Numeri reali (seconda parte)

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Materia:Analisi matematica > Numeri reali (seconda parte)

Avanzamento lezione: 100% al 23-11-2009.

Indice

1 I numeri reali

[modifica] I numeri reali

[modifica] Proprietà di $\mathbb{R}$

$(\mathbb{R},+,\cdot,\leq)$ è un campo commutativo e totalmente ordinato.
$(\mathbb{R},\leq)$ è completo.

La prima proprietà è lunga da dimostrare ma sostanzialmente semplice; si tratta di verificare le proprietà di campo commutative e di ordine totale e consigliamo di farle per esercizio.
La seconda proprietà è deducibile anche intuitivamente. Infatti, preso un qualsiasi sottoinsieme superiormente limitato $A\subseteq \mathbb{R}$ , esiste certamente nei reali l'estremo superiore.

[modifica] Valore assoluto

Sia $x \in \mathbb{R}$ . Si definisce il valore assoluto (o modulo) di $x$ il numero reale denotato con $| x |$ tale che

| x | = max{x, - x}

.

[modifica] Proposizione (proprietà del valore assoluto)

$\forall x\in \mathbb{R}$ , si ha

$\pm x\leq |x|$
$|x|\geq 0$
$|xy|=\left|x\right| \left|y\right|$
$|x+y|\leq \left|x\right| + \left|y\right|$ (disuguaglianza triangolare)

[modifica] Dimostrazione

Le proprietà 1 e 3 sono molto facili e ne omettiamo la dimostrazione per brevità.
La 2 afferma che il valore assoluto è sempre non negativo. Infatti:

$|x| = 0 \Leftrightarrow \max\{x,-x\}=0$
$|x| < 0 \Rightarrow \max\{x,-x\} < 0$ ed è ovviamente assurdo, perché se $x$ è positivo, il massimo tra $x$ e $- x$ è $x > 0$ . Se $x$ è negativo, il massimo tra $x < 0$ e $- x > 0$ è $- x$ , che è appunto maggiore di 0.

Riguardo la disuguaglianza triangolare, abbiamo:

se uno dei due è nullo (ad esempio $y$ otteniamo

| x + y | = | x |

altrimenti

$|x+y|\leq \left|x\right| + \left|y\right| \Leftrightarrow |x+y|^2 \leq (\left|x\right| + \left|y\right|)^2 \Leftrightarrow |x|^2+2xy+|y|^2 \leq |x|^2+2|xy|+|y|^2$

$\Box$

[modifica] Parte intera

Sia $x \in \mathbb{R}$ . Si definisce il parte intera di $x$ il numero intero, denotato con $[x]$ , tale che

$[x]=\max\{a \in \mathbb{Z} | a\leq x\}$ .

[modifica] Induzione matematica e insiemi induttivi

Consideriamo un insime $I\subseteq \mathbb{R}$ . Si dice induttivo se

$1 \in I$
$x\in I \Rightarrow x+1 \in I$

Denotiamo con $\mathcal{I}$ l'insieme di tutti i sottoinsiemi induttivi di $\mathbb{R}$ .

[modifica] Insieme dei numeri naturali

$\mathbb{N}=\{x \in \mathbb{R}\ :\ x \in I,\forall I \in \mathcal{I}\}$

In altre parole, $\mathbb{N}$ è il più piccolo degli insiemi induttivi.

[modifica] Teorema (principio di induzione matematica)

Sia $P (n)$ una proposizione logicamente significativa. Se

$P (1)$ è vera
$P(n) \Rightarrow P(n+1)$

allora $P (n)$ è vera per ogni $n \in \mathbb{N}$ .

[modifica] Dimostrazione

Sia $M \subseteq \mathbb{N}$ l'insieme degli $n \in \mathbb{N}$ per cui valgano le condizioni 1 e 2. $M$ è allora un insieme induttivo e sappiamo che $\mathbb{N}$ è il più piccolo degli insiemi induttivi, dunque $\mathbb{N}\subseteq M$ . D'altra parte si ha, per ipotesi, che $M \subseteq \mathbb{N}$ . Dunque $M=\mathbb{N}$ .

$\Box$

[modifica] Importanti considerazioni finali

[modifica] Lemma

$\mathbb{N}$ non è superiormente limitato.

[modifica] Dimostrazione del Lemma

Infatti, se lo fosse, per la completezza di $\mathbb{R}$ esisterebbe un reale $m$ tale che $m = \sup \mathbb{N}$ . Però, siccome $m$ è il minore di tutti i maggioranti, $m - 1$ non è più un maggiorante e dunque, per un opportuno $n \in \mathbb{N}$ si ha che $m - 1 < n$ e dunque $m < n+1 \in \mathbb{N}$ e abbiamo finito, perché l'ipotesi che $m$ sia un maggiorante è contraddetta.

$\Box$

[modifica] Teorema (proprietà di Archimede)

$\mathbb{R}$ è archimedeo, cioè

$\forall x>0,y \in \mathbb{R}\exists n\in \mathbb{N}\ :\ nx>y$

[modifica] Dimostrazione

Per assurdo, $nx\leq y,\ \forall n\in \mathbb{N}$ . Dunque $n \leq \frac{y}{x}$ ed $\mathbb{N}$ sarebbe superiormente limitato. Impossibile.

$\Box$

[modifica] Teorema (densità dei razionali nei reali)

Siano $x,y \in \mathbb{R}\$ e sia

x < y

, allora $\exists z \in \mathbb{Q}\ :\ x<z<y$

[modifica] Dimostrazione

Dalle ipotesi del Teorema abbiamo che $x < y$ da cui si evince facilmente che $y - x > 0$ . Poniamo, per alleggerire le notazioni, $t = y - x$ . Poiché $\mathbb{R}$ è archimedeo allora esisterà un $n\in\mathbb{N}$ tale che