Alcuni importanti teoremi sulle successioni

Da Wikiversità, l'università aperta.

Avanzamento lezione: 100% al 23-11-2009.

Indice

1 Corollario
- 1.1 Dimostrazione
2 Teorema (dei due carabinieri o del confronto)
- 2.1 Dimostrazione
3 Teorema (del confronto per successioni divergenti)
- 3.1 Dimostrazione
4 Successioni limitate
- 4.1 Teorema (limitatezza delle successioni convergenti)
  - 4.1.1 Dimostrazione
- 4.2 Proposizione
  - 4.2.1 Dimostrazione
5 Successioni di Cauchy
- 5.1 Proposizione
  - 5.1.1 Dimostrazione
- 5.2 Teorema (completezza sequenziale di )
  - 5.2.1 Dimostrazione

Materia:Analisi matematica > Alcuni importanti teoremi sulle successioni

[modifica] Corollario

Siano $(a_n),\ (b_n)$ due successioni convergenti a $λ$ e $μ$ . Allora:

(i) se $\lambda < \mu \Rightarrow \ \exists m \in \mathbb{N}\ :\ a_n<b_n,\ \forall n>m$

(ii) se $a_n<b_n,\ \forall n \in \mathbb{N}\Rightarrow \ \lambda \leq \mu$

[modifica] Dimostrazione

Dimostriamo la prima implicazione. Per l'algebra delle successioni si ha che $b_n - a_n \to \mu - \lambda > 0$ e per il Teorema della permanenza del segno anche $b_n - a_n > 0,\ \forall n>m$ e dunque $a n < b n$ .

Proviamo ora la seconda affermazione ragionando per assurdo. Se $λ > μ$ avremmo, per il punto (i), che esiste un $m \in \mathbb{N}$ tale che $a_n > b_n,\ \forall n\in \mathbb{N}, n> m$ ma questo contraddice l'ipotesi e l'asserto è così provato.

$\Box$

[modifica] Teorema (dei due carabinieri o del confronto)

Siano $(a_n),\ (b_n),\ (c_n)$ successioni tali che

$a_n\leq c_n \leq b_n,\ \ \forall n\in \mathbb{N}$ .

Supponiamo inoltre che $(a n)$ e $(b n)$ convergano a $\lambda \in \mathbb{R}$ . Allora anche

$\lim_{n \to \infty} c_n = \lambda$

Il Teorema si chiama anche "dei due carabinieri" non a caso; infatti intuitivamente è come se il limite di $c n$ rimanga intrappolato tra i due "carabinieri" $λ$ , cioè un qualcosa di tipo

$\begin{matrix} a_n & & c_n & & b_n \\ \downarrow & & & & \downarrow \\ \lambda & \Rightarrow & \downarrow & \Leftarrow & \lambda\\ & & \lambda & &\end{matrix}$

.

[modifica] Dimostrazione

Per ipotesi $(a n)$ e $(b n)$ convergono a $λ$ , dunque

$\forall \varepsilon >0\ \exists m' \in \mathbb{N}\ :\ \lambda - \varepsilon < a_n < \lambda +\varepsilon,\ \forall n \in \mathbb{N},n>m'$
$\forall \varepsilon >0\ \exists m'' \in \mathbb{N}\ :\ \lambda - \varepsilon < b_n < \lambda +\varepsilon,\ \forall n \in \mathbb{N},n>m''$

Se $n > max{m', m''}$ , si ha che $\lambda - \varepsilon < a_n \leq b_n < \lambda +\varepsilon$ , ma sappiamo che in mezzo alle due successioni ci sono i $c n$ e vale per tutti gli $n \in \mathbb{N}$ .
Dunque $\lambda - \varepsilon < a_n \leq c_ \leq b_n < \lambda +\varepsilon$ e posto $m = max{m', m''}$ si ha

$\forall \varepsilon >0\ \exists m \in \mathbb{N}\ :\ \lambda - \varepsilon < c_n < \lambda +\varepsilon,\ \forall n \in \mathbb{N},n>m$

e dunque converge.

$\Box$

[modifica] Teorema (del confronto per successioni divergenti)

Siano $(a_n),\ (b_n)$ due successioni e $(a_n)\to +\infty,\ \forall n\in \mathbb{N}$ .
Se $a_n \leq b_n,\ \forall n\in \mathbb{N}$ si ha che anche $(b_n)\to +\infty$ cioè $(a n)$ , che va all'infinito ed è minore di $(b n)$ , "spinge" anche $(b n)$ all'infinito insieme ad essa.

