Le caratteristiche della sollecitazione

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Dato il solido trave ipotizzato da Saint Venant, si ipotizzi di effettuare un taglio ideale in una generica sezione retta dello stesso. In seguito a questa operazione, naturalmente, le due porzioni di trave prima in equilibrio non sono più in questo stato. Perché venga ristabilito l'equilibrio è necessario applicare nella sezione in cui è stato effettuato il taglio una forza $F$ tale da essere uguale ed opposta alla somma delle azioni agenti su ognuna delle due porzioni di trave . Si pensi, poi, di spostare la forza $F$ nel baricentro della sezione, aggiungendovi naturalmente il momento di trasporto $M$ necessario affinché l'equilibrio non venga mutato. Le componenti di queste sollecitazioni lungo gli assi $x,y,z$ del sistema di riferimento sono definite caratteristiche della sollecitazione, e sono definite nel modo seguente:

• $V_{x}$: Taglio lungo $x$: componente di $F$ secondo l'asse $x$;
• $V_{y}$: Taglio lungo $y$: componente di $F$ secondo l'asse $y$;
• $N$: Sforzo normale: componente di $F$ secondo l'asse $z$;
• $M_{x}$: Momento flettente rispetto a $x$: componente di $M$ secondo l'asse $x$;
• $M_{y}$: Momento flettente rispetto a $y$: componente di $M$ secondo l'asse $y$;
• $M_{t}$: Momento torcente: componente di $M$ secondo l'asse $z$.

Le caratteristiche della sollecitazione sono definite positive quando spirano secondo la direzione positiva dell'asse di riferimento se sono pensate come azioni sulla porzione di trave che sta dalla parte negativa di $z$ rispetto alla sezione tagliata, e viceversa nell'altro caso. In pratica, per come abbiamo considerato il sistema di riferimento in precedenza, le caratteristiche della sollecitazione sono positive se nella porzione di trave a sinistra seguono le direzioni positive degli assi e nella porzione di destra quelle negative.

Le caratteristiche della sollecitazione hanno un significato fisico ben preciso: esse rappresentano le componenti lungo gli assi del sistema di riferimento delle azioni che le due porzioni di trave si oppongono mutuamente. In pratica, prima del taglio le due porzioni di trave si sostengono a vicenda, cioè si scambiano delle sollecitazioni tali da rispettare globalmente l'equilibrio. Queste azioni, che relativamente all'intera sezione sono rappresentate appunto dalle caratteristiche della sollecitazione, a livello di areola elementare sono rappresentate dalle tensioni. Esiste, dunque, una stretta correlazione tra le caratteristiche della sollecitazione e le tensioni, e cioè le caratteristiche della sollecitazione sono le risultanti delle azioni elementari prodotte dalle tensioni. In termini matematici:

${\begin{cases}V_{x}=\int _{A}\tau _{zx}dA\\V_{y}=\int _{A}\tau _{zy}dA\\N=\int _{A}\sigma _{z}dA\\M_{x}=\int _{A}\sigma _{z}ydA\\M_{y}=\int _{A}\sigma _{z}xdA\\M_{t}=\int _{A}(\tau _{zy}x-\tau _{zx}y)dA\end{cases}}$

Postulato di Saint Venant

Nota:
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Saint Venant studiò il problema della trave sollecitata da una serie di forze, giungendo a risolverlo per ognuno dei casi. Per ognuno di essi, tuttavia, non specificò la distribuzione che le tensioni avevano sulle basi, ma ne esplicitò solo le risultanti. Questa condizione, tuttavia, non inficia la generalità della soluzione trovata: lo stesso Saint Venant introdusse un postulato, largamente accettato e poi anche dimostrato, universalmente noto come postulato di Saint Venant, secondo cui la sostituzione di una generica distribuzione di tensioni con la sua risultante ha effetto solo nelle regioni molto vicine alla sezione in cui è stata effettuata la sostituzione, e al contrario non ha effetto in sezioni sufficientemente distanti.

