Le piastre sottili

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lezione
Le piastre sottili
Tipo di risorsa Tipo: lezione
Materia di appartenenza Materia: Scienza delle costruzioni

Si definisce piastra sottile un elemento strutturale in cui una dimensione (spessore) è trascurabile rispetto alle altre due. Si distingue dalle lastre sottili per la condizione di carico: le piastre sono caricate ortogonalmente al loro piano, le lastre parallelamente ad esso.

Lo studio di questi elementi è di gran lunga più complesso rispetto a quello delle travi, ed anche la loro comprensione intuitiva risulta meno immediata rispetto alle travi. Ciò è dovuto ad una serie di fattori, come il fatto che la contrazione trasversale è in questi casi bloccata, o la praticamente assoluta presenza di momenti torcenti che influenzano il comportamento statico dell'insieme, oltre naturalmente ad una maggiore difficoltà analitica, spinta a tal punto che in moltissimi casi il problema risulta irrisolvibile[1].

Lo studio delle piastre è effettuato solitamente con riferimento al suo piano medio, che è quel piano perpendicolare allo spessore che taglia la piastra in due porzioni di uguali dimensioni. La teoria alla base dell'analisi delle piastre è denominata teoria di Kirchhoff.

Andamento della piastra deformata coerentemente all'ipotesi 4

Nello studio delle piastre sottili isotrope si fanno le seguenti ipotesi:

  1. il materiale di cui è composto la piastra è perfettamente elastico, omogeneo e isotropo;
  2. la relazione costitutiva del materiale è del tipo fornito dalla legge di Hooke, e presenta medesime costanti elastiche per ogni tipo di carico;
  3. lo spessore della piastra è costante e per definizione piccolo rispetto alle altre dimensioni;
  4. la generica fibra elementare che prima dell'azione dei carichi era rettilinea e perpendicolare al piano medio si mantiene tale anche in seguito all'inflessione della piastra[2];
  5. la tensione normale al piano della piastra è trascurabile[3];
  6. gli spostamenti trasversali sono così piccoli che la curvatura in ogni generica direzione è valutabile come derivata seconda dello spostamento trasversale in quella direzione;
  7. nel piano medio della piastra non agiscono tensioni normali, e cioè non nascono deformazioni interne al piano medio, che può essere considerato inestensibile[4];
  8. il peso proprio della piastra è incluso nei carichi considerati;
  9. gli angoli della piastra non possono sollevarsi.

Considerando una terna di assi cartesiani nel piano medio come riferimento, chiamato l'asse perpendicolare al piano medio della piastra e e gli altri due, dovrà essere:

  • per ogni punto della piastra (in base all'ipotesi 5);
  • per tutti i punti del piano medio della piastra (in base all'ipotesi 7).

Le tensioni e le deformazioni nella piastra[modifica]

In seguito ad un'azione esterna, la generica piastra subirà naturalmente una serie di deformazioni e al suo interno si svilupperanno delle tensioni. Per studiare la deformazione della stessa si fa riferimento, come già detto, al piano medio della piastra, il quale dall'essere un piano nella configurazione indeformata diventa una superficie curva nella configurazione attuale. Tale superficie è chiamata superficie elastica della piastra, con ovvia analogia alla linea elastica nel caso della trave.

Si suppone che la piastra sia originariamente disposta in senso orizzontale, e quindi i carichi esterni sono verticali, dal momento che per definizione una piastra è caricata ortogonalmente al suo piano[5].

Fatta questa premessa, è possibile calcolare nel generico punto del piano medio la tangente dell'angolo che la superficie elastica forma con l'orizzontale nella direzione prima dell'asse e poi dell'asse , che data la piccolezza degli angoli in gioco si approssima essere esattamente uguale al valore dell'angolo stesso:

Per l'ipotesi 4 fatta in precedenza, questo angolo si mantiene costante per tutti i punti appartenenti alla fibra originariamente perpendicolare al piano medio. Per l'ipotesi 7, inoltre, per il generico punto del piano medio , per cui per ogni punto distante dal piano medio si ha:

Note le componenti dello spostamento è possibile determinare le componenti della deformazione in relazione a :

Quest'ultima posizione, in realtà, deriva direttamente dall'ipotesi 7: le quantità , infatti, rappresentano la variazione dell'angolo tra le direzioni e rispetto a nel passare dalla configurazione indeformata a quella attuale. Questa variazione, tuttavia, è nulla proprio in considerazione dell'ipotesi 7, la quale impone appunto che l'angolo retto tra le direzioni citate si mantenga tale anche in seguito alla deformazione.

