Serie numeriche

Avanzamento lezione: 50% al 21-05-2013.

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Definizione

Sia $a_n$ (con $n \in \mathbb{N}$) una successione di numeri reali.

Diciamo serie di termine generale $a_n$ la scrittura formale $\sum_{k=0}^\infty a_k$, e la successione $S_n = \sum_{k=0}^n a_k$ prende il nome di successione delle somme parziali della serie.

Consideriamo ora il limite per $n \to \infty$ della successione $S_n$.

Se tale limite esiste ed è finito, la serie si dice convergente; se il limite esiste ed è uguale a $+\infty$ oppure a $-\infty$, la serie si dice divergente (positivamente o negativamente), ed in entrambi i casi, la serie si dice regolare.

Se invece il limite non esiste, la serie si dice indeterminata.

Esempio

La serie di Mengoli è definita come:

$\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(k+1)(k+2)}$

Si dimostra, utilizzando il principio di induzione (lo studente può verificarlo per esercizio), che:

$S_n = \sum_{k=0}^n \frac{1}{(k+1)(k+2)} = \frac{n}{n+1}$

da cui:

$\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(k+1)(k+2)} = \lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{n}{n+1} = 1$

La serie è quindi convergente.

Proprietà basilari

Lo studente può facilmente verificare, tramite le nozioni di limite di successione e di sommatoria, che:

Se le serie di termini generali $a_k$ e $b_k$ sono regolari, e se anche la serie di termine generale $a_k + b_k$ è regolare, allora risulta:

$\sum_{k=0}^\infty (a_k + b_k) = \sum_{k=0}^\infty a_k + \sum_{k=0}^\infty b_k$

e lo stesso vale per:

$\sum_{k=0}^\infty (a_k - b_k) = \sum_{k=0}^\infty a_k - \sum_{k=0}^\infty b_k$

inoltre:

$\sum_{k=0}^\infty (a_k * b_k) \ne \sum_{k=0}^\infty a_k * \sum_{k=0}^\infty b_k$

Se la serie di termine generale $a_k$ è regolare, allora la serie di termine generale $c \cdot a_k$, con $c$ numero reale, è anch'essa regolare, e risulta:

$\sum_{k=0}^\infty c \cdot a_k = c \cdot \sum_{k=0}^\infty a_k$

Serie convergenti

Condizione necessaria per la convergenza di una serie

Se la serie $\sum_{n=0}^\infty a_n$ è convergente, allora $\lim_{n\rightarrow +\infty} a_n = 0$

È importante ricordare che la condizione è necessaria, ma non sufficiente.

Dimostrazione

Siano $S_n$ la successione delle somme parziali, ed $S$ il valore a cui essa converge (per ipotesi); poiché:

$a_{n} = S_{n} - S_{n-1},\ \ \forall n \in \mathbb{N}$, $n > 0$

risulta:

$\lim_{n\rightarrow +\infty} a_n = \lim_{n\rightarrow +\infty} S_{n} - S_{n-1} = \lim_{n\rightarrow +\infty} S_{n} - \lim_{n\rightarrow +\infty} S_{n-1} = S - S = 0$

$\Box$

Nota:
inserire collegamento a serie armonica come esempio che la condizione non è sufficiente

Criterio di Cauchy per le serie

$\sum_{k=0}^\infty a_k$ converge se e solo se $\forall \varepsilon > 0$ esiste $\nu \in \mathbb{N}$ tale che:

$\left| \sum_{k=n+1}^{n+p} a_k \right| = \left| a_{n+1}+ \ldots + a_{n+p} \right| < \varepsilon, \ \ \ \ \forall n,p \in \mathbb{N}, n \ge \nu$

Dimostrazione

Sia $S_n\,\!$ la successione delle somme parziali.