La regione di trave interessata dagli effetti di questa sostituzione ha una dimensione nella direzione longitudinale che può essere approssimativamente misurata nella massima dimensione della sezione. Ma, avendo ipotizzato che tale dimensione è trascurabile rispetto allo sviluppo longitudinale della trave, l'errore derivante dal considerare agente sulle due basi la risultante delle tensioni invece della reale distribuzione delle stesse è irrilevante.

In virtù di questo postulato, dunque, la soluzione della trave sottoposta ad una particolare distribuzione di carichi è equivalente a quella della trave sottoposta a qualsiasi distribuzione di carichi aventi uguali risultanti. Le soluzioni della trave caricata da ciascuna delle caratteristiche della sollecitazione agli estremi, dunque, copre tutti i casi di travi caricate in modo del tutto generico. Quest'ultima affermazione è facilmente deducibile se si tiene in conto il principio di sovrapposizione degli effetti.

Le relazioni tra le caratteristiche della sollecitazione

Nota:
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Si consideri ad esempio il tratto di trave a sinistra della sezione in cui è stato effettuato il taglio e di cui si voglia determinare le caratteristiche della sollecitazione, e che si trova ad una distanza $z$ dalla sezione estrema a sinistra (in cui è posta l'origine del sistema di riferimento). Per l'ipotesi di Saint Venant lungo la superficie laterale della trave non agisce alcun carico, mentre sulle basi agiscono da una parte $T_{x}(0);T_{y}(0);N(0);M_{x}(0);M_{y}(0);M_{z}(0)$, che sono le azioni note, e sull'altra le caratteristiche della sollecitazione ignote $T_{x}(z);T_{y}(z);N(z);M_{x}(z);M_{y}(z);M_{z}(z)$. Perché sia rispettato l'equilibrio dell'intera trave, ognuna delle sue parti deve rispettare a sua volta l'equilibrio, per cui devono essere rispettate le condizioni $R=0;\;M=0$, che espresse in termini di componenti rispetto agli assi del sistema di riferimento forniscono le seguenti relazioni:

${\begin{cases}N(0)=N(z)\\V_{x}(0)=V_{x}(z)\\V_{y}(0)=V_{y}(z)\\M_{t}(0)=M_{t}(z)\\M_{x}(0)+V_{y}(z)z=M_{x}(z)\\M_{y}(0)-V_{x}(z)z=M_{y}(z)\end{cases}}$

Come si può notare tutte le caratteristiche della sollecitazione si mantengono costanti nel passare da una sezione all'altra ad eccezione dei momenti flettenti. Questi ultimi, infatti, variano in funzione del taglio agente agli estremi e della lunghezza del tratto di trave considerato. Si rileva, inoltre, che in presenza del taglio è inevitabile l'esistenza del momento flettente relativo a meno di una sezione (quella iniziale per $M_{i}(0)=0$, in generale la sezione a distanza pari a $z=M_{i}(0)/V_{j}(z)$).

Nelle relazioni presenti tra momenti flettenti e tagli può rivelarsi molto interessante scoprire la relazione esistente considerando un tratto infinitesimo di trave. In questo caso, infatti, per l'equilibrio alla rotazione del tratto di trave considerato dovrà essere:

$M_{x}+V_{y}dz=M_{x}+dM_{x}\to V_{y}={\frac {dM_{x}}{dz}}$

E ugualmente per l'altra direzione:

$M_{y}+V_{x}dz=M_{y}+dM_{y}\to V_{x}={\frac {dM_{y}}{dz}}$

Il taglio, cioè, è pari alla derivata prima del momento flettente secondo la direzione longitudinale.

Giova osservare che, per quanto queste relazioni siano state trovate nel caso in cui si consideri la porzione di trave dall'inizio del suo sviluppo, esse sono valide anche considerando un tratto di trave compreso tra due generiche sezioni intermedie. Anche in questo caso, infatti, deve essere rispettato l'equilibrio allo stesso modo, ed è perciò possibile determinare le caratteristiche della sollecitazione della generica sezione a partire dalle caratteristiche della sollecitazione di un'altra generica sezione.