {K_{F}V_{m}}{2\pi }}$.

$\Delta _{f}$ viene definito massimo scarto di frequenza, rispetto alla frequenza di riposo $f_{p}$ corrispondente all'assenza di segnale modulante. Da quanto precede, si evince quanto segue: il segnale modulato è pari a un segnale cosinusoidale, avente frequenza $f_{p}$, la cui pulsazione è variabile rispetto al tempo. Pertanto si può scrivere (in termini generali):

$\omega (t)_{FM}={\frac {{\text{d}}\varphi (t)}{{\text{d}}t}}$.

Quest'espressione può essere riscritta in modo da esporre la fase $\varphi (t)$ la quale è l'argomento del segnale modulato. Dalla

${\text{d}}\varphi (t)=\omega _{FM}{\text{d}}t$

si ha l'argomento del segnale modulato integrando ambo i membri rispetto al tempo e sostituendo nell'integrale la pulsazione istantanea del segnale modulato in FM. Pertanto si ha:

$\varphi (t)=\int \omega _{FM}{\text{d}}t=\int \left(\omega _{p}+K_{F}V_{m}\cos \omega _{m}t\right){\text{d}}t=\omega _{p}t+{\frac {K_{F}V_{m}}{\omega _{m}}}\sin \omega _{m}t$.

Pertanto, il segnale modulato in FM, è dato da:

$v_{FM}(t)=V_{p}\cos \left(\omega _{p}t+{\frac {K_{F}V_{m}}{\omega _{m}}}\sin \omega _{m}t\right)=V_{p}\cos \left(\omega _{p}t+m\sin \omega _{m}t\right)$.

Da sottolineare che in quest'espressione è stato definita la profondità di modulazione del segnale modulato in frequenza. Tale profondità (o indice) di modulazione è pari a:

$m={\frac {K_{F}V_{m}}{\omega _{m}}}={\frac {K_{F}V_{m}}{2\pi f_{m}}}={\frac {\Delta _{f}}{f_{m}}}$.

La conoscenza della profondità di modulazione è molto importante anche nella modulazione di frequenza. In questo caso (a differenza della modulazione di ampiezza) indica quanto – nel segnale modulato – la frequenza del segnale portante varia, rispetto alla frequenza del segnale non modulato.

Al contrario della modulazione AM, l'indice di modulazione $m$ per una modulazione FM può essere maggiore di 1 senza incorrere in sovramodulazione.

In figura viene mostrato un esempio di un generico segnale modulante (in rosso), sovrapposto al segnale portante (in verde). Sotto, viene riportato il segnale modulato in frequenza (in blu).

Naturalmente, per evidenziare come si comporta il segnale modulato in frequenza, la pulsazione della portante $\omega _{p}$ è stata ridotta a livelli confrontabili con quella del segnale modulante $\omega _{m}$.

Spettro di frequenza di un segnale FM

Spettro di un segnale sinusoidale a 1 kHz, con portante a 146,52 MHz, modulato in frequenza. L'indice di modulazione è pari a m = 2,4 (primo zero di Bessel), come si nota dall'assenza della portante. Sono evidenti le diverse bande laterali.

Per il calcolo della banda di un segnale modulato in FM, per prima cosa si applica addizione ai due argomenti del coseno:

$v_{FM}(t)={\begin{cases}V_{p}\cos \left(\omega _{p}t+m\sin \omega _{m}t\right)=\\=V_{p}\left(\cos(\omega _{p}t){\underline {\cos(m\sin \omega _{m}t)}}-\sin(\omega _{p}t){\underline {\sin(m\sin \omega _{m}t)}}\right)\end{cases}}$.

Le espressioni sottolineate sono dette funzioni di Bessel di prima specie e vengono indicate con $J_{n}(m)$, dove l'indice $n$ rappresenta l'ordine della funzione di Bessel, mentre l'argomento $m$ il suo generico valore.

Perché è necessario l'utilizzo delle funzioni di Bessel per conoscere lo spettro di un segnale modulato in frequenza? Perché le espressioni sottolineate sono – rispettivamente – il coseno di un seno e il seno di un seno. Le funzioni di Bessel di prima specie consentono di eseguire il loro sviluppo in serie di Fourier.

Purtroppo nelle comuni calcolatrici scientifiche le funzioni di Bessel non sono implementate. Pertanto, è necessario utilizzare un foglio di calcolo qualsiasi (Excel, Libre Office non fa differenza).

