Materia:Calcolo 2

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Calcolo 2

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Questa materia fa parte dei seguenti corsi:
Corso di Ingegneria energetica
Corso di Ingegneria industriale

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Presentazione
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Programma

Parte di analisi 1:

  • Le funzioni: in approfondito, dominio, codominio, segno, asintoti, simmetrie, concavità, punti strutturali, applicazioni dei teoremi:Lagrange etc... e disegni di funzioni
  • Le Derivate: dal rapporto incrementale alle regole di derivazione.
  • Differenziali:
  • Integrali: studio delle integrazioni, convergenze, Riemann, e tutti i metodi risolutivi di integrali indefiniti e definiti

Parte di analisi 2:

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Verifiche d'apprendimento

È possibile, e fortemente consigliato, integrare le lezioni e valutare la propria preparazione attraverso queste esercitazioni. È possibile verificare la conoscenza di un argomento specifico o dell'intero programma.

Questa materia al momento non prevede verifiche d'apprendimento.

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Risorse

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Ancora da ampliare (le lezioni non sono ancora finite)


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Funzioni:

  • Calcolo del Dominio

Il dominio è l’insieme delle soluzioni in cui è definita e soddisfatta la funzione; esso può essere aperto chiuso o dato da intersezioni di piccoli insiemi; viene scritto con la forma [] quando comprende gli estremi e () quando gli estremi non sono contenuti nel dominio; da notare che i valori + o - infiniti non possono essere compresi e quindi saranno seguiti o anticipati dalle ().

  • Studio del Segno:

Bisogna trovare i valori dell’incognita per cui diventi positiva e quelli per cui diventi negativa.

  • Intersezione con gli assi:

Trovare il valore di x affinché la funzione sia 0.

  • Calcolo dei limiti

Una volta stabilito il dominio e le particolari caratteristiche che può avere la funzione, si studia il comportamento della funzione sulla frontiera del dominio. In particolare si andrà a calcolare i limiti per x che tende a

    • -infinito se il dominio è illimitato inferiormente
    • +infinito se il dominio è illimitato superiormente
    • Nel punto di accumulazione C se c è punto di accumulazione del dominio ma non è un suo punto interno.

In alcuni casi sarà necessario limitarsi a calcolare solo il limite destro o il limite sinistro.

  • Continuità:
  • Discontinuità:

Si dividono in tre specie:

    • Discontinuità eliminabile:
    • Discontinuità di prima specie:

La loro differenza si chiama salto

    • Discontinuità di seconda specie:

O viceversa

  • Simmetrie:

Per verificare le simmetrie: Se: f(-x)=-f(x)è dispari allora è simmetrica rispetto all’origine. Se: f(-x)=f(x)è pari allora è simmetrica rispetto alle ascisse.

  • Calcolo degli Asintoti:
    • asintoto verticale:

E’ la retta di equazione x = c se:

    • asintoto orizzontale:

E’ la retta di equazione y = l se:

    • asintoto obliquo:

E’ la retta di equazione y = mx + q se si verificano nell'ordine le seguenti proprietà:

Da notare che potranno esserci:

    • da zero a infiniti asintoti verticali,
    • da zero a due asintoti orizzontali,
    • da zero a due asintoti obliqui.

Si devono inoltre precisare alcune caratteristiche specifiche:

    • le funzioni goniometriche non presentano alcun asintoto,
    • una funzione che ammette asintoti orizzontali, non ammette quelli obliqui e viceversa, mentre non c'è alcuna restrizione per gli asintoti verticali,
    • Se la funzione è definita su tutto il campo dei reali, non esiste alcun asintoto verticale
  • Calcolo dei punti di Massimo e Minimo:

Un punto è massimo relativo se la derivata della funzione si annulla nel punto e la derivata seconda è negativa: f(x0) < 0 Un punto è di minimo relativo se la derivata prima della funzione si annulla in x0 e la derivata seconda è positiva: f(x0) > 0 Si ha un punto di massimo assoluto se in x0 assume un valore maggiore o uguale a quello che assume negli altri punti del dominio, ovvero:

Viceversa f ha un minimo assoluto in un punto x0 del dominio se:

  • Verifico i punti a Tangente Verticale; Flesso; Stazionario; Angolosi; Cuspide;