Si trascura, invece, il valore di .

Noti questi valori, in base all'ipotesi 2, è possibile calcolare le componenti della tensione tramite le relazioni costitutive, ricordando che comunque si ha :

Da qui, con alcuni passaggi matematici, si arriva a:

Sostituendo le espressioni precedentemente trovate per ed si può scrivere:

Per le tensioni tangenziali si ha:

Note[modifica]

  1. L'irrisolvibilità citata, naturalmente, si riferisce allo studio analitico preciso: per qualsiasi tipo di piastra, infatti, è possibile giungere alla soluzione a patto di fare uso di metodi approssimati di vario tipo
  2. É importante osservare che questa ipotesi è valida solo nel caso di spessore sufficientemente piccolo rispetto alle altre dimensioni, e cioè esattamente il caso delle piastre sottili. Per piastre di spessori più importanti, infatti, non è possibile riferirsi ai risultati ottenuti per le piastre sottili ma si deve fare riferimento ad una trattazione differente. Alla base di questa ipotesi, infatti, c'è la necessità che la deformazione dovuta al taglio sia trascurabile rispetto alla deformazione dovuta alla flessione
  3. Quanto detto nell'ipotesi considerata è vero quando lo spessore della piastra è abbastanza ridotto. In linea generale, infatti, se la piastra è sottoposta ad un carico nella sua faccia superiore, la tensione normale deve passare da un valore nella parte superiore ad un valore lungo la faccia inferiore. Ma se la piastra è abbastanza sottile non può avere un valore eccessivo, per cui il massimo valore di non sarà comunque confrontabile con i valori delle altre tensioni. Ciò non sarà vero, naturalmente, nelle zone in cui persiste un carico concentrato, dove tuttavia il risultato dell'analisi porta comunque a risultati impossibili (valori infiniti di alcune caratteristiche della sollecitazione). In ogni caso bisogna considerare il fatto che un carico concentrato è un'astrazione per l'analisi, e non esiste in natura un carico che possa scaricarsi interamente in un punto. Tuttavia, quando l'area di carico risultasse molto ridotta (all'incirca dello stesso ordine di grandezza dello spessore della piastra), è conveniente in sede di analisi verificare la resistenza del materiale alla compressione causata dal carico prima di procedere all'analisi della piastra
  4. Tale ipotesi è accettabile finché gli abbassamenti sono piccoli rispetto alla misura dello spessore. Questa condizione si verifica allorquando lo spessore è abbastanza piccolo rispetto alle altre dimensioni, ma d'altro canto non può essere eccessivamente ridotto: in pratica lo spessore della piastra deve essere piccolo, ma comunque in grado di garantire alla piastra una certa rigidità, altrimenti gli spostamenti nella direzione potrebbero crescere fino ad essere confrontabili o superiori allo spessore s della piastra, che in questo caso assumerebbe un comportamento definito a membrana
  5. Tale supposizione non è vincolante, dal momento che la stessa analisi è valida per qualsiasi orientazione della piastra nello spazio, ma in questa sede può essere utile per aiutare nella comprensione. Questa posizione, infatti, è quella che intuitivamente è propria della quasi totalità delle piastre, dal momento che nelle strutture le forze preponderanti sono quelle derivanti dal peso delle parti sovrastanti, e la forza peso ha direzione verticale. In ogni caso è possibile tornare al caso generale semplicemente sostituendo orizzontale con parallelo al piano della piastra nella condizione indeformata e verticale con perpendicolare al piano della piastra nella condizione indeformata