Numeri complessi

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Avanzamento lezione: 100% al 19-05-2013.

Numeri complessi
	Tipo: appunti
	Materia: Analisi matematica
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Insieme dei numeri complessi

L'insieme dei numeri complessi, denotato con $\mathbb{C}$, è un anello così composto:

$\mathbb{C}:=(\mathbb{R}\times \mathbb{R}, +, \cdot)$

cioè è un insieme composto da coppie di numeri reali con le operazioni di somma e prodotto (di coppie di numeri reali). Queste operazioni sono definite nel modo seguente, $\forall (x,y),(x',y') \in \mathbb{C}$ e $x,x',y,y' \in \mathbb{R}$:

$\begin{array}{l} (x,y)+(x',y') = (x+x',y+y') \\ (x,y)\cdot(x',y') = (xx'-yy',xy'+yx')\end{array}$

In definitiva, $(\mathbb{C},+,\cdot)$ è un campo. Omettiamo la dimostrazione perché è una semplice verifica, ma vi invitiamo a farla come esercizio.

$\mathbb{R}$ come sottocampo di $\mathbb{C}$

Poniamo $\mathbb{R}^*:=\{(x,0),\ x \in \mathbb{R}\} \subset \mathbb{C}$. È immediato verificare che $\mathbb{R}^*$ è un sottocampo di $\mathbb{C}$, ma la cosa interessante è che $\mathbb{R}^*$ è isomorfo a $\mathbb{R}$, dunque in particolare esiste una funzione $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}^*$ tale che $f(x)=(x,0)$. Quindi $\mathbb{C}$ è un'"estensione" dei numeri reali e identifichiamo $\mathbb{R}^*$ con $\mathbb{R}$ e dunque,

$(x,0)=x,\ \forall x \in \mathbb{R}$.

Unità immaginaria

Definiamo l' unità immaginaria il numero complesso

$i:= (0,1)$.

Con la definizione che abbiamo dato di $i$, possiamo scrivere ogni numero complesso in forma algebrica, cioè

$(x,y)=x+i y$

Infatti:

$(x,y)=(x,0)+(0,y)=(x,0)+(0,1)(y,0)=x+ iy$

L'unità immaginaria ha una proprietà veramente notevole, che è una di quelle proprietà che caratterizzano i numeri complessi: $i$ è una radice dell'equazione

$x^2+1=0$.

Infatti:

$i^2=(0,1)(0,1)=(-1,0)=-1$.

Questo è un risultato veramente notevole che è caratteristico di $\mathbb{C}$. Infatti, tale soluzione nei numeri reali non esiste.

Proposizione (non esistenza di una relazione d'ordine in $\mathbb{C}$)

$\mathbb{C}$ non è un insieme ordinato, dunque non esiste una relazione d'ordine $\leq$ tale che

$a\leq b \Rightarrow a+c \leq b+c,\ \ \forall c \in \mathbb{C}$

$a\leq b \Rightarrow ac \leq bc,\ \ \forall c \in \mathbb{C},c\geq 0$

Dimostrazione

Se per assurdo esistesse una tale relazione, si avrebbe

$aa=a^2\geq 0,\ \forall c=a \geq 0 \in \mathbb{C}$.

dunque non esiste in $\mathbb{C}$ una radice negativa e questo è falso, perché $i^2 = -1 < 0$.

$\Box$

Parte reale e parte immaginaria

Consideriamo un numero complesso $x+iy$. Si definisce

• $x=:\Re (x+iy)$ parte reale
• $y=:\Im (x+iy)$ parte immaginaria
• $x-iy =: \overline{x+iy}$ coniugato di $x+iy$

Proposizione (algebra dei coniugati)

1. $\overline{a+b}=\overline{a}+\overline{b}$
2. $\overline{ab}=\overline{a}\overline{b}$
3. $a+\overline{a}=2\Re(a)$
4. $a-\overline{a}=2i\Im(a)$
5. $a\overline{a}=\left(\Re (a)\right)^2+\left(\Im (a)\right)^2$
6. $\overline{\overline{a}}=a$

Dimostrazione

Queste dimostrazioni sono una semplice verifica. Dimostriamo la terza solo per esempio.
$a+\overline{a}=(x+iy) + (x-iy) = 2x = 2\Re(a)$

Valore assoluto di un numero complesso

Definiamo il valore assoluto di $a \in \mathbb{C}$

$|a|=\sqrt{a\overline{a}}=\sqrt{(\Re a)^2+(\Im a)^2}=|\overline{a}| \in \mathbb{R}$

Tenete presente che $a\overline{a}=(\Re a)^2+(\Im a)^2 \in \mathbb{R}$ e $(\Re a)^2+(\Im a)^2 \geq 0$. Questo ne garantisce l'esistenza.

Proposizione (proprietà del valore assoluto)

(i) $|a|\geq 0$
(ii) $|ab|=|a||b|$
(iii) $|\Re a|,|\Im a| \leq |a|$
(iv) $|a+b|\leq |a|+|b|$
(v) $||a|-|b|| \leq |a-b|$
(vi) $|a|=0 \Rightarrow a=0$

Dimostrazione

Nota:
dimostrarlo brevemente