Utente:Funzioni di correlazione/Sandbox555

```text $z=32-6j$

$a=32,b=-6$

$r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}$

$r=\sqrt{32^2+(-6{)}^2}$

$r=\sqrt{1024+36}$

$r=\sqrt{1060}=2\sqrt{265}$

$\theta =\arg (z)=\arctan \left(\frac{b}{a}\right)$

$\theta =\arctan \left(\frac{-6}{32}\right)=\arctan (-\frac{3}{16})$

$\theta \approx -0.18535\text{rad}$

$\theta \approx -10.62^{\circ }$

$z=r(\cos \theta +j\sin \theta )$

$z=2\sqrt{265}(\cos (\arctan (-\frac{3}{16}))+j\sin (\arctan (-\frac{3}{16})))$

$z=2\sqrt{265}(\cos (-0.18535)+j\sin (-0.18535))$ ```

Numeri complessi

I numeri complessi sono un'estensione dei numeri reali che permette, tra le altre cose, di risolvere equazioni come $x^2+1=0$, che non possiedono soluzioni nell'insieme dei numeri reali.

L'insieme dei numeri complessi viene indicato con $ℂ$. Ogni numero complesso può essere scritto nella forma algebrica

$z=a+bi$

dove $a$ e $b$ sono numeri reali e $i$ è l'unità immaginaria, definita dalla relazione

$i^2=-1$

Da questa definizione segue anche

$i=\sqrt{-1}$

in un'estensione dei numeri reali.

Origine dei numeri complessi

Consideriamo l'equazione

$x^2+1=0$

Portando $1$ al secondo membro si ottiene

$x^2=-1$

Nei numeri reali non esiste alcun numero il cui quadrato sia $-1$. Si introduce quindi il numero $i$ tale che

$i^2=-1$

L'equazione diventa quindi

$x^2=i^2$

e le sue soluzioni sono

$x=\pm i$

L'introduzione dell'unità immaginaria permette di estendere l'insieme dei numeri reali a quello dei numeri complessi.

Forma algebrica

Un numero complesso è generalmente scritto come

$z=a+bi$

Il numero reale $a$ è detto parte reale di $z$ e si indica con

$\mathrm{Re}(z)=a$

Il numero reale $b$ è detto coefficiente della parte immaginaria e si indica con

$\mathrm{Im}(z)=b$

Per esempio, dato

$z=3+2i$

si ha

$\mathrm{Re}(z)=3$

e

$\mathrm{Im}(z)=2$

È importante distinguere il coefficiente reale $b$ dalla parte immaginaria $bi$.

Numeri reali e numeri immaginari

Un numero complesso con parte immaginaria nulla è un numero reale:

$z=a+0i=a$

Un numero complesso con parte reale nulla è detto immaginario puro:

$z=bi$

Per esempio,

$5=5+0i$

è reale, mentre

$4i=0+4i$

è immaginario puro.

I numeri reali costituiscono quindi un sottoinsieme dei numeri complessi:

$ℝ\subset ℂ$

Uguaglianza di due numeri complessi

Due numeri complessi

$z_1=a+bi$

e

$z_2=c+di$

sono uguali se e solo se coincidono sia le parti reali sia i coefficienti delle parti immaginarie:

$z_1=z_2⟺a=c\wedge b=d$

Per esempio,

$3+2i=3+2i$

mentre

$3+2i\ne 3+4i$

perché

$2\ne 4$.

Somma

Siano

$z_1=a+bi$

e

$z_2=c+di$.

