Sforzo normale centrato

Nota:
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Il primo tra i casi di sollecitazione che andiamo ad affrontare è quello della trave sottoposta a sforzo normale centrato, cioè soggetto ad uno stato tensionale sulle basi equivalente a due forze uguali ed opposte sulle due basi di direzione $z$ e applicate nel baricentro della sezione. La soluzione che verrà trovata, per il postulato di Saint Venant, sarà valida anche per tutte le condizioni di carico che hanno risultante uguale alle forze citate.

Nella trattazione si suppone che le forze $N$ abbiano versi positivi, e che quindi tendino ad allungare il corpo: tale sollecitazione è detta trazione. In caso contrario la sollecitazione si chiama compressione e la soluzione è la stessa a meno del segno.

Saint Venant, con il metodo seminverso, ipotizzò una distribuzione di tensioni lungo tutto il corpo per poi verificarne la compatibilità con la situazione in analisi per mezzo delle equazioni alla base del problema: la soluzione trovata in questo modo, se rispettosa delle equazioni citate, per il teorema di unicità dell'equilibrio elastico, è effettivamente la soluzione del problema.

La soluzione del problema consiste nel trovare le componenti dei tensori di tensione e deformazione e del vettore spostamento di ogni punto del corpo

Analisi della tensione

In particolare Saint Venant ipotizzò che in ogni punto del corpo fosse:

${\begin{cases}\tau _{zx}=\tau _{zy}=0\\\sigma _{z}=k\neq 0\end{cases}}$ essendo $k$ una costante da determinarsi in seguito.

In ogni punto del corpo, cioè, agisce una tensione $\sigma _{z}$ costante. La trave, dunque, è soggetta ad uno stato di tensione monoassiale descritto dal seguente tensore di tensione:

$[T]={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&k\end{bmatrix}}$

Dai legami esistenti tra le caratteristiche della sollecitazione e le tensioni si ottiene:

${\begin{cases}V_{x}(z)=\int _{A}\tau _{zx}dA=0\\V_{y}(z)=\int _{A}\tau _{zy}dA=0\\N(z)=\int _{A}\sigma _{z}dA=kA\to k={\frac {N}{A}}=\sigma _{z}\\M_{x}(z)=\int _{A}\sigma _{z}ydA=0\\M_{y}(z)=\int _{A}\sigma _{z}xdA=0\\M_{t}(z)=\int _{A}(\tau _{zy}x-\tau _{zx}y)dA=0\end{cases}}$

In virtù della costanza della tensione nei punti della trave, la tensione massima si sviluppa in tutta la trave con valore

$\sigma _{z}={\frac {N}{A}}$

Nota:
Inserire cerchio di Mohr e spiegazione

Analisi della deformazione

Una volta note le componenti di tensione, si procede a valutare le componenti di deformazione attraverso le equazioni costitutive:

${\begin{cases}\epsilon _{x}=-{\frac {1}{E}}\nu \sigma _{z}=-\nu {\frac {N}{EA}}\\\epsilon _{y}=-{\frac {1}{E}}\nu \sigma _{z}=-\nu {\frac {N}{EA}}\\\epsilon _{z}={\frac {1}{E}}\sigma _{z}={\frac {N}{EA}}\\\gamma _{xy}=0\\\gamma _{xz}={\frac {1}{G}}\tau _{xz}=0\\\gamma _{yz}={\frac {1}{G}}\tau _{yz}=0\end{cases}}$

Il coefficiente di dilatazione cubica, quindi, vale: $\Theta ={\frac {N}{EA}}(1-2\nu )$

La variazione complessiva di volume della trave vale: $\Delta V=\int _{C}\Theta dV={\frac {Nl}{E}}(1-2\nu )$

Analisi degli spostamenti

Per valutare gli spostamenti subiti da ogni punto del corpo si considerano le equazioni che legano tali quantità agli spostamenti. Supponendo di inserire un vincolo in corrispondenza della base di sinistra per evitare le traslazioni e le rotazioni rigide della trave (e studiare dunque la deformazione pura), si ottiene:

${\begin{cases}\epsilon _{x}={\frac {\delta v_{x}}{\delta x}}=-\nu {\frac {N}{EA}}\\\epsilon _{xy}={\frac {1}{2}}\gamma _{xy}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\delta v_{x}}{\delta y}}+{\frac {\delta v_{y}}{\delta x}}\right)=0\\\epsilon _{xz}={\frac {1}{2}}\gamma _{xz}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\delta v_{x}}{\delta z}}+{\frac {\delta v_{z}}{\delta x}}\right)=0\\\epsilon _{y}={\frac {\delta v_{y}}{\delta y}}=-\nu {\frac {N}{EA}}\\\epsilon _{yz}={\frac {1}{2}}\gamma _{yz}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\delta v_{y}}{\delta z}}+{\frac {\delta v_{z}}{\delta y}}\right)=0\\\epsilon _{z}={\frac {\delta v_{z}}{\delta z}}={\frac {N}{EA}}\end{cases}}\to {\begin{cases}v_{x}=-\int \nu {\frac {N}{EA}}dx=-\nu {\frac {Nx}{EA}}\\v_{y}=-\int \nu {\frac {N}{EA}}dy=-\nu {\frac {Ny}{EA}}\\v_{z}=\int {\frac {N}{EA}}dz={\frac {Nz}{EA}}\end{cases}}$

La variazione di lunghezza dell'intera trave è data da: $\Delta l=v_{z}(l)=\int _{l}\epsilon _{z}dz={\frac {Nl}{EA}}$

Rigidezza estensionale

L'energia di deformazione associata a questo problema è la seguente:

$\Phi ={\frac {1}{2}}\int _{C}\sum _{i,k=1}^{3}\sigma _{ik}\epsilon _{ik}dV={\frac {1}{2}}\int _{C}\sigma _{z}\epsilon _{z}dV={\frac {1}{2}}\int _{C}{\frac {N}{A}}{\frac {N}{EA}}dV={\frac {1}{2}}{\frac {N^{2}}{EA^{2}}}V={\frac {1}{2}}{\frac {N^{2}}{EA^{2}}}\int _{C}dV={\frac {1}{2}}{\frac {N^{2}l}{EA}}$

essendo $V=Al$ il volume dell'intera trave

Considerando il teorema di Lamè-Clapeyron, considerando cioè che l'energia di deformazione elastica totale è pari alla metà del lavoro compiuto dalla forza esterna $N$ sullo spostamento $\Delta l=Nl/EA$, si può scrivere:

$N\Delta l={\frac {N^{2}l}{EA}}\to {\frac {\Delta l}{l}}={\frac {N}{EA}}$

Ma la quantità al primo membro rappresenta un allungamento, ed in particolare l'allungamento in direzione longitudinale della trave. Per cui può scriversi

$\epsilon _{z}={\frac {N}{EA}}$

Tale relazione, d'altronde, era già stata trovata in precedenza, ma giova prendere dimestichezza con simili ragionamenti iniziando con le situazioni più semplici.

In particolare il termine $K_{N}=EA$ viene definito rigidezza estensionale della trave. Essa dipende sia dalle caratteristiche del materiale di cui è costituita la trave (tramite $E$), sia dalla sezione della stessa (tramite la sua area $A$). Fisicamente rappresenta la forza necessaria a produrre un allungamento unitario delle fibre della trave , ed è una misura della capacità che ha la trave di opporsi ad un allungamento . In pratica, ad un valore maggiore di $K_{N}$ corrisponde una maggiore capacità del corpo di mantenere la sua lunghezza originaria, dal momento che è necessaria una forza maggiore per determinare il medesimo allungamento.

Può, dunque, scriversi:

$\epsilon _{z}={\frac {N}{K_{N}}}$

Validità della soluzione

La soluzione trovata è effettivamente la soluzione del problema elastico della trave sollecitata da uno stato tensionale alle basi caratterizzato da un valore costante di $\sigma _{z}=N/A$, mentre per tutti gli altri casi è valida solo in virtù del postulato di Saint Venant.