Come generare le funzioni di Bessel di Prima specie $J_{n}(m)$ nei fogli di calcolo

Excel	Libre Office Calc	Google Sheets
La funzione si chiama BESSEL.J e ha due argomenti X e N, dove N è l'ordine della funzione, mentre X il suo valore		Tali funzioni non sono implementate

Tra le innumerevoli funzioni a disposizione si troverà, nel caso di Excel e Libre Office, la funzione desiderata come mostrato in tabella.

Esercizio Calcolo del valore di Jₙ(m) tramite foglio di calcolo

Eseguire, tramite il foglio di calcolo, gli esercizi non svolti.

${\begin{aligned}J_{0}(1)&=BESSEL.J(1;0)=1\\J_{3}(0,4)&=BESSEL.J(0,4;3)=0,0013\\J_{2}(7,45)&=BESSEL.J(7,45;2)=-0,2398\\J_{8}(7,45)&=BESSEL.J(7,45;8)=0,1696\\J_{0}(5,520078)&=\\J_{1}(1,8)&=\\J_{2}(6,71)&=\\J_{3}(5)&=\\J_{4}(7)&=\\J_{5}(8)&=\\J_{6}(2)&=\\J_{7}(3)&=\\J_{8}(1,5)&=\end{aligned}}$

L'esercizio $J_{0}(5,520078)$ non è stato inserito per creare panico o difficoltà nello studente. Rientra in una particolare categoria di valori detti zeri di Bessel, valori in cui le funzioni di Bessel si annullano, in questo caso per la funzione $J_{0}(m)$. Lo studio di questi valori è molto interessante poiché quando $J_{0}(m)=0$ non vi è trasmissione della portante e il rendimento della modulazione è massimo, pari al $\eta =50\%$.

Pertanto, lo spettro di un generico segnale modulato in frequenza è composto da infinite righe distanziate tra di loro dalla frequenza del segnale modulante $f_{m}$ la cui ampiezza è data dall'ampiezza del segnale portante $V_{p}$ moltiplicato per la funzione di Bessel $J_{n}(m)$ dove $m$ è la profondità di modulazione, mentre $n$ è l'ennesima riga dello spettro.

È possibile dimostrare che lo sviluppo in serie di Bessel del segnale modulato in frequenza è pari a:

${\begin{array}{rl}v_{FM}(t)=&V_{p}J_{0}(m)\sin(\omega _{p}t)+\\&V_{p}J_{1}(m)\left[\sin(\omega _{p}+\omega _{m})t-\sin(\omega _{p}-\omega _{m})t\right]+\\&V_{p}J_{2}(m)\left[\sin(\omega _{p}+2\omega _{m})t+\sin(\omega _{p}-2\omega _{m})t\right]+\\&V_{p}J_{3}(m)\left[\sin(\omega _{p}+3\omega _{m})t-\sin(\omega _{p}-3\omega _{m})t\right]+\\&V_{p}J_{4}(m)\left[\sin(\omega _{p}+4\omega _{m})t+\sin(\omega _{p}-4\omega _{m})t\right]+\dots \end{array}}$,

pertanto la banda di un segnale modulato in FM è illimitata. Il problema – in realtà – non sussiste in quanto le funzioni di Bessel di ordine elevato (per i valori di $m$ utilizzati nella modulazione di frequenza) assumono via, via valori sempre minori sino a non essere significative.

$J_{0}(m)$ è il valore che viene attribuito (a eccezione di $V_{p}$ che può essere considerato come un fattore di scala) al segnale portante. Quando tale valore si annulla, ovvero per $J_{0}(m)=0$ si ha rendimento massimo pari a $\eta =50\%$.

Questi valori prendono il nome di zeri di Bessel e – per la funzione $J_{0}(m)$ – sono riportati in tabella i primi cinque zeri di Bessel con una precisione alla quindicesima cifra decimale.

Primi cinque zeri di Bessel

Zero	m
1°	2,40482555769577
2°	5,52007811028631
3°	8,65372791291101
4°	11,7915344390142
5°	14,9309177084877

In figura sono riportati i grafici delle funzioni di Bessel fino al decimo ordine. Come evidente, la conoscenza dell'andamento di tali funzioni è propedeutica alla determinazione della banda del segnale modulato in FM.