Analgamente l'inverso, cioè se $a_n \leq b_n,\ \forall n\in \mathbb{N}$ e $(b n)$ diverge negativamente, spinge $(a n)$ a $-\infty$ .

[modifica] Dimostrazione

$\lim_{n\to \infty}a_n=+\infty \Leftrightarrow \forall k \in \mathbb{R} \exists m \in \mathbb{N}\ :\ a_n > k,\ \forall n \in \mathbb{N},n>m$ .
Se $b_n \geq a_n$ per tutti gli $n\in \mathbb{N}$ e $a n > k$ sempre per tutti gli $n$ , certamente anche ogni $b n$ è maggiore di $k$ e dunque anch'essa tende a $+ \infty$ .

In modo identico si prova la seconda affermazione.

$\Box$

[modifica] Successioni limitate

Sia $(a n)$ una successione reale. Diciamo che $(a n)$ è

superiormente limitata se $\exists m \in \mathbb{R}\ :\ a_n \leq m,\ \forall n\in \mathbb{N}$
inferiormente limitata se $\exists m \in \mathbb{R}\ :\ m \leq a_n,\ \forall n\in \mathbb{N}$

Se la successione è sia inferiormente che superiormente limitata, essa si dice semplicemente limitata e notiamo che $(a n)$ è limitata se e solo se $|a_n| \leq m,\ \forall n\in \mathbb{N}$ , cioè se e solo se $-m \leq a_n \leq m\ \forall n \in \mathbb{N}$ .

[modifica] Teorema (limitatezza delle successioni convergenti)

Ogni successione convergente è limitata.

[modifica] Dimostrazione

Prendiamo in esame una generica successione $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ e supponiamo che essa risulti convergente, ciò implica che $a_n\to A\in\mathbb{R}$ quando $n\to +\infty$ , o scritto in modo più formale:

$\forall \varepsilon>0$ , $\exist N(\varepsilon)\in\mathbb{N}$ tale che $\forall n>N$ si ha $|a_n-A|<\varepsilon$

.

Detto questo:

$|a_n|=|a_n-A+A|\leq|a_n-A|+|A|$ (disuguaglianza triangolare)

.

Per ipotesi possiamo trovare $N\in\mathbb{R}$ tale che $|a_n-A|<\varepsilon, \forall n>N$ pertanto:

$|a_n|<\varepsilon+|A|, \forall n>N$

possiamo concludere che

$|a_n|<M\,\!$ dove $M:=\max\{|a_1|,|a_2|,...,|a_N|,\varepsilon+|A|\}$

$\Box$

Chiamiamo infinitesima una successione $(a n)$ convergente a $0$ , cioè se $\lim_{n\to \infty}(a_n)=0$ .

[modifica] Proposizione

Se $(a n)$ è infinitesima e $(b n)$ è limitata, $(a n b n)$ infinitesima.

In altri termini, il prodotto tra una successione infinitesima e un'altra limitata genere una successione infinitesima.

[modifica] Dimostrazione

Siccome $(b n)$ è limitata per ipotesi, esiste un $m\ :\ |b_n|\leq m,\ \forall n\in \mathbb{N}$ . Dunque $0\leq |a_n b_n| \leq m|a_n|,\ \forall n \in \mathbb{N}$ . Ma $(a n)$ tende a $0$ e dunque anche $m | a n |$ tende a $0$ .

La successione $| a n b n |$ è intrappolata tra due successioni che tendono a $0$ dunque, per il Teorema dei carabinieri, $|a_n b_n|\to 0$ e quindi è infinitesima.

$\Box$

[modifica] Successioni di Cauchy

Sia $(a n)$ una successione reale. $(a n)$ si dice che è una successione di Cauchy se

$\forall \varepsilon >0\ \exists p \in \mathbb{N}\ :\ |a_n-a_m|<\varepsilon,\ \forall n,m\in \mathbb{N},\ n,m>p$

In altri termini, una successione si dice di Cauchy se i suoi termini sono vicini tra loro quanto tanto si vuole, purché gli indici siano abbastanza grandi.

[modifica] Proposizione

Una successione è convergente se e solo se è una successione di Cauchy.

