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Materia:Calcolo 2

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Calcolo 2

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Questa materia fa parte dei seguenti corsi:
Corso di Ingegneria energetica
Corso di Ingegneria industriale

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Dipartimento: Scienze matematiche, fisiche e naturali

Presentazione
Questa materia non ha ancora una introduzione.
Programma

Parte di analisi 1:

  • Le funzioni: in approfondito, dominio, codominio, segno, asintoti, simmetrie, concavità, punti strutturali, applicazioni dei teoremi:Lagrange etc... e disegni di funzioni
  • Le Derivate: dal rapporto incrementale alle regole di derivazione.
  • Differenziali:
  • Integrali: studio delle integrazioni, convergenze, Riemann, e tutti i metodi risolutivi di integrali indefiniti e definiti

Parte di analisi 2:

Verifiche d'apprendimento

È possibile, e fortemente consigliato, integrare le lezioni e valutare la propria preparazione attraverso queste esercitazioni. È possibile verificare la conoscenza di un argomento specifico o dell'intero programma.

Questa materia al momento non prevede verifiche d'apprendimento.

Risorse

La Biblioteca del Dipartimento di Scienze MFN contiene risorse utili per approfondire. Se vuoi, aggiungi tu altre risorse.



Ancora da ampliare (le lezioni non sono ancora finite)


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Funzioni:

  • Calcolo del Dominio

Il dominio è l’insieme delle soluzioni in cui è definita e soddisfatta la funzione; esso può essere aperto chiuso o dato da intersezioni di piccoli insiemi; viene scritto con la forma [] quando comprende gli estremi e () quando gli estremi non sono contenuti nel dominio; da notare che i valori + o - infiniti non possono essere compresi e quindi saranno seguiti o anticipati dalle ().

  • Studio del Segno:

Bisogna trovare i valori dell’incognita per cui diventi positiva e quelli per cui diventi negativa.

  • Intersezione con gli assi:

Trovare il valore di x affinché la funzione sia 0.

  • Calcolo dei limiti

Una volta stabilito il dominio e le particolari caratteristiche che può avere la funzione, si studia il comportamento della funzione sulla frontiera del dominio. In particolare si andrà a calcolare i limiti per x che tende a

    • -infinito se il dominio è illimitato inferiormente
    • +infinito se il dominio è illimitato superiormente
    • Nel punto di accumulazione C se c è punto di accumulazione del dominio ma non è un suo punto interno.

In alcuni casi sarà necessario limitarsi a calcolare solo il limite destro o il limite sinistro.

  • Continuità:
  • Discontinuità:

Si dividono in tre specie:

    • Discontinuità eliminabile:
    • Discontinuità di prima specie:

La loro differenza si chiama salto

    • Discontinuità di seconda specie:

O viceversa

  • Simmetrie:

Per verificare le simmetrie: Se: f(-x)=-f(x)è dispari allora è simmetrica rispetto all’origine. Se: f(-x)=f(x)è pari allora è simmetrica rispetto alle ascisse.

  • Calcolo degli Asintoti:
    • asintoto verticale:

E’ la retta di equazione x = c se:

    • asintoto orizzontale:

E’ la retta di equazione y = l se:

    • asintoto obliquo:

E’ la retta di equazione y = mx + q se si verificano nell'ordine le seguenti proprietà:

Da notare che potranno esserci:

    • da zero a infiniti asintoti verticali,
    • da zero a due asintoti orizzontali,
    • da zero a due asintoti obliqui.

Si devono inoltre precisare alcune caratteristiche specifiche:

    • le funzioni goniometriche non presentano alcun asintoto,
    • una funzione che ammette asintoti orizzontali, non ammette quelli obliqui e viceversa, mentre non c'è alcuna restrizione per gli asintoti verticali,
    • Se la funzione è definita su tutto il campo dei reali, non esiste alcun asintoto verticale
  • Calcolo dei punti di Massimo e Minimo:

Un punto è massimo relativo se la derivata della funzione si annulla nel punto e la derivata seconda è negativa: f(x0) < 0 Un punto è di minimo relativo se la derivata prima della funzione si annulla in x0 e la derivata seconda è positiva: f(x0) > 0 Si ha un punto di massimo assoluto se in x0 assume un valore maggiore o uguale a quello che assume negli altri punti del dominio, ovvero:

Viceversa f ha un minimo assoluto in un punto x0 del dominio se:

  • Verifico i punti a Tangente Verticale; Flesso; Stazionario; Angolosi; Cuspide;

