Numeri complessi

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Indice

[modifica] Insieme dei numeri complessi

L'insieme dei numeri complessi, denotato con \mathbb{C}, è un anello così composto:

\mathbb{C}:=(\mathbb{R}\times \mathbb{R}, +, \cdot)

cioè è un insieme composto da coppie di numeri reali con le operazioni di somma e prodotto (di coppie di numeri reali). Queste operazioni sono definite nel modo seguente, \forall (x,y),(x',y') \in \mathbb{C} e x,x',y,y' \in \mathbb{R}:

\begin{array}{l} (x,y)+(x',y') = (x+x',y+y') \\ (x,y)\cdot(x',y') = (xx'-yy',xy'+yx')\end{array}

In definitiva, (\mathbb{C},+,\cdot) è un campo. Omettiamo la dimostrazione perché è una semplice verifica, ma vi invitiamo a farla come esercizio.

[modifica] \mathbb{R} come sottocampo di \mathbb{C}

Poniamo \mathbb{R}^*:=\{(x,0),\ x \in \mathbb{R}\} \subset \mathbb{C}. È immediato verificare che \mathbb{R}^* è un sottocampo di \mathbb{C}, ma la cosa interessante è che \mathbb{R}^* è isomorfo a \mathbb{R}, dunque in particolare esiste una funzione f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}^* tale che f(x) = (x,0). Quindi \mathbb{C} è un'"estensione" dei numeri reali e identifichiamo \mathbb{R}^* con \mathbb{R} e dunque,

(x,0)=x,\ \forall x \in \mathbb{R}.

[modifica] Unità immaginaria

Definiamo l' unità immaginaria il numero complesso

i: = (0,1).

Con la definizione che abbiamo dato di i, possiamo scrivere ogni numero complesso in forma algebrica, cioè

(x,y) = x + iy

Infatti:

(x,y) = (x,0) + (0,y) = (x,0) + (0,1)(y,0) = x + iy

L'unità immaginaria ha una proprietà veramente notevole, che è una di quelle proprietà che caratterizzano i numeri complessi: i è una radice dell'equazione

x2 + 1 = 0.

Infatti:

i2 = (0,1)(0,1) = ( − 1,0) = − 1.

Questo è un risultato veramente notevole che è caratteristico di \mathbb{C}. Infatti, tale soluzione nei numeri reali non esiste.

[modifica] Proposizione (non esistenza di una relazione d'ordine in \mathbb{C})

\mathbb{C} non è un insieme ordinato, dunque non esiste una relazione d'ordine \leq tale che

a\leq b \Rightarrow a+c \leq b+c,\ \ \forall c \in \mathbb{C}

a\leq b \Rightarrow ac \leq bc,\ \ \forall c \in \mathbb{C},c\geq 0
[modifica] Dimostrazione

Se per assurdo esistesse una tale relazione, si avrebbe

aa=a^2\geq 0,\ \forall c=a \geq 0 \in \mathbb{C}.

dunque non esiste in \mathbb{C} una radice negativa e questo è falso, perché i2 = − 1 < 0.

\Box


[modifica] Parte reale e parte immaginaria

Consideriamo un numero complesso x + iy. Si definisce

  • x=:\Re (x+iy) parte reale
  • y=:\Im (x+iy) parte immaginaria
  • x-iy =: \overline{x+iy} coniugato di x + iy

[modifica] Proposizione (algebra dei coniugati)

  1. \overline{a+b}=\overline{a}+\overline{b}
  2. \overline{ab}=\overline{a}\overline{b}
  3. a+\overline{a}=2\Re(a)
  4. a-\overline{a}=2i\Im(a)
  5. a\overline{a}=\left(\Re (a)\right)^2+\left(\Im (a)\right)^2
  6. \overline{\overline{a}}=a
[modifica] Dimostrazione

Queste dimostrazioni sono una semplice verifica. Dimostriamo la terza solo per esempio.
a+\overline{a}=(x+iy) + (x-iy) = 2x = 2\Re(a)

[modifica] Valore assoluto di un numero complesso

Definiamo il valore assoluto di a \in \mathbb{C}

|a|=\sqrt{a\overline{a}}=\sqrt{(\Re a)^2+(\Im a)^2}=|\overline{a}| \in \mathbb{R}

Tenete presente che a\overline{a}=(\Re a)^2+(\Im a)^2 \in \mathbb{R} e (\Re a)^2+(\Im a)^2 \geq 0. Questo ne garantisce l'esistenza.

[modifica] Proposizione (proprietà del valore assoluto)

(i) |a|\geq 0
(ii) | ab | = | a | | b |
(iii) |\Re a|,|\Im a| \leq |a|
(iv) |a+b|\leq |a|+|b|
(v) ||a|-|b|| \leq |a-b|
(vi) |a|=0 \Rightarrow a=0

[modifica] Dimostrazione

Stock post message.svg Nota:
dimostrarlo brevemente

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