Serie numeriche

Da Wikiversità, l'università aperta.

Avanzamento lezione: 50% al 26-11-2009.

Materia:Analisi matematica > Serie numeriche

[modifica] Definizione

Sia $a n$ (con $n \in \mathbb{N}$ ) una successione di numeri reali.

Diciamo serie di termine generale $a n$ la scrittura formale $\sum_{k=0}^\infty a_k$ , e la successione $S_n = \sum_{k=0}^n a_k$ prende il nome di successione delle somme parziali della serie.

Consideriamo ora il limite per $n \to \infty$ della successione $S n$ .

Se tale limite esiste ed è finito, la serie si dice convergente; se il limite esiste ed è uguale a $+\infty$ oppure a $-\infty$ , la serie si dice divergente (positivamente o negativamente), ed in entrambi i casi, la serie si dice regolare.

Se invece il limite non esiste, la serie si dice indeterminata.

[modifica] Esempio

La serie di Mengoli è definita come:

$\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(k+1)(k+2)}$

Si dimostra, utilizzando il principio di induzione (lo studente può verificarlo per esercizio), che:

$S_n = \sum_{k=0}^n \frac{1}{(k+1)(k+2)} = \frac{n}{n+1}$

da cui:

$\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(k+1)(k+2)} = \lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{n}{n+1} = 1$

La serie è quindi convergente.

[modifica] Proprietà basilari

Lo studente può facilmente verificare, tramite le nozioni di limite di successione e di sommatoria, che:

Se le serie di termini generali $a k$ e $b k$ sono regolari, e se anche la serie di termine generale $a k + b k$ è regolare, allora risulta:

$\sum_{k=0}^\infty (a_k + b_k) = \sum_{k=0}^\infty a_k + \sum_{k=0}^\infty b_k$

Se la serie di termine generale $a k$ è regolare, allora la serie di termine generale $c \cdot a_k$ , con $c$ numero reale, è anch'essa regolare, e risulta:

$\sum_{k=0}^\infty c \cdot a_k = c \cdot \sum_{k=0}^\infty a_k$

[modifica] Serie convergenti

[modifica] Condizione necessaria per la convergenza di una serie

Se la serie $\sum_{k=0}^\infty a_k$ è convergente, allora $\lim_{n\rightarrow +\infty} a_n = 0$

È importante ricordare che la condizione è necessaria, ma non sufficiente.

[modifica] Dimostrazione

Siano $S n$ la successione delle somme parziali, ed $S$ il valore a cui essa converge (per ipotesi); poiché:

$a_{n} = S_{n} - S_{n-1},\ \ \forall n \in \mathbb{N}$ , $n > 0$

risulta:

$\lim_{n\rightarrow +\infty} a_n = \lim_{n\rightarrow +\infty} S_{n} - S_{n-1} = \lim_{n\rightarrow +\infty} S_{n} - \lim_{n\rightarrow +\infty} S_{n-1} = S - S = 0$

$\Box$

Nota:
inserire collegamento a serie armonica come esempio che la condizione non è sufficiente

[modifica] Criterio di Cauchy per le serie

$\sum_{k=0}^\infty a_k$ converge se e solo se $\forall \varepsilon > 0$ esiste $\nu \in \mathbb{N}$ tale che:

$\left| \sum_{k=n+1}^{n+p} a_k \right| = \left| a_{n+1}+ \ldots + a_{n+p} \right| < \varepsilon, \ \ \ \ \forall n,p \in \mathbb{N}, n \ge \nu$

[modifica] Dimostrazione

Sia $S_n\,\!$ la successione delle somme parziali.

Per il criterio di Cauchy per le successioni, $S n$ converge se e solo se $\forall \varepsilon > 0$ esiste $\nu \in \mathbb{N}$ tale che $\left| s_m - s_n \right|< \varepsilon$ per $m,n \ge \nu$ .

Se prendiamo $m > n$ allora $m = n + p$ per qualche $p \in \mathbb{N}$ , con $p \ne 0$ ; l'asserto segue allora dal fatto che:

$\sum_{k=n+1}^{n+p} a_k = \sum_{k=0}^{n+p} a_k - \sum_{k=0}^n a_k = s_m - s_n$ .

$\Box$

[modifica] Teorema del resto

[modifica] Dimostrazione

[modifica] Serie a termini non negativi

Una serie $\sum_{k=1}^\infty a_k$ si dice a termini non negativi (positivi) se $\forall n \in \mathbb{N}, \ \ a_n \ge 0 \ \left( > 0 \right)$ .

La sua successione $s_n\,\!$ delle somme parziali è monotona non descrescente (crescente); risulta infatti $\forall n \in \mathbb{N}$ :

$s_{n+1}=s_n + a_{n+1} \ge s_n \ \left( > s_n \right)$

In base al teorema di esistenza del limite di una successione monotona, risulta vero il seguente teorema sulle serie a termini non negativi:

Una serie $\sum_{k=1}^\infty a_k$ a termini non negativi è regolare, cioè non può essere indeterminata;

In particolare può solo convergere o divergere positivamente.

[modifica] Criteri di convergenza per serie a termini non negativi

È spesso complicato calcolare esplicitamente la successione delle somme parziali; per questo motivo può essere utile avere degli strumenti per stabilire a priori il carattere di una serie;

I seguenti criteri sono validi per serie a termini non negativi.

[modifica] Criterio del confronto

Siano $a_n\!$ e $b_n\!$ due successioni tali che $0 \le a_n \le b_n,\ \forall n > \nu,$ con $\nu\in\mathbb{N}\!$ fissato.