Se il segno della derivata è costante in un intorno di x allora x è punto a tangente orizzontale. Se f(x) = 0 allora x è un punto di flesso. Se un punto è di massimo relativo e se la derivata prima della funzione si annulla il punto è chiamato punto stazionario e la derivata seconda è negativa. Un punto si dice angoloso se esistono entrambe le derivate destra e sinistra, ma sono diverse. Si chiama punto di cuspide se la funzione è derivabile in quel punto e si ha:

  • Convessità:

Se f'(x) è derivabile in x:

    • se f(x) > 0 allora f è convessa in x,
    • se f(x) < 0 allora f è concava in x,
  • Grafico:

Si raccolgono graficamente tutte le informazioni ottenute negli 11 passaggi precedenti. Estendere f nei punti estremi del dominio: Si deve stabilire la continuità di punti estremi del dominio. Espressione polinomiale che approssima la funzione:

Integrali:

Per Integrali indefiniti: Posso: avere un integrale diretto oppure utilizzare uno dei metodi:

  • metodo di integrazione per parti
  • metodo del completamento del quadrato
  • metodo degli integrali abeliani

Per integrali definiti:

  • Calcolo della Convergenza: Integrabile secondo Riman

Se il limite esiste ed è finito allora è integrale proprio e convergente; se il limite esiste ma è infinito allora è integrale improprio divergente

    • Teorema fondamentale per il calcolo del limite:

f:[a,b]→R G(x)è la primitiva allora: ___

Funzioni 2:

  • Dominio
  • Restrizione della funzione:

La restrizione va fatta bloccando uno degli assi al valore 0 e vedendo il comportamento di tale funzione e avere una misurazione grafica recisa graficamente La restrizione può essere fatta anche trasformando un incognita in un fascio di rette; calcolando infine il limite: se dipende dal coefficiente angolare allora esso non esiste

  • Calcolo dei limiti:

Si può utilizzare il metodo del confronto oppure il metodo delle coordinate polari: ovviamente se il limte dipende dal’angolo non esiste).

  • Calcolo delle derivate:

Le derivate vanno calcolate seguendo un criterio: Derivate parziali (ovvero di una sola incognita per volta) chiamata, essa per esistere devono tendere allo stesso valore sia in un intorno destro che in quello sinistro. Derivate direzionali: alle incognite vengono sostituiti dei vettori u1 e u2 (solitamente la base canonica)

  • Studio del segno:

Del tutto uguale al calcolo della funzione ad una variabile.

  • Studio della continuità

Si calcola il differenziale nel punto; se esiste allora la funzione è continua in quel punto.

  • Gradiente:

∇f(x_0,y_0 )=(f_x (x_0,y_0 );f_y (x_0,y_0 ) ) Si chiama divergenza se è prodotto di una funzione per uno scalare.

  • Derivate direzionali:

(f(x,y)-f(x_0,y_0 ))/h=f(〖hu〗_1,〖hu〗_2 )/h

  • Calcolo dei massimi e dei minimi:

Se f è derivabile i massimi e i minimi vanno cercati calcolando il punto critico: esso si trova ponendo il gradiente (vettore delle derivate parziali) uguale a zero e studiando il segno della funzione: se il segno varia in un intervallo saranno punti di sella al contrario sono massimi o minimi. Calcolo il determinante della matrice hessiana:

    • Se è > 0 e concorde con il segno della derivata parziale seconda rispetto alla x allora il valore è un punto di minimo relativo.
    • Se è > 0 e di segno discorde con quello della derivata seconda parziale rispetto alla x allora il valore è punto di massimo relativo.
    • se è < 0 allora il punto è di sella.
    • Se è 0 non si può discutere.

Punti di massimo e di minimo vincolati:

    • Metodo dei moltiplicatori di Lagrange
    • Metodo di parametrizzazione della frontiera

Integrali doppi e tripli:

La regola del calcolo dell’integrale doppio è semplice e basata sulla regola di integrazioni successive: ∬_[a,b][c,d]▒f(x,y)dxdy=∫_c^d▒(∫_a^b▒f(x,y)dx)dy Integrali definiti in dominio: ∬_D▒f(x,y) Serve soprattutto per calcolare l’area del dominio Per esprimere il dominio posso utilizzare anche le coordinate polari che servono solo per domini con tratti di circonferenze.  

Equazioni differenziali:

Differenziale: lim┬((h,k)→(0,0) )⁡〖(f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0 )-f_x (x_0,y_0 )h-f_y (x_0,y_0 )k)/√(h^2 〖+k〗^2 )〗=0