Per il criterio di Cauchy per le successioni, $S_n$ converge se e solo se $\forall \varepsilon > 0$ esiste $\nu \in \mathbb{N}$ tale che $\left| s_m - s_n \right|< \varepsilon$ per $m,n \ge \nu$.

Se prendiamo $m > n$ allora $m = n + p$ per qualche $p \in \mathbb{N}$, con $p \ne 0$; l'asserto segue allora dal fatto che:

$\sum_{k=n+1}^{n+p} a_k = \sum_{k=0}^{n+p} a_k - \sum_{k=0}^n a_k = s_m - s_n$.

$\Box$

Serie a termini non negativi

Una serie $\sum_{k=1}^\infty a_k$ si dice a termini non negativi (positivi) se $\forall n \in \mathbb{N}, \ \ a_n \ge 0 \ \left( > 0 \right)$.

La sua successione $s_n\,\!$ delle somme parziali è monotona non descrescente (crescente); risulta infatti $\forall n \in \mathbb{N}$:

$s_{n+1}=s_n + a_{n+1} \ge s_n \ \left( > s_n \right)$

In base al teorema di esistenza del limite di una successione monotona, risulta vero il seguente teorema sulle serie a termini non negativi:

Una serie $\sum_{k=1}^\infty a_k$ a termini non negativi è regolare, cioè non può essere indeterminata;

In particolare può solo convergere o divergere positivamente.

Criteri di convergenza per serie a termini non negativi

È spesso complicato calcolare esplicitamente la successione delle somme parziali; per questo motivo può essere utile avere degli strumenti per stabilire a priori il carattere di una serie;

I seguenti criteri sono validi per serie a termini non negativi.

Criterio del confronto

Siano $a_n\!$ e $b_n\!$ due successioni tali che $0 \le a_n \le b_n,\ \forall n > \nu,$ con $\nu\in\mathbb{N}\!$ fissato.

Si ha:

$\sum_{k=1}^{\infty} b_k < + \infty \ \ \Rightarrow \ \ \sum_{k=1}^{\infty} a_k < + \infty$

$\sum_{k=1}^{\infty} a_k = + \infty \ \ \Rightarrow \ \ \sum_{k=1}^{\infty} b_k = + \infty$

Criterio degli infinitesimi

Sia $a_n$ una successione a termini non negativi. Supponiamo che, fissato un numero reale $\rho$ esista il limite:
$l = \lim_{n \to +\infty}n^\rho a_n$
Si ha:
$l \ne +\infty , \rho > 1 \Rightarrow \sum_{k=1}^\infty a_k < +\infty$
$l \ne 0 , \rho \le 1 \Rightarrow \sum_{k=1}^\infty a_k = +\infty$

Criterio del rapporto

Si ha la serie a termini positivi $\sum_{n=1}^\infty a_n$ tale che esista $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac {a_{n+1}}{a_n} = l$

Essa:

- converge se $l < 1$

- diverge se $l >1$

- il criterio non è risolutivo se $l = 1$

Dimostrazione

Se $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = l < 1$ possiamo definire un numero k compreso tra l ed 1 per ogni n maggiore di un certo N abbastanza grande.

$\forall n>N , \ \frac{a_{n+1}}{a_n}<k$

da cui

$a_{n}<a_{n-1} k < a_{n-2} k^2 < a_{n-3} k^3 < \dots < a_{N+1} k^{n-(N+1)} = \left( \frac {a_{N+1}}{k^{N+1}} \right) k^n$

$\left( \frac {a_{N+1}}{k^{N+1}} \right)$ è una costante ininfluente ai fini della determinazione del carattere della serie.

$k^n$ è una geometrica di ragione k minore di 1 e che quindi converge.

Quindi dato che una successione maggiorante di $a_n$ risulta convergente, anche $a_n$ risulta convergente.

