Omotopie e Gruppo Fondamentale

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In questa lezione cominceremo a discutere il primo invariante algebrico per spazi topologici: in altre parole definiremo un oggetto algebrico (in questo caso un gruppo) che non cambierà per isomorfismo. Questo ci permetterà di avere uno strumento molto potente per capire al volo quali spazi non possono essere isomorfi in senso topologico: se infatti i loro gruppi fondamentali saranno diversi non potrà esistere nessun isomorfismo tra questi spazi.

Per definire il gruppo fondamentale è necessario introdurre un apparato teorico che si basa sulla definizione di omotopia.

Cammini

Un cammino formalizza la nozione intuitiva di "collegamento" continua tra due punti. Si dà infatti la seguente

Definizione

Dato uno spazio topologico $(X,\tau )$ e due punti $x,y\in X$, un cammino da $x$ a $y$ è una funzione continua $\gamma :{\mathopen {[}}0,1{\mathclose {]}}\to (X,\tau )$ tale che $\gamma (0)=x\wedge \gamma (1)=y$

Se il cammino $\gamma$ è tale che $x=y$ diremo che è un cammino chiuso e lo chiameremo un laccio attorno al punto $x$.

Ora che abbiamo la definizione di cammino ci chiediamo in modo del tutto naturale quali cammini sono "topologicamente" non distinguibili, cioè quali cammini rappresentano lo stesso oggetto a meno di trasformazioni ammissibili nella nostra topologia.