Numeri reali

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Materia:Analisi matematica > Numeri reali

Avanzamento lezione: 100% al 23-11-2009.

Indice

1 Relazione d'ordine
- 1.1 Insiemi limitati
  - 1.1.1 Proposizione (unicità di massimo e minimo)
    - 1.1.1.1 Dimostrazione
- 1.2 Estremo superiore e inferiore
  - 1.2.1 Esempi
2 Completezza di un insieme
- 2.1 Proposizione (esistenza dell'estremo inferiore in un insieme completo)
  - 2.1.1 Dimostrazione

[modifica] Relazione d'ordine

Sia $R$ una relazione. Si dice che $R$ è una relazione d'ordine se è

riflessiva
transitiva
antisimmetrica.

Se tale relazione è assegnata ad un insieme $A$ , allora si dice che $A$ è ordinato e si indica con $(A,\leq)$ .

Ad esempio, consideriamo la relazione così definita

$xRy\Leftrightarrow \exists n \in \mathbb{N}\ :\ x+n=y$

È sufficiente verificare le tre proprietà per dimostrare che $R$ è una relazione d'ordine. E infatti, è l'usuale relazione d'ordine di $\leq$ .

Se $x\leq y$ oppure $y\leq x$ , allora la relazione si dice di ordine totale (o lineare).

[modifica] Insiemi limitati

Sia $(A,\leq)$ un insieme ordinato e $A'\subseteq A$ un sottoinsieme non vuoto. Allora $a\in A$ si dice maggiorante di $A'$ se

$a\geq b,\ \forall b\in A'$

Analogamente si dice che $a \in A$ è minorante di $A$ se

$a \leq b,\ \forall b \in A'$

Se $a$ è maggiorante (minorante) ed è anche appartenete ad $A'$ , allora si dice che $a$ è il massimo (minimo) di $A'$ . Si indicano rispettivamente con

$\max A\ \ \ \ \ \min A$

Non tutti gli insiemi hanno massimo e minimo, ma se li hanno, essi sono unici. Dimostriamolo solo nel caso del massimo. Consigliamo di provare come esercizio a dimostrare il caso del minimo.

[modifica] Proposizione (unicità di massimo e minimo)

Sia $(A,\leq)\neq \emptyset$ e $A\subseteq B$ . Se $A$ ha massimo, allora è unico.

[modifica] Dimostrazione

Sia $m = max A$ . Supponiamo che esista un altro $m' = max A$ . Allora, per la definizione di massimo, si ha

$m,m'\in A\ \ m\geq a\in A$ (*) e

$m'\geq a\in A$ (**).

Siccome $m'$ è un elemento di $A$ , per la (*) si ha $m \geq m'$ . D'altra parte, siccome anche $m\in A$ , per la (**) abbiamo $m'\geq m\in A$ .
Allora altro non può essere che

m = m'

.

$\Box$

[modifica] Estremo superiore e inferiore

Si dice estremo superiore il più piccolo dei maggioranti ed estremo inferiore il più grande dei minoranti. In altri termini:

$\sup A = \min \{x \geq a,\ \forall a\in A\}$
$\inf A = \max \{ x \leq a,\ \forall a\in A\}$

Anche per l'estremo superiore e inferiore, se esistono sono unici. Non tutti gli insiemi però hanno tali estremi, perché non tutti gli insiemi hanno un insieme dei maggioranti o minoranti (e dunque non ha senso quanto scritto appena sopra).

Vediamo ora alcuni esempi di quello che abbiamo visto finora.

[modifica] Esempi

1. Sia $A=\{x\in \mathbb{Q}\ :\ 0\leq x < 1\}$ . Studiamo un po' questo insieme.

A

è l'insieme dei numeri razionali non negativi e più piccoli di 1. Innanzitutto notiamo che, da quello che abbiamo appena detto, tutti gli elementi dell'insieme sono più piccoli di 1 e quindi, equivalentemente, 1 è un maggiorante. Gli elementi di

A

sono perà tutti quei razionali strettamente più piccoli 1, dunque 1 è il minore tra i maggioranti perché se

λ

fosse un maggiorante e fosse minore di 1, allora si avrebbe che $\lambda \geq x \in A$ pur essende stesso un elemento di

A

e questo non è possibile perché possiamo sempre trovare un altro numero razionale $y\in \mathbb{Q}\ :\ x<y<1,\ \forall x \in \mathbb{Q}$ . Dunque un

λ

siffatto non è un maggiorante e dunque $\sup A = 1$ .

Osserviamo anche che gli elementi di

A

sono tutti maggiori uguale di 0 ma $0 \in A$ e questo equivale alla definizione di minimo. Dunque

0 = min A

.