La loro somma si ottiene sommando separatamente le parti reali e i coefficienti delle parti immaginarie:

$z_1+z_2=(a+c)+(b+d)i$

Per esempio,

$(3+2i)+(4+5i)$

diventa

$3+4+2i+5i$

quindi

$(3+2i)+(4+5i)=7+7i$

Sottrazione

La sottrazione segue lo stesso principio:

$z_1-z_2=(a-c)+(b-d)i$

Per esempio,

$(5+4i)-(2+i)$

diventa

$5-2+(4-1)i$

e quindi

$(5+4i)-(2+i)=3+3i$

Moltiplicazione

Per moltiplicare due numeri complessi si applica la proprietà distributiva:

$(a+bi)(c+di)$

$=ac+adi+bci+bd{i}^2$

Poiché

$i^2=-1$

si ottiene

$(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci-bd$

Raccogliendo le parti reali e immaginarie:

$(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$

Per esempio,

$(2+3i)(4+i)$

$=8+2i+12i+3i^2$

$=8+14i-3$

$=5+14i$

Potenze dell'unità immaginaria

Dalla definizione

$i^2=-1$

si ottiene

$i^3=i^{2}i=-i$

e

$i^4=i^2{i}^2=(-1)(-1)=1$

Le potenze di $i$ si ripetono quindi con periodo quattro:

$i^1=i$

$i^2=-1$

$i^3=-i$

$i^4=1$

$i^5=i$

In generale,

$i^{4k}=1$

$i^{4k+1}=i$

$i^{4k+2}=-1$

$i^{4k+3}=-i$

dove $k$ è un intero.

Piano complesso

Un numero complesso può essere rappresentato geometricamente mediante un piano cartesiano chiamato piano complesso o piano di Argand-Gauss.

La coordinata orizzontale rappresenta la parte reale:

$x=\mathrm{Re}(z)$

La coordinata verticale rappresenta il coefficiente della parte immaginaria:

$y=\mathrm{Im}(z)$

Pertanto il numero

$z=a+bi$

corrisponde al punto

$(a,b)$

del piano.

Per esempio, il numero

$z=3+2i$

è rappresentato dal punto

$(3,2)$

La rappresentazione geometrica può essere schematizzata nel modo seguente:

$\begin{array}{ccccccc}& & & \mathrm{Im}& & & \\ & & & \uparrow & & & \\ & & & |& & & \\ & & & |& \bullet z=(3,2)& & \\ & & & |& & & \\ & & & +----------------\to & \mathrm{Re}& & \end{array}$

In forma concettuale:

$\text{asse reale}⟷\mathrm{Re}(z)$

$\text{asse immaginario}⟷\mathrm{Im}(z)$

Vettore associato

Il punto $(a,b)$ può essere interpretato anche come il vettore

$\overrightarrow{z}=(a,b)$

che parte dall'origine e termina nel punto corrispondente al numero complesso.

Per esempio,

$z=3+2i$

corrisponde al vettore

$\overrightarrow{z}=(3,2)$

La lunghezza del vettore rappresenta il modulo del numero complesso.

Modulo

Dato

$z=a+bi$

il modulo di $z$ è definito come

$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$

La formula deriva dal teorema di Pitagora applicato al triangolo formato dalle coordinate $a$ e $b$.

Per esempio, per

$z=3+4i$

si ha

$|z|=\sqrt{3^2+4^2}$

$|z|=\sqrt{9+16}$

$|z|=\sqrt{25}$

$|z|=5$

Il modulo rappresenta quindi la distanza del punto $(a,b)$ dall'origine del piano complesso.

Argomento

Per un numero complesso non nullo

$z=a+bi$

si può definire un angolo $\theta$, chiamato argomento di $z$, come l'angolo formato dal vettore associato a $z$ con il semiasse reale positivo.

Quando $a\ne 0$, l'angolo soddisfa la relazione

$\tan \theta =\frac{b}{a}$

In generale è preferibile determinare l'angolo tenendo conto del quadrante in cui si trova il punto.

Si può indicare un argomento di $z$ con

$\arg (z)=\theta$

Poiché una rotazione completa corrisponde a

$2\pi$

l'argomento non è unico:

$\theta +2k\pi$

rappresenta lo stesso numero complesso per ogni $k\in \mathbb{Z}$.

Un particolare argomento scelto in un intervallo convenzionale viene detto argomento principale.

Forma trigonometrica

Dalla geometria del piano complesso si ha

$a=r\cos \theta$

e

$b=r\sin \theta$

dove

$r=|z|$.

