Decremento della probabilità di scoperta sonar in funzione della distanza del bersaglio

La determinazione del decremento della probabilità di scoperta sonar in funzione della distanza del bersaglio è quel processo matematico che consente di valutare le incertezze della localizzazione in dipendenza dell'allontanamento del bersaglio da un punto a distanza stabilita.

Il problema del calcolo della probabilità di scoperta Priv. = f( R)

Il problema del calcolo di $Priv.=f(R)$ inizia con la determinazione di una portata di scoperta di riferimento per sistemi di ricezione sonar in correlazione; questa sarà la base di partenza di tutti gli sviluppi successivi che impiegano le funzioni sotto indicate, ciascuna con il proprio grafico ,necessario per la soluzione del problema stesso:

• $d=f(Priv.)$: parametro probabilistico (curve ROC), con $Pfa.=costante$
• $DT=f(d)$: differenziale di riconoscimento
• $R=f(DT)$ : distanza del bersaglio

dalle quali, infine, ricavare la funzione che risolve il problema posto:

$Priv.=f(R)$: probabilità di rivelazione

Determinazione della portata di scoperta di riferimento

Per risolvere il problema posto i computi iniziano con la determinazione della portata di scoperta di riferimento, $Rf$:

Nel caso di sonar passivo secondo le equazioni:

${\begin{cases}TL=60+20\cdot \log _{10}{R}+\alpha \cdot R\\TL=SL+DI-NL-DT+10\cdot \log _{10}{BW}\end{cases}}$

La soluzione grafica del sistema trascendente si ottiene assumendo, ad esempio, le variabili:

• $SL=140\ dB/\mu Pa/Hz$
• $NL=58\ dB/\mu Pa/Hz$
• $\alpha =0.1\ dB/km$
• $DI=10\ dB$
• $DT=27.2\ dB$
• $BW=2000\ Hz$
• $RC=0.1\ s$
• $d=28\ (Priv.=99\%;Pfa.=0.1\%)$

La soluzione in base alle variabili assunte è mostrata in figura 1:

figura 1 Soluzione grafica sistema trascendente

in cui:

• la retta rossa rappresenta la prima equazione del sistema
• la curva blu rappresenta la seconda equazione del sistema
• l'ascissa del loro punto d'intersezione indica la portata calcolata:

$Rf=46\ km$

Da questa distanza di riferimento si considera l'allontanamento del bersaglio e la conseguente riduzione della probabilità di scoperta $Priv.=f(R)$ con la probabilità di falso allarme costante $Pfa=0.1\%$.

Calcolo della funzione d = f(Priv.)

La funzione $d=f(Priv.)$, per $Pfa=0.1$% costante, dipendente dalle curve ROC, è calcolata per valori discreti impiegando un particolare sistema di computazione.

L'andamento del $d=f(Priv.)$ riportato in figura 2

figura 2 d = f( Priv.)

Calcolo della funzione DT = f(d)

La funzione $DT=f(d)$, per $Pfa=0.1$% costante, dipendente dalla curva $d=f(Priv.)$, è tracciata secondo l'equazione :

$DT=5\cdot log_{10}{[(BW\cdot d)/(2\cdot RC)]}$

nella quale le variabili sono le stesse impiegate per il calcolo di $Rf$; la funzione è mostrata in figura 3:

figura 3 DT = f( d )

Calcolo della funzione R = f(DT)

La funzione trascendente $R=f(DT)$ per $Pfa=0.1$% costante. :

$60+20\cdot \log _{10}{R}+\alpha \cdot R=SL+DI-NL-DT+10\cdot \log _{10}{BW}$

dipende dalla curva $DT=f(d)$ precedentemente tracciata.

In figura 4 l'andamento di $R$ in funzione di $DT$ dove le variabili sono le stesse impiegate per il calcolo di $Rf$

figura 4 R = f( DT )

Calcolo della funzione Priv. = f(R)

Con il calcolo della funzione $Priv.=f(R)$, per $Pfa=0.1$% costante, si ottiene la soluzione del problema posto.

I punti di $Priv.=f(R)$ seguono le corrispondenze dei punti delle tre curve precedenti secondo la successione numerica d'esempio nelle uguaglianze:

• da $d=f(Priv.)$ si ha la coppia:

$Priv.=10\%$; $d=2.9$

• da $DT=f(d)$ si ha la coppia:

$d=2.9$; $DT=\ 22.3\ dB$

• da $R=f(DT)$ si ha la coppia:

$DT.=22.3\ dB$; $R=65\ km$

• di conseguenza varrà la coppia $Priv.=f(R)$ :

$Priv.=10\%$; $R=65\ km$

Con questa procedura per tutti i punti di $Priv$ si determinano le coppie che generano la curva di figura 5:

figura 5 Priv. = f(R)

La curva mostra il degrado della probabilità di scoperta, per $Pfa=0.1$% costante, $Priv.$ con l'aumentare della distanza $R$; da $Rf=46\ km$ di riferimento, con $Priv=99\%$ a $R=70\ km$ con $Priv=4\%.$.

Bibliografia

• Robert J. Urick, Principles of underwater sound , Mc Graw – Hill|edizione=3ª, 1968
• James j. Faran jr ; Robert Hills jr , Correlators for signal reception, Office of Navaval Research (contract n5 ori-76 project order x technical memorandum no. 27) Acoustics Research Laboratory Division of Applied Science Harvard University – Cambridge, Massachusetts , 1952
• James j. Faran jr ; Robert Hills jr , The application of correlation techniques to acoustic receiving systems, Office of Navaval Research (contract n5 ori-76 project order x technical memorandum no. 28) - Acoustics Research Laboratory Division of Applied Science Harvard University – Cambridge, Massachusetts , 1952
• C.W.Helstrom, Statistical Theory of Signal Detection , Pergamon Press N.Y,1960