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Presentazione
L'analisi matematica è un ramo della matematica sviluppato sulla base dei concetti del calcolo infinitesimale. In passato l'analisi matematica si occupava del complesso dei simboli e delle regole operative su tali simboli per lo studio delle proprietà di un oggetto matematico effettuando una sua scomposizione in parti fino a giungere alle parti infinitesime che lo compongono. L'analisi matematica introduce i concetti di infinito e di limite, ed è proprio lo studio di queste problematiche che ha portato l'analisi matematica da calcolo di elemento ad indagine presente in molti ambiti scientifici.
Panoramica
Modulo 1: Insiemi, successioni e funzioni continue
- Cenni di
 ,  ,  ,  ,  : insiemi ordinati, massimo, minimo, estremo inferiore-superiore, completezza di , numeri reali, insiemi induttivi, induzione matematica. Nozioni sui numeri complessi.
- Funzioni elementari: funzioni trigonometriche ed iperboliche, funzioni polinomiali, esponenziali, logaritmiche.
- Le successioni e le serie numeriche in : successioni reali, limiti di successioni, forme indeterminate, teoremi del confronto, serie numeriche, criteri del rapporto, radice e di Leibniz.
- Limiti di funzioni reali: insiemi compatti, punti di accumulazione, definizione di limite, collegamento tra limite di funzioni e limite di successioni, algebra dei limiti, teoremi del confronto.
- Monotonia, continuità, massimi, minimi e uniforme continuità: funzioni monotone, funzioni continue, punti di massimo e di minimo assoluti, teorema di Weierstrass, uniforme continuità e teorema di Cantor.
Modulo 2: Derivate, integrali e serie di funzioni
- Calcolo differenziale in e studio di funzioni: derivata prima e di ordine superiore di una funzione, algebra delle derivate, derivazione di funzioni elementari, polinomi di Taylor, funzioni convesse definite tramite derivata prima, punti critici, di massimo, di minimo, di flesso ed irregolari, studio di funzioni, funzioni convesse definite tramite le combinazioni convesse.
- Integrale di Riemann: concetto di integrale, definizione di integrale di Riemann, integrale definito, integrale generalizzato.
- Successioni e serie di funzioni: successioni di funzioni, inversione dei limiti, passaggi al limite sotto il segno di integrale e derivata, monotonia, del Dini, Ascoli-Arzelà, serie di funzioni, serie di potenze, raggio di convergenza, criteri di sviluppabilità in serie di Taylor.
Modulo 3: Funzioni in più variabili, curve e superfici
- Funzioni di più variabili reali: limiti e continuità, calcolo differenziale, formula di Taylor, forme quadratiche, massimi e minimi relativi ed assoluti, funzioni definite tramite integrale, funzioni a valori vettoriali, funzioni convesse in più variabili.
- Curve ed integrali curvilinei: curva semplice, regolarità, versore tangente alla curva, lunghezza della curva, ascissa curvilinea, integrale curvilineo, curva in
 e in  , triedro di Frénet.
- Forme differenziali lineari: definizione di forma differenziale lineare, integrale curvilineo di forma differenziale lineare, forme esatte, chiuse e caratterizzazione delle forme esatte.
- Integrali multipli: Integrali doppi, tripli, integrale secondo Riemann in
- Integrazione secondo Lebesgue: Misura di Lebesgue, funzioni misurabili, confronto tra Lebesgue e Riemann.
- Superfici ed integrali di superficie: Superficie regolare, parametrizzazione, piano tangente, versore normale, area di una superficie ed integrale di superficie.
 Prerequisiti
L'analisi più che ogni altra materia matematica richiede una conoscenza almeno basilare della storia della matematica per comprendere bene il perché esistono certi metodi di calcolo e da quali esigenze sono venute fuori. È dunque fondamentale non privarsi del tempo necessario per approfondire anche le curiosità che rendono estremamente importante e affascinante questa materia.
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Programma
Modulo 1
Cenni di , , , , e funzioni elementari
Le successioni e le serie numeriche in
Monotonia, continuità, massimi, minimi e uniforme continuità
Modulo 2
Calcolo differenziale in e studio di funzioni
Calcolo integrale secondo Riemann
Successioni e serie di funzioni
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