Sostituendo queste relazioni nella forma algebrica

$z=a+bi$

si ottiene

$z=r\cos \theta +ir\sin \theta$

Raccogliendo $r$:

$z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$

Questa è la forma trigonometrica di un numero complesso.

Il procedimento di conversione è quindi

$z=a+bi$

$r=\sqrt{a^2+b^2}$

$\theta =\arg (z)$

$a=r\cos \theta$

$b=r\sin \theta$

$z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$

Formula di Eulero

La formula di Eulero stabilisce che

$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$

Pertanto la forma trigonometrica può essere scritta in forma esponenziale:

$z=r{e}^{i\theta }$

Questa rappresentazione è particolarmente utile per moltiplicazioni, divisioni, potenze e radici.

Dimostrazione della formula di Eulero tramite serie

Le serie di Taylor dell'esponenziale, del seno e del coseno sono

$e^x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}$

$\cos x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}$

$\sin x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

Ponendo $x=i\theta$ nella serie dell'esponenziale:

$e^{i\theta }=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(i\theta {)}^n}{n!}$

Separando i termini pari e dispari:

$e^{i\theta }=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(i\theta {)}^{2n}}{(2n)!}+\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(i\theta {)}^{2n+1}}{(2n+1)!}$

Poiché

$i^{2n}=(-1{)}^n$

e

$i^{2n+1}=i(-1{)}^n$

si ottiene

$e^{i\theta }=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{{\theta }^{2n}}{(2n)!}+i\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{{\theta }^{2n+1}}{(2n+1)!}$

Quindi

$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$

Identità di Eulero

Ponendo

$\theta =\pi$

nella formula di Eulero:

$e^{i\pi }=\cos \pi +i\sin \pi$

Poiché

$\cos \pi =-1$

e

$\sin \pi =0$

si ottiene

$e^{i\pi }=-1$

e quindi la forma più nota dell'identità di Eulero è

$e^{i\pi }+1=0$

Coniugato complesso

Dato

$z=a+bi$

il coniugato complesso di $z$ è

$\bar{z}=a-bi$

Il coniugato si ottiene quindi cambiando il segno della parte immaginaria.

Per esempio,

$z=3+2i$

ha coniugato

$\bar{z}=3-2i$

Nel piano complesso, $z$ e $\bar{z}$ sono simmetrici rispetto all'asse reale.

Una proprietà fondamentale è

$z\bar{z}=|z{|}^2$

Infatti,

$(a+bi)(a-bi)$

$=a^2-abi+abi-b^2{i}^2$

$=a^2-b^2(-1)$

$=a^2+b^2$

e poiché

$|z{|}^2=a^2+b^2$

si ha

$z\bar{z}=|z{|}^2$.

Divisione

Consideriamo

$\frac{a+bi}{c+di}$

con

$c+di\ne 0$.

Per eliminare la parte immaginaria dal denominatore si moltiplicano numeratore e denominatore per il coniugato del denominatore:

$\frac{a+bi}{c+di}\cdot \frac{c-di}{c-di}$

Si ottiene

$\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}$

Il denominatore diventa

$(c+di)(c-di)=c^2+d^2$

mentre il numeratore diventa

$(a+bi)(c-di)=ac-adi+bci-bd{i}^2$

Poiché

$i^2=-1$

si ottiene

$(a+bi)(c-di)=(ac+bd)+(bc-ad)i$

Pertanto

$\frac{a+bi}{c+di}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}i$

Inverso di un numero complesso

L'inverso moltiplicativo di un numero complesso non nullo $z=a+bi$ è

$\frac{1}{z}$

Moltiplicando numeratore e denominatore per il coniugato:

$\frac{1}{a+bi}=\frac{a-bi}{(a+bi)(a-bi)}$

e quindi

$\frac{1}{a+bi}=\frac{a-bi}{a^2+b^2}$

ovvero

$\frac{1}{a+bi}=\frac{a}{a^2+b^2}-\frac{b}{a^2+b^2}i$

Moltiplicazione in forma polare

Siano

$z_1=r_1{e}^{i{\theta }_1}$

e

$z_2=r_2{e}^{i{\theta }_2}$.

