Esistenza del limite di una successione reale

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Avanzamento lezione: 75% al 26-11-2009.

Indice

1 Successioni monotone
- 1.1 Teorema (esistenza del limite di una successione monotona)
  - 1.1.1 Dimostrazione
- 1.2 Teorema (di Bolzano-Weiestrass)
  - 1.2.1 Dimostrazione

Materia:Analisi matematica > Esistenza del limite di una successione reale

[modifica] Successioni monotone

Sia $(a n)$ una successione reale tale che

$a_n \leq a_{n+1},\ \ \forall n \in \mathbb{N}$

Una successione siffatta si dice monotona crescente.
Se $a n < a n + 1$ si dice monotona strettamente crescente

Analogamente si definiscono gli altri tipi di successioni:

$a_n \geq a_{n+1}$ si dice monotona decrescente;
$a n > a n + 1$ si dice monotona strettamente decrescente;

Tali successioni useremo a volte denotarle con il simbolo $(a_n)\uparrow$ o $(a_n)\downarrow$ per indicare una successione monotona crescente e decrescente.

Vediamo ora un importante teorema.

[modifica] Teorema (esistenza del limite di una successione monotona)

Sia $(a n)$ una successione monotona. Allora $(a n)$ ammette limite e

(i) $a_n \uparrow \Rightarrow \lim_{n \to \infty} a_n = \sup_{n \in \mathbb{N}} a_n$

(ii) $a_n \downarrow \Rightarrow \lim_{n \to \infty} a_n = \inf_{n \in \mathbb{N}} a_n$

[modifica] Dimostrazione

(i)1) Consideriamo il caso in cui la successione sia limitata superiormente. Allora, per la completezza di $\mathbb{R}$ , sappiamo che esiste $\sup_{n\in \mathbb{N}} a_n \in \mathbb{R}$ . Sia $\lambda=\sup_{n\in \mathbb{N}} a_n$ .

Allora

$a_n \leq \lambda,\ \forall n \in \mathbb{N}$
$\Downarrow$

$\forall \varepsilon >0, a_n < \lambda + \varepsilon,\ \forall n \in \mathbb{N}$
$\Downarrow$

$\forall \varepsilon >0, a_n - \lambda < \varepsilon,\ \forall n \in \mathbb{N}$

Inoltre, per la proprietà dell'estremo superiore,

$\forall \varepsilon >0, \exists m \in \mathbb{N}\ : a_m + \varepsilon > \lambda,\ \forall n \in \mathbb{N},n>m$
$\Downarrow$

$\forall \varepsilon >0, \exists m \in \mathbb{N}\ : a_m - \lambda > -\varepsilon ,\ \forall n \in \mathbb{N},n>m$

e siccome la successione è crescente, $a_n \geq a_m,\ \forall n > m$ e quindi $\forall \varepsilon >0, \exists m \in \mathbb{N}\ : a_n - \lambda \geq a_m - \lambda > - \varepsilon,\ \forall n \in \mathbb{N},n>m$ .
Dunque abbiamo verificato che:

$\forall \varepsilon >0, \exists m \in \mathbb{N}\ : |a_n - \lambda| < \varepsilon ,\ \forall n \in \mathbb{N},n>m$

Ossia la tesi.

2)Supponiamo ora che la successione non sia limitata, cioè $\sup_{n \in \mathbb{N}}a_n = +\infty$ . Analogamente a prima, abbiamo che $\forall k \in \mathbb{R}\ \exists m \in \mathbb{N}\ :\ a_m > k$ .

Sempre per la monotonia di $a n$ , sappiamo che $a_n \geq a_m,\ \forall n>m$ anche qui abbiamo ancora più rafforzata l'espressione precedente. Dunque

$\forall k \in \mathbb{R}\ \exists m \in \mathbb{N}\ :\ a_n > k,\ \forall n\in \mathbb{N},n>m$

Dunque la successione è divergente e

$\lim_{n\to \infty}a_n=\sup_{n\in \mathbb{N}}a_n = +\infty$

(ii) Dimostrazione del tutto analoga, omessa per brevità.

$\Box$

Esempio (il numero di Nepero)

(esercizio su nepero)

[modifica] Teorema (di Bolzano-Weiestrass)

Si può estrarre una sottosuccessione convergente da ogni successione limitata.

[modifica] Dimostrazione

Nota:
problemi con la dimostrazione poco chiara

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[modifica] Teorema (esistenza del limite di una successione monotona)

[modifica] Dimostrazione

[modifica] Teorema (di Bolzano-Weiestrass)

[modifica] Dimostrazione

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