Osservando che – nelle funzioni di Bessel – il valore di riferimento della portante non modulata è pari a $J_{0}(0)=1$, si stabilisce di considerare come facenti parte integrante della banda del segnale modulato in frequenza soltanto le armoniche le cui funzioni di Bessel – in corrispondenza al valore di $m$ prescelto – siano superiori, in modulo, a 0,01.

Mentre il matematico è rigoroso ed è interessato alla precisione assoluta, il tecnico utilizza il linguaggio della matematica e lo adatta ai propri fini. In questo caso, occorre capire quante armoniche sono necessarie per ottenere il segnale modulato come da specifiche di progetto una volta nota la profondità di modulazione $m$ e le armoniche con un'ampiezza significativa.

Esercizio Calcolo della banda di un segnale modulato in FM

Per lo studio dello spettro, l'insieme di tutte le armoniche che rappresentano il dominio della frequenza del segnale modulato, si ricorre a un esempio. Si vuole tracciare lo spettro di un segnale in modulazione di frequenza avente:

${\begin{aligned}&f_{p}=102,5{\text{ MHz}}\\&f_{m}=15{\text{ kHz}}\\&\Delta _{f}=45{\text{ kHz}}\\&V_{p}=100{\text{ V}}\end{aligned}}$

Come primo passo si determina l'indice di modulazione $m$:

$m={\frac {\Delta _{f}}{f_{m}}}={\frac {45{\text{ kHz}}}{15{\text{ kHz}}}}=3$.

Il passo successivo è individuare, sul diagramma delle funzioni di Bessel, un segmento parallelo all'asse delle ordinate in corrispondenza dell'indice di modulazione $m=3$ e, l'intersezione con tutte le curve $J_{0}(3)$, $J_{1}(3)$, $J_{2}(3)$,... per determinare i valori che queste funzioni assumono. Dal grafico (o dal foglio di calcolo) si ottengono i parametri di interesse per il calcolo dei termini significativi ai fini del calcolo della banda del segnale modulato da cui è immediato ricavare le ampiezze delle rispettive righe spettrali moltiplicando i valori ottenuti per la tensione della portante.

$\left\{{\begin{matrix}V_{p}J_{0}(3)=100{\text{ V}}\cdot |-0,26|=26{\text{ V}}\\V_{p}J_{1}(3)=100{\text{ V}}\cdot 0,34=34{\text{ V}}\\V_{p}J_{2}(3)=100{\text{ V}}\cdot 0,48=48{\text{ V}}\\V_{p}J_{3}(3)=100{\text{ V}}\cdot 0,32=32{\text{ V}}\\V_{p}J_{4}(3)=100{\text{ V}}\cdot 0,12=12{\text{ V}}\\V_{p}J_{5}(3)=100{\text{ V}}\cdot 0,05=5{\text{ V}}\\V_{p}J_{6}(3)=100{\text{ V}}\cdot 0,01=1{\text{ V}}\end{matrix}}\right.$

Il termine $J_{6}(3)=0,01$ verrà escluso, come tutti i termini successivi. Pertanto, lo spettro del segnale modulato è pari a $B=2\cdot 5\cdot f_{m}=2\cdot 5\cdot 15{\text{ kHz}}=150{\text{ kHz}}$.

Esercizio Calcolo del numero massimo di radio FM

Conoscendo la banda di frequenza riservata alle stazioni FM (da $87,5~{\text{MHz}}$ a $108~{\text{MHz}}$) e l'occupazione di banda di una singola stazione FM, calcolare il numero $N$ di stazioni massimo.

$N={\frac {F_{FM_{max}}-F_{FM_{min}}}{B_{FM}}}={\frac {108{\text{ MHz}}-87,5{\text{ MHz}}}{B_{FM}}}={\frac {20,5{\text{ MHz}}}{B_{FM}}}\simeq ?$.

Banda di Carson

In telecomunicazioni, la regola della banda di Carson definisce in modo approssimativo la larghezza di banda richiesta da un sistema di comunicazione per un segnale portante modulato in frequenza. La regola di Carson non si applica quando il segnale modulante contiene delle discontinuità, come un'onda quadra.

La larghezza di banda di Carson è espressa dalla relazione:

$B=2\left(\Delta _{f}+f_{m}\right)=2f_{m}\left(m+1\right)$.