Il prodotto è

$z_1{z}_2=r_1{r}_2{e}^{i({\theta }_1+{\theta }_2)}$

Quindi, moltiplicando due numeri complessi:

$|z_1{z}_2|=|z_1||z_2|$

e

$\arg (z_1{z}_2)=\arg (z_1)+\arg (z_2)$

Geometricamente, la moltiplicazione complessa combina una dilatazione dei moduli e una rotazione degli argomenti.

Divisione in forma polare

Per

$z_1=r_1{e}^{i{\theta }_1}$

e

$z_2=r_2{e}^{i{\theta }_2}\ne 0$

si ha

$\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}{e}^{i({\theta }_1-{\theta }_2)}$

Pertanto

$\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|}$

e

$\arg \left(\frac{z_1}{z_2}\right)=\arg (z_1)-\arg (z_2)$

Potenze: formula di De Moivre

Se

$z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$

allora, per ogni intero $n$,

$z^n=r^n(\cos (n\theta )+i\sin (n\theta ))$

Questa relazione è nota come formula di De Moivre.

In forma esponenziale:

$(r{e}^{i\theta }{)}^n=r^n{e}^{in\theta }$

Per esempio,

$(2e^{i\pi /3}{)}^3$

diventa

$2^3{e}^{i\pi }$

quindi

$(2e^{i\pi /3}{)}^3=8(-1)=-8$

Radici n-esime

Per trovare le radici $n$-esime di un numero complesso non nullo

$z=r{e}^{i\theta }$

si cerca un numero

$w=\rho e^{i\phi }$

tale che

$w^n=z$

Da

$(\rho e^{i\phi }{)}^n={\rho }^n{e}^{in\phi }$

segue

${\rho }^n=r$

e quindi

$\rho =\sqrt[n]{r}$

Gli argomenti devono soddisfare

$n\phi =\theta +2k\pi$

da cui

$\phi =\frac{\theta +2k\pi }{n}$

Le $n$ radici sono quindi

$w_k=\sqrt[n]{r}{e}^{i(\theta +2k\pi )/n}$

con

$k=0,1,\dots ,n-1$.

Le radici $n$-esime di un numero complesso sono disposte sul piano complesso come vertici di un poligono regolare.

Esempio di calcolo di una radice

Consideriamo

$z=1$

e cerchiamo le radici cubiche:

$w^3=1$

Scriviamo

$1=e^{i2k\pi }$

Le soluzioni sono

$w_k=e^{i2k\pi /3}$

con

$k=0,1,2$.

Per $k=0$:

$w_0=e^0=1$

Per $k=1$:

$w_1=e^{i2\pi /3}=\cos \frac{2\pi }{3}+i\sin \frac{2\pi }{3}$

quindi

$w_1=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$

Per $k=2$:

$w_2=e^{i4\pi /3}$

e quindi

$w_2=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$

Le tre radici cubiche di $1$ sono pertanto

$1,-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$

Interpretazione geometrica delle operazioni

Nel piano complesso, l'addizione ha un'interpretazione analoga alla somma di vettori.

Se

$z_1=a+bi$

e

$z_2=c+di$

allora

$z_1+z_2=(a+c)+(b+d)i$

corrisponde alla somma dei vettori

$(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$

La moltiplicazione ha invece una caratteristica geometrica differente: se

$z=r{e}^{i\theta }$

allora moltiplicare un altro numero complesso per $z$ significa moltiplicarne il modulo per $r$ e aggiungere l'angolo $\theta$.

In particolare, moltiplicare per

$i=e^{i\pi /2}$

significa ruotare un vettore di

$\frac{\pi }{2}$

radianti, cioè di $90^{\circ }$.