[modifica] Dimostrazione

Sia $(a n)$ convergente a $λ$ . Dunque, per la definizione di limite di una successione, si ha (anche per ripetere la definizione di limite fino a che non ce la ricordiamo più del nostro nome... :D )

$\forall \varepsilon >0\ \exists p \in \mathbb{N}\ :\ |a_n - \lambda|<\varepsilon,\ \forall n\in \mathbb{N}, n>p$ (*)

Ora un trucchetto: se è vera la (*), allora varrà anche se al posto di $\varepsilon$ prendo $\frac{\varepsilon}{2}$ , tanto $\varepsilon$ è un numero del tutto arbitrario. Allora consideriamo ora

$\forall \varepsilon >0\ \exists p \in \mathbb{N}\ :\ |a_n - \lambda|<\frac{\varepsilon}{2},\ \forall n\in \mathbb{N}, n>p$ (**)

Dunque

$|a_n-a_m|\leq |a_n - \lambda|+|\lambda -a_m| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon$

ed infine

$|a_n-a_m| < \varepsilon$

e questo prova la proposizione.

$\Box$

[modifica] Teorema (completezza sequenziale di $\mathbb{R}$ )

Se $(a n)$ è una successione reale di Cauchy, allora è convergente.

[modifica] Dimostrazione

Dobbiamo provare che esiste $\lim_{n \to \infty}a_n=\lambda \in \mathbb{R}$ . Consideriamo una successione di Cauchy $(a n)$ . Abbiamo che $\forall \varepsilon >0 \exists p \in \mathbb{N}\ :\ |a_n-a_m|< \frac{\varepsilon}{2},\ \forall n \in \mathbb{N},n>p$ .

Fissiamo ora un numero $k \in \mathbb{R}$ e otteniamo $|a_n-a_m|<k,\ \forall n,m\in \mathbb{N},\ n,m>p$ . Allora

$|a_n| \leq |a_n-a_{p+1}|+|a_{p+1}|< k + |a_{p+1}|$

e dunque, per ogni $n$ si ha che

$|a_n| \leq \max \{|a_1|,\dots,|a_p|,k+|a_{p+1}|\}$

dunque $(a n)$ è limitata e per il Teorema di Bolzano-Weierstrass, esiste una sottosuccessione di $(a n)$ $(a_{k_n})$ convergente a $\lambda \in \mathbb{R}$ . Dunque $\forall \varepsilon >0 \exists p_1 \ :\ |a_{k_n}-\lambda|<\frac{\varepsilon}{2},\ \forall n\in \mathbb{N},n>p_1$ . Poniamo poi $P = max{p, p 1}$ e se $n > P$ (e dunque $k n > P$ perché $k_n \geq P$ ) abbiamo

$|a_n-\lambda|\leq |a_n-a_{k_n}|+|a_{k_n}-\lambda|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2} =\varepsilon$

Dunque $(a n)$ converge a $λ$ .

$\Box$

Alcuni importanti teoremi sulle successioni

Da Wikiversità, l'università aperta.

Indice

[modifica] Corollario

[modifica] Dimostrazione

[modifica] Teorema (dei due carabinieri o del confronto)

[modifica] Dimostrazione

[modifica] Teorema (del confronto per successioni divergenti)

[modifica] Dimostrazione

[modifica] Successioni limitate

[modifica] Teorema (limitatezza delle successioni convergenti)

[modifica] Dimostrazione

[modifica] Proposizione

[modifica] Dimostrazione

[modifica] Successioni di Cauchy

[modifica] Proposizione

[modifica] Dimostrazione

[modifica] Teorema (completezza sequenziale di $\mathbb{R}$ )

[modifica] Dimostrazione

Visite

Strumenti personali

Navigazione

Comunità

Ricerca

Strumenti

Alcuni importanti teoremi sulle successioni

Da Wikiversità, l'università aperta.

Indice

[modifica] Corollario

[modifica] Dimostrazione

[modifica] Teorema (dei due carabinieri o del confronto)

[modifica] Dimostrazione

[modifica] Teorema (del confronto per successioni divergenti)

[modifica] Dimostrazione

[modifica] Successioni limitate

[modifica] Teorema (limitatezza delle successioni convergenti)

[modifica] Dimostrazione

[modifica] Proposizione

[modifica] Dimostrazione

[modifica] Successioni di Cauchy

[modifica] Proposizione

[modifica] Dimostrazione

[modifica] Teorema (completezza sequenziale di )

[modifica] Dimostrazione

Visite

Strumenti personali

Navigazione

Comunità

Ricerca

Strumenti

[modifica] Teorema (completezza sequenziale di $\mathbb{R}$ )