La regola della banda di Carson viene spesso applicata a trasmettitori, antenne, sorgenti ottiche, ricevitori e altri sistemi di telecomunicazioni.

Teoricamente ogni segnale FM ha una larghezza di banda illimitata, ma – all'atto pratico – la regola di Carson restituisce una larghezza di banda che copre il 98%, o oltre, della potenza dell'intero segnale modulato. Questa formula è tanto più esatta, quanto più $m$ è grande, mentre per valori di $m$ piccoli non risulta molto precisa.

Modulazione di fase

La modulazione di fase (PM, Phase Modulation) è una modulazione che codifica le informazioni, come variazioni nella fase istantanea del segnale portante.

A differenza della più popolare modulazione di frequenza, la modulazione di fase non è molto diffusa in ambito analogico. Questo è dovuto al fatto che richiede circuiti riceventi più complessi, inoltre vi possono essere problemi di ambiguità nel determinare se – per esempio – il segnale è cambiato dalla fase di $+180^{\circ }$ o $-180^{\circ }$.

Teoria

Un esempio di modulazione di fase. In alto è illustrato il segnale modulante (rosso) e il segnale portante (verde). In basso il segnale modulato (blu).

Per semplicità, supponiamo che il segnale modulante sia periodico, con pulsazione pari a $\omega =2\pi F$. Premesso questo, come nei casi delle modulazioni AM e FM, si ha:

$v_{m}(t)=V_{m}\cos(\omega _{m}t+\varphi _{m})$,

dove, per una più agevole semplicità dimostrativa, nel seguito verrà considerato con $\varphi _{m}=0$, ovvero in fase con in segnale portante.

Per quanto riguarda il segnale portante – il quale deve avere una frequenza molto maggiore del segnale modulante – ovvero $\omega _{p}\gg \omega _{m}$, si avrà:

$v_{p}(t)=V_{p}\cos(\omega _{p}t)$.

Premesso questo, il segnale modulato sarà pari al segnale portante sfasato in ragione del segnale modulante, ovvero:

$v_{PM}(t)=V_{p}\cos \left(\omega _{p}t+v_{m}(t)\right)$.

Ciò dimostra come $v_{m}(t)$ moduli la fase. Ovviamente, la modulazione di fase può anche essere vista come un cambiamento della frequenza della portante. Pertanto, la modulazione di fase può quindi essere considerata un caso particolare della modulazione di frequenza, dove la frequenza della portante è data dalla derivata rispetto al tempo della modulazione di fase.

Il comportamento spettrale della modulazione di fase non è semplice da ricavare, ma la matematica rivela che ci sono due casi di particolare interesse:

• per piccoli segnali, la modulazione di fase è analoga alla modulazione di ampiezza, presentando il raddoppio della larghezza di banda e – di conseguenza – uno scarso rendimento;
• nel caso di un singolo grande segnale sinusoidale, la modulazione di fase è invece simile alla modulazione di frequenza e la sua larghezza di banda è pari a circa $B=2(h+1)f_{m}$, dove $f_{m}={\frac {\omega _{m}}{2\pi }}$, mentre $h$ è l′indice di modulazione che verrà definito tra breve. Tutto questo è noto come Regola di Carson per la modulazione di fase.

Indice di modulazione

Come visto con gli indici di modulazione di ampiezza e frequenza, questa grandezza indica quanto la variabile modulata vari intorno al suo livello non modulato. È relativo alle variazioni di fase della portante del segnale, pertanto si ha:

$h=\Delta \varphi$,

dove $\Delta \varphi$ è il picco della variazione di fase.

È istruttivo confrontare questo indice di modulazione con l'indice di modulazione ottenuto nel caso della modulazione in frequenza.

Utilizzi

Segnali di tempo campione sulla frequenza di 162 kHz.

La modulazione di fase è ampiamente utilizzata per trasmettere onde radio ed è parte integrante di molti schemi di codifica di trasmissione digitale che sono alla base di una vasta gamma di tecnologie come il WiFi, GSM e la televisione satellitare.

La modulazione di fase è strettamente correlata alla modulazione di frequenza (FM); viene spesso utilizzata come passo intermedio per ottenere la modulazione FM. Matematicamente parlando, la modulazione di fase e di frequenza possono essere considerate un caso particolare di modulazione in quadratura di ampiezza (QAM, Quadrature Amplitude Modulation) e – in molti testi – vengono definite modulazioni angolari.