Sforzo normale centrato

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lezione
Sforzo normale centrato
Tipo di risorsa Tipo: lezione
Materia di appartenenza Materia: Scienza delle costruzioni

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Il primo tra i casi di sollecitazione che andiamo ad affrontare è quello della trave sottoposta a sforzo normale centrato, cioè soggetto ad uno stato tensionale sulle basi equivalente a due forze uguali ed opposte sulle due basi di direzione e applicate nel baricentro della sezione. La soluzione che verrà trovata, per il postulato di Saint Venant, sarà valida anche per tutte le condizioni di carico che hanno risultante uguale alle forze citate.

Nella trattazione si suppone che le forze abbiano versi positivi, e che quindi tendino ad allungare il corpo: tale sollecitazione è detta trazione. In caso contrario la sollecitazione si chiama compressione e la soluzione è la stessa a meno del segno.

Saint Venant, con il metodo seminverso, ipotizzò una distribuzione di tensioni lungo tutto il corpo per poi verificarne la compatibilità con la situazione in analisi per mezzo delle equazioni alla base del problema: la soluzione trovata in questo modo, se rispettosa delle equazioni citate, per il teorema di unicità dell'equilibrio elastico, è effettivamente la soluzione del problema.

La soluzione del problema consiste nel trovare le componenti dei tensori di tensione e deformazione e del vettore spostamento di ogni punto del corpo[1]

Analisi della tensione[modifica]

In particolare Saint Venant ipotizzò che in ogni punto del corpo fosse:

[2] essendo una costante da determinarsi in seguito.

In ogni punto del corpo, cioè, agisce una tensione costante. La trave, dunque, è soggetta ad uno stato di tensione monoassiale descritto dal seguente tensore di tensione:

Dai legami esistenti tra le caratteristiche della sollecitazione e le tensioni si ottiene[3]:

In virtù della costanza della tensione nei punti della trave, la tensione massima si sviluppa in tutta la trave con valore

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Analisi della deformazione[modifica]

Una volta note le componenti di tensione, si procede a valutare le componenti di deformazione attraverso le equazioni costitutive:

Il coefficiente di dilatazione cubica, quindi, vale:

La variazione complessiva di volume della trave vale: [4]

Analisi degli spostamenti[modifica]

Per valutare gli spostamenti subiti da ogni punto del corpo si considerano le equazioni che legano tali quantità agli spostamenti. Supponendo di inserire un vincolo in corrispondenza della base di sinistra per evitare le traslazioni e le rotazioni rigide della trave (e studiare dunque la deformazione pura), si ottiene:

[5]

La variazione di lunghezza dell'intera trave è data da:

Rigidezza estensionale[modifica]

L'energia di deformazione associata a questo problema è la seguente:

essendo il volume dell'intera trave

Considerando il teorema di Lamè-Clapeyron, considerando cioè che l'energia di deformazione elastica totale è pari alla metà del lavoro compiuto dalla forza esterna sullo spostamento , si può scrivere:

Ma la quantità al primo membro rappresenta un allungamento, ed in particolare l'allungamento in direzione longitudinale della trave. Per cui può scriversi

Tale relazione, d'altronde, era già stata trovata in precedenza, ma giova prendere dimestichezza con simili ragionamenti iniziando con le situazioni più semplici.

In particolare il termine viene definito rigidezza estensionale della trave. Essa dipende sia dalle caratteristiche del materiale di cui è costituita la trave (tramite ), sia dalla sezione della stessa (tramite la sua area ). Fisicamente rappresenta la forza necessaria a produrre un allungamento unitario delle fibre della trave [6], ed è una misura della capacità che ha la trave di opporsi ad un allungamento [7]. In pratica, ad un valore maggiore di corrisponde una maggiore capacità del corpo di mantenere la sua lunghezza originaria, dal momento che è necessaria una forza maggiore per determinare il medesimo allungamento.

Può, dunque, scriversi:

Validità della soluzione[modifica]

La soluzione trovata è effettivamente la soluzione del problema elastico della trave sollecitata da uno stato tensionale alle basi caratterizzato da un valore costante di , mentre per tutti gli altri casi è valida solo in virtù del postulato di Saint Venant.

Note[modifica]

  1. Si devono ricercare, cioè, i campi associati al sistema. Questa è la soluzione del problema elastico
  2. Oltre, naturalmente, alle condizioni per cui , che sono alla base di tutto il metodo risolutivo di Saint Venant
  3. Le relazioni citate si sono trovate in precedenza
  4. Per effetto delle limitazioni date al coefficiente di Poisson, per cui esso non può essere maggiore di 0,5 la quantità è sicuramente positiva. Per cui con si ha un aumento del volume della trave e viceversa nel caso opposto
  5. L'ultimo passaggio matematico è reso possibile dal fatto che è costante in ogni punto del corpo. Si fa notare anche che queste equazioni, in cui le costanti di integrazione sono state poste uguali a zero, rispettano anche le condizioni , poiché sono nulle tutte le derivate presenti nelle loro espressioni
  6. Se allora
  7. Ugualmente si ha nel caso della compressione con l'accorciamento. In particolare, per le ipotesi fatte sul materiale, il modulo è costante e dunque la rigidezza in trazione è uguale alla rigidezza in compressione e sono costanti per qualsiasi