Per esempio,

$1\cdot i=i$

$i\cdot i=-1$

$-1\cdot i=-i$

$-i\cdot i=1$

Questa sequenza rappresenta quattro rotazioni successive di $90^{\circ }$.

Cerchio unitario

I numeri complessi di modulo unitario soddisfano

$|z|=1$

Se

$z=x+iy$

allora

$|z|=\sqrt{x^2+y^2}$

e quindi

$x^2+y^2=1$

che è l'equazione del cerchio unitario nel piano complesso.

Ogni punto del cerchio unitario può essere scritto come

$z=\cos \theta +i\sin \theta$

oppure, usando la formula di Eulero,

$z=e^{i\theta }$

Relazione fondamentale tra le rappresentazioni

Un numero complesso può quindi essere rappresentato in tre forme equivalenti.

Forma algebrica:

$z=a+bi$

Forma trigonometrica:

$z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$

Forma esponenziale:

$z=r{e}^{i\theta }$

Il passaggio dalla forma algebrica alla forma trigonometrica avviene mediante

$r=\sqrt{a^2+b^2}$

e

$\theta =\arg (z)$

mentre il passaggio inverso è dato da

$a=r\cos \theta$

$b=r\sin \theta$

e quindi

$z=a+bi$

$=r\cos \theta +ir\sin \theta$

$=r(\cos \theta +i\sin \theta )$

$=r{e}^{i\theta }$

Riassunto delle principali formule

Definizione dell'unità immaginaria:

$i^2=-1$

Forma algebrica:

$z=a+bi$

Parte reale:

$\mathrm{Re}(z)=a$

Parte immaginaria:

$\mathrm{Im}(z)=b$

Somma:

$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$

Prodotto:

$(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$

Coniugato:

$\bar{z}=a-bi$

Modulo:

$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$

Prodotto con il coniugato:

$z\bar{z}=|z{|}^2$

Forma trigonometrica:

$z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$

Formula di Eulero:

$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$

Forma esponenziale:

$z=r{e}^{i\theta }$

Formula di De Moivre:

$(r{e}^{i\theta }{)}^n=r^n{e}^{in\theta }$

Radici $n$-esime:

$w_k=\sqrt[n]{r}{e}^{i(\theta +2k\pi )/n}$

con

$k=0,1,\dots ,n-1$.

Identità di Eulero:

$e^{i\pi }+1=0$

Diagramma concettuale

Il percorso di calcolo di un numero complesso può essere riassunto come

$a+bi⟶(r,\theta )⟶r(\cos \theta +i\sin \theta )⟶r{e}^{i\theta }$

dove

$r=\sqrt{a^2+b^2}$

e

$\theta =\arg (a+bi)$.

Il percorso inverso è

$r{e}^{i\theta }⟶r(\cos \theta +i\sin \theta )⟶r\cos \theta +ir\sin \theta ⟶a+bi$

con

$a=r\cos \theta$

e

$b=r\sin \theta$.

Significato geometrico

Il significato geometrico dei numeri complessi può essere riassunto associando a ogni

$z=a+bi$

il punto

$(a,b)$

del piano complesso.

La distanza dall'origine è

$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$

mentre l'angolo rispetto all'asse reale positivo è

$\theta =\arg (z)$.

La rappresentazione polare è quindi determinata dalla coppia

$(r,\theta )$

e quella cartesiana dalla coppia

$(a,b)$.

Le due descrizioni sono equivalenti attraverso

$a=r\cos \theta$

e

$b=r\sin \theta$.

I numeri complessi permettono così di combinare una descrizione algebrica mediante $a+bi$ con una descrizione geometrica mediante punti e vettori nel piano e una descrizione trigonometrica o esponenziale mediante modulo e argomento. ```

Ho mantenuto tutto in **un unico blocco copiabile**, senza `\boxed{}` e con le espressioni matematiche racchiuse nei tag `$\mathrm{...}$`.

|programma=

• Lezione 1^: Note discorsive sul sonar
• Lezione 2^: Sonar per sottomarini classe Toti (1960)
• Sonar per sottomarini class

}}