Nota:
vedere se scrivere il teorema 3.7

Se un insieme ordinato $A$ ha maggioranti, tale insieme si dice superiormente limitato. Analogamente si dice inferiormente limitato se esistono minoranti.

[modifica] Completezza di un insieme

Un insieme ordinato $A$ si dice completo se ogni suo sottoinsieme superiormente limitato ha estremo superiore in $A$ .

[modifica] Proposizione (esistenza dell'estremo inferiore in un insieme completo)

Sia $(\mathbb{I},\leq)$ completo e $A\subseteq \mathbb{I},\ A \neq \emptyset$ . Allora $A$ ha estremo inferiore in $\mathbb{I}$ .

[modifica] Dimostrazione

$A$ è inferiormente limitato per ipotesi, dunque certamente esiste in $\mathbb{I}$ l'insieme dei minoranti di $A$

$M=\{m \leq a,\ \forall a \in A\}$ .

Osserviamo anche l'inverso, cioè che ogni elemento di $A$ è maggiorante di $M$ , dunque $M$ ha estremo superiore in $\mathbb{I}$ (perché, per ipotesi, $\mathbb{I}$ è completo). Sia $\lambda = \sup M$ .
Ogni elemento di $A$ è più grande di ogni elemento di $M$ ma anche $a \geq \lambda,\ \forall a\in A$ dato che $λ$ è il più piccolo tra i maggioranti di $M$ .
Ma allora $\lambda \in M$ e dunque $λ = max M$ . Infine, essendo $λ$ il massimo dei minoranti di $A$ , è per definizione l'estremo inferiore di $A$ .

$\Box$

Esercizio: L'insieme dei numeri razionali non è completo

Dimostriamo che $(\mathbb{Q},\leq)$ non è completo, quindi che esistono sottoinsiemi superiormente limitati ma che non hanno estremo superiore. (d'ora in avanti indicheremo con $\mathbb{Q}$ l'insieme $(\mathbb{Q},\leq)$ .

Per giungere al nostro scopo, dimostriamo che non è vero che $\mathbb{Q}$ è completo; dunque forniamo un controesempio.
Consideriamo

$R=\{x\in \mathbb{Q}\ :\ x>0,\ x^2<2\}$

$R$ non è ovviamente vuoto ed ha dei maggioranti (ad esempio 2 è un maggiorante, visto che $2^2 = 4 > 2 \Rightarrow 2 > x,\forall x\in R$ ). Proviamo ora che non esiste l'estremo superiore di questo insieme, cioè che non esiste un $m\in \mathbb{Q}$ il minore di tutti i maggioranti di $R$ .

Ragioniamo per assurdo e supponiamo che $m=\sup R$ esista.

Se $m 2 < 2$ , allora $m \in R$ . Però esiste certamente $\varepsilon \in \mathbb{Q}$ tale che $(m+\varepsilon)^2<2$ .
Infatti $\mathbb{Q}$ è un insieme denso, dunque tra due razionali esiste sempre un altro razionale; in questo caso se $2 = m + α$ , si ha $0 < \varepsilon < \alpha$ e dunque $m+\varepsilon < m+\alpha = 2$ .

Ma allora $m\in R$ e $m+\varepsilon \in R$ e da qui si ottiene che in

R

c'è un valore più grande di

m

e questo contraddice l'ipotesi che

m 2 < 2

.

Se $m 2 = 2$ , possiamo scrivere anche $m=\frac{p}{q}$ (con $p, q$ primi tra loro) e quindi $\frac{p^2}{q^2}=2$ . Da qui $p 2 = 2 q 2$ e il fatto che il secondo membro si pari, ci dice che $p 2$ è pari e dunque lo è anche $p$ . Allora possiamo scrivere il tutto come $4 y 2 = 2 q 2$ (con $p = 2 y$ ) ed equivalentemente $2 y = 2 = q 2$ . Per lo stesso ragionamento di prima, anche $q$ è pari e questa è una contraddizione perché avevamo supposto $p, q$ primi tra loro!

Questa è anche la prova classica che esistono numeri non razionali.

Infine, se $m 2 > 2$ , allora esiste certamente (per lo stesso criterio del punto 1) un $\varepsilon \in \mathbb{Q}$ tale che $(m-\varepsilon)^2 > 2$ . Ma $x^2<(m-\varepsilon)^2$ e siccome è tutta roba positiva, $x<m-\varepsilon$ e dunque $m-\varepsilon$ è un maggiorante di $R$ e abbiamo finito, perché questo contraddice l'ipotesi che $m$ sia il più piccolo dei maggioranti e dimostra che non può essere nemmeno $m 2 > 2$

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