Criterio della radice

Dimostrazione

Supponiamo che il limite di $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ sia un certo numero L < 1. Allora puoi fissare un numero q nell'intervallo aperto (L , 1), cioè un numero q STRETTAMENTE maggiore di L e STRETTAMENTE minore di 1. Applica la definizione di limite alla successione $\frac{a_{n+1}}{{a_n}}$ scegliendo un particolare $\epsilon$, precisamente $\epsilon = q - L$ (puoi farlo perché q - L è positivo); per tutti gli indici n da un certo N in avanti $\frac{a_{n+1}}{ a_n}$ sarà compreso tra $L - \epsilon$ ed $L + \epsilon$, cioè tra 2L - q e q. Ciò significa che per tutti gli indici n sufficientemente grandi hai la disuguaglianza $\frac{a_{n+1}}{a_n} < q$. Il primo n per il quale vale la disuguaglianza appena detta è N: dunque è $\frac{a_{N+1}}{a_N} < q$, cioè $a_{N+1} < q \cdot a_N$ (occhio! qui si utilizza il fatto che i termini sono positivi, altrimenti le disuguaglianze cambiano verso e il criterio va a farsi friggere). Ma abbiamo anche $\frac{a_{N+2}}{ a_{N+1}} < q$, il che implica $a_{N+2} < q \cdot a_{N+1} < q^2\cdot a_N$. Proseguendo in questo modo hai per un generico k la disuguaglianza $a_{N+n} < q^n\cdot a_N$. Ma questo significa che la serie (per n da N a infinito) di $a_n$ si maggiora con la costante $a_N$ moltiplicata per la serie (per n da N a infinito) di $q^n$, che è una serie geometrica convergente, in quanto ha ragione minore di 1. Per il criterio del confronto, la serie (per n da N a infinito) di $a_n$ converge (nota che anche qui si usa l'ipotesi serie a termini positivi, perché altrimenti il criterio del confronto non vale). Abbiamo ovviamente tralasciato i primi termini della serie (fino all'indice N - 1), ma questo non è un problema, perché il carattere di una serie non cambia eliminando o alterando un numero finito di termini..

Serie Alternate

Una serie del tipo $\sum_{k=1}^\infty \left(-1 \right) ^{k-1} a_k$, con $a_n >0, \ \ \forall n \in \mathbb{N}$, si dice serie alternata; la successione delle somme parziali corrispondente sarà:

$s_n = a_1-a_2+a_3-a_4+\ldots+\left(-1 \right) ^{n-1} a_n$

Seguono un criterio di convergenza specifico per serie di questo tipo, ed un teorema valido per ogni tipo di serie, ma molto utile nello studio del carattere di quelle alternate.

Convergenza assoluta

Una serie di termine generale $a_n\,\!$ si dice assolutamente convergente, per definizione, se la serie di termine generale $\left|a_n\right|$ risulta convergente.

Vale il seguente teorema:

Se una serie converge assolutamente, essa è convergente.

Il teorema è particolarmente utile, perché, qualsiasi sia la successione $a_n\,\!$, la serie di termine generale $\left|a_n\right|$ risulta essere a termini non negativi, e può essere quindi analizzata con i relativi criteri.

Una serie che sia convergente, ma non assolutamente convergente, si dice condizionatamente convergente.

Dimostrazione

Per ipotesi, la serie $\sum_{k=1}^\infty \left|a_k\right|$ è convergente.

Consideriamo la serie $\sum_{k=1}^\infty \left(a_k + \left|a_k\right| \right)$; essa converge per il criterio del confronto, poiché:

$0 \le a_k + \left|a_k\right| \le 2 \left|a_k\right|, \ \ \ \ \forall k \in \mathbb{N}$

Dal momento che:

$\sum_{k=1}^n a_k = \sum_{k=1}^n \left(a_k + \left|a_k\right| \right) - \sum_{k=1}^n \left|a_k\right|$

Il limite per $n \to + \infty$ del primo mebro deve necessariamente esistere finito, poiché esistono finiti i limiti dei singoli addendi del secondo membro.

$\Box$