Si ha:

$\sum_{k=1}^{\infty} b_k < + \infty \ \ \Rightarrow \ \ \sum_{k=1}^{\infty} a_k < + \infty$

$\sum_{k=1}^{\infty} a_k = + \infty \ \ \Rightarrow \ \ \sum_{k=1}^{\infty} b_k = + \infty$

[modifica] Dimostrazione

[modifica] Criterio degli infinitesimi

[modifica] Dimostrazione

[modifica] Criterio del rapporto

[modifica] Dimostrazione

[modifica] Criterio della radice

[modifica] Dimostrazione

Supponiamo che il limite di $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ sia un certo numero L < 1. Allora puoi fissare un numero q nell'intervallo aperto (L , 1), cioè un numero q STRETTAMENTE maggiore di L e STRETTAMENTE minore di 1. Applica la definizione di limite alla successione $\frac{a_{n+1}}{{a_n}}$ scegliendo un particolare $ε$ , precisamente $ε = q - L$ (puoi farlo perché q - L è positivo); per tutti gli indici n da un certo N in avanti $\frac{a_{n+1}}{ a_n}$ sarà compreso tra $L - ε$ ed $L + ε$ , cioè tra 2L - q e q. Ciò significa che per tutti gli indici n sufficientemente grandi hai la disuguaglianza $\frac{a_{n+1}}{a_n} < q$ . Il primo n per il quale vale la disuguaglianza appena detta è N: dunque è $\frac{a_{N+1}}{a_N} < q$ , cioè $a_{N+1} < q \cdot a_N$ (occhio! qui si utilizza il fatto che i termini sono positivi, altrimenti le disuguaglianze cambiano verso e il criterio va a farsi friggere). Ma abbiamo anche $\frac{a_{N+2}}{ a_{N+1}} < q$ , il che implica $a_{N+2} < q \cdot a_{N+1} < q^2\cdot a_N$ . Proseguendo in questo modo hai per un generico k la disuguaglianza $a_{N+n} < q^n\cdot a_N$ . Ma questo significa che la serie (per n da N a infinito) di $a n$ si maggiora con la costante $a N$ moltiplicata per la serie (per n da N a infinito) di $q n$ , che è una serie geometrica convergente, in quanto ha ragione minore di 1. Per il criterio del confronto, la serie (per n da N a infinito) di $a n$ converge (nota che anche qui si usa l'ipotesi serie a termini positivi, perché altrimenti il criterio del confronto non vale). Abbiamo ovviamente tralasciato i primi termini della serie (fino all'indice N - 1), ma questo non è un problema, perché il carattere di una serie non cambia eliminando o alterando un numero finito di termini.

[modifica] Serie Alternate

Una serie del tipo $\sum_{k=1}^\infty \left(-1 \right) ^{k-1} a_k$ , con $a_n >0, \ \ \forall n \in \mathbb{N}$ , si dice serie alternata; la successione delle somme parziali corrispondente sarà:

$s_n = a_1-a_2+a_3-a_4+\ldots+\left(-1 \right) ^{n-1} a_n$

Seguono un criterio di convergenza specifico per serie di questo tipo, ed un teorema valido per ogni tipo di serie, ma molto utile nello studio del carattere di quelle alternate.

[modifica] Criterio di convergenza per le serie alternate

[modifica] Dimostrazione

[modifica] Convergenza assoluta

Una serie di termine generale $a_n\,\!$ si dice assolutamente convergente, per definizione, se la serie di termine generale $\left|a_n\right|$ risulta convergente.

Vale il seguente teorema:

Se una serie converge assolutamente, essa è convergente.

Il teorema è particolarmente utile, perché, qualsiasi sia la successione $a_n\,\!$ , la serie di termine generale $\left|a_n\right|$ risulta essere a termini non negativi, e può essere quindi analizzata con i relativi criteri.

Una serie che sia convergente, ma non assolutamente convergente, si dice condizionatamente convergente.

[modifica] Dimostrazione

Per ipotesi, la serie $\sum_{k=1}^\infty \left|a_k\right|$ è convergente.

Consideriamo la serie $\sum_{k=1}^\infty \left(a_k + \left|a_k\right| \right)$ ; essa converge per il criterio del confronto, poiché:

$0 \le a_k + \left|a_k\right| \le 2 \left|a_k\right|, \ \ \ \ \forall k \in \mathbb{N}$

Dal momento che:

$\sum_{k=1}^n a_k = \sum_{k=1}^n \left(a_k + \left|a_k\right| \right) - \sum_{k=1}^n \left|a_k\right|$

Il limite per $n \to + \infty$ del primo mebro deve necessariamente esistere finito, poiché esistono finiti i limiti dei singoli addendi del secondo membro.

$\Box$

Serie numeriche

Da Wikiversità, l'università aperta.

Indice

[modifica] Definizione

[modifica] Esempio

[modifica] Proprietà basilari

[modifica] Serie convergenti

[modifica] Condizione necessaria per la convergenza di una serie

[modifica] Dimostrazione

[modifica] Criterio di Cauchy per le serie

[modifica] Dimostrazione

[modifica] Teorema del resto

[modifica] Dimostrazione

[modifica] Serie a termini non negativi

[modifica] Criteri di convergenza per serie a termini non negativi

[modifica] Criterio del confronto

[modifica] Dimostrazione

[modifica] Criterio degli infinitesimi

[modifica] Dimostrazione

[modifica] Criterio del rapporto

[modifica] Dimostrazione

[modifica] Criterio della radice

[modifica] Dimostrazione

[modifica] Serie Alternate

[modifica] Criterio di convergenza per le serie alternate

[modifica] Dimostrazione

[modifica] Convergenza assoluta

[modifica] Dimostrazione

Visite

Strumenti personali

Navigazione

Comunità

Ricerca

Strumenti