Se il segno della derivata è costante in un intorno di x allora x è punto a tangente orizzontale. Se f(x) = 0 allora x è un punto di flesso. Se un punto è di massimo relativo e se la derivata prima della funzione si annulla il punto è chiamato punto stazionario e la derivata seconda è negativa. Un punto si dice angoloso se esistono entrambe le derivate destra e sinistra, ma sono diverse. Si chiama punto di cuspide se la funzione è derivabile in quel punto e si ha:

  • Convessità:

Se f'(x) è derivabile in x:

    • se f(x) > 0 allora f è convessa in x,
    • se f(x) < 0 allora f è concava in x,
  • Grafico:

Si raccolgono graficamente tutte le informazioni ottenute negli 11 passaggi precedenti. Estendere f nei punti estremi del dominio: Si deve stabilire la continuità di punti estremi del dominio. Espressione polinomiale che approssima la funzione:

Integrali:

Per Integrali indefiniti: Posso: avere un integrale diretto oppure utilizzare uno dei metodi:

  • metodo di integrazione per parti
  • metodo del completamento del quadrato
  • metodo degli integrali abeliani

Per integrali definiti:

  • Calcolo della Convergenza: Integrabile secondo Riman

Se il limite esiste ed è finito allora è integrale proprio e convergente; se il limite esiste ma è infinito allora è integrale improprio divergente

    • Teorema fondamentale per il calcolo del limite:

f:[a,b]→R G(x)è la primitiva allora: ___

Funzioni 2:

  • Dominio
  • Restrizione della funzione:

La restrizione va fatta bloccando uno degli assi al valore 0 e vedendo il comportamento di tale funzione e avere una misurazione grafica recisa graficamente La restrizione può essere fatta anche trasformando un incognita in un fascio di rette; calcolando infine il limite: se dipende dal coefficiente angolare allora esso non esiste

  • Calcolo dei limiti:

Si può utilizzare il metodo del confronto oppure il metodo delle coordinate polari: ovviamente se il limte dipende dal’angolo non esiste).

  • Calcolo delle derivate:

Le derivate vanno calcolate seguendo un criterio: Derivate parziali (ovvero di una sola incognita per volta) chiamata, essa per esistere devono tendere allo stesso valore sia in un intorno destro che in quello sinistro. Derivate direzionali: alle incognite vengono sostituiti dei vettori u1 e u2 (solitamente la base canonica)

  • Studio del segno:

Del tutto uguale al calcolo della funzione ad una variabile.

  • Studio della continuità

Si calcola il differenziale nel punto; se esiste allora la funzione è continua in quel punto.

  • Gradiente:

∇f(x_0,y_0 )=(f_x (x_0,y_0 );f_y (x_0,y_0 ) ) Si chiama divergenza se è prodotto di una funzione per uno scalare.

  • Derivate direzionali:

(f(x,y)-f(x_0,y_0 ))/h=f(〖hu〗_1,〖hu〗_2 )/h

  • Calcolo dei massimi e dei minimi:

Se f è derivabile i massimi e i minimi vanno cercati calcolando il punto critico: esso si trova ponendo il gradiente (vettore delle derivate parziali) uguale a zero e studiando il segno della funzione: se il segno varia in un intervallo saranno punti di sella al contrario sono massimi o minimi. Calcolo il determinante della matrice hessiana:

    • Se è > 0 e concorde con il segno della derivata parziale seconda rispetto alla x allora il valore è un punto di minimo relativo.
    • Se è > 0 e di segno discorde con quello della derivata seconda parziale rispetto alla x allora il valore è punto di massimo relativo.
    • se è < 0 allora il punto è di sella.
    • Se è 0 non si può discutere.

Punti di massimo e di minimo vincolati:

    • Metodo dei moltiplicatori di Lagrange
    • Metodo di parametrizzazione della frontiera

Integrali doppi e tripli:

La regola del calcolo dell’integrale doppio è semplice e basata sulla regola di integrazioni successive: ∬_[a,b][c,d]▒f(x,y)dxdy=∫_c^d▒(∫_a^b▒f(x,y)dx)dy Integrali definiti in dominio: ∬_D▒f(x,y) Serve soprattutto per calcolare l’area del dominio Per esprimere il dominio posso utilizzare anche le coordinate polari che servono solo per domini con tratti di circonferenze.  

Equazioni differenziali:

Differenziale: lim┬((h,k)→(0,0) )⁡〖(f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0 )-f_x (x_0,y_0 )h-f_y (x_0,y_0 )k)/√(h^2 〖+k〗^2 )〗=0