Autovalori e autovettori e diagonalizzazione di matrici

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lezione
Autovalori e autovettori e diagonalizzazione di matrici
Tipo di risorsa Tipo: lezione
Materia di appartenenza Materia: Algebra lineare
Avanzamento Avanzamento: lezione completa al 25%.

Similitudine di matrici[modifica]

Diamo la definizione di similitudine tra due matrici.

Siano due matrici quadrate di ordine .

si dice simile a se esiste una matrice invertibile di ordine anch'essa tale che

.


La similitudine è una relazione di equivalenza su (provate a dimostrarlo per esercizio).


Proposizione[modifica]

Sia uno spazio vettoriale su di dimensione e siano . Allora e sono simili se e solo se

basi di tali che


Dimostrazione[modifica]

Diagonalizzabilità[modifica]

L'equazione dell'endomorfismo assumerebbe una forme particolarmente semplice se fosse diagonale. Dunque ci si pone il problema di stabilire se una data matrice è o meno simile ad una qualche matrice diagonale.

Una matrice è detta diagonalizzabile se è simile ad una matrice diagonale, cioè se esiste una matrice tale che

La matrice è detta matrice diagonalizzante.


Un endomorfismo , si dice diagonizzabile se esiste una base di tale che

o equivalentemente

La base è detta diagonalizzante.


In definitiva, è diagonalizzabile se e solo se la matrice relativa ad una qualsiasi base di lo è anch'essa.

Dall'ultima definizione possiamo ora dare la definizione di autovalore e autovettore.

Autovalori e Autovettori[modifica]

Sia un vettore non nullo di . si dice autovettore di se esiste uno scalare tale che

.

Lo scalare con questa proprietà viene detto autovalore di relativo all'autovettore .


La definizione è estensibile anche alle matrici. Infatti definiamo autovettore della matrice un vettore non nullo della matrice se esiste autovalore di tale che

.

Prima di procedere con alcune proposizioni, vediamo alcuni esempi.

Esempi[modifica]

  • Sia l'endomorfismo definito da . Cerchiamo degli autovalori e autovettori. Applicando la definizione, dobbiamo trovare un vettore tale che , per un qualche autovalore di .Innanzitutto notiamo che trovare gli autovalori equivale a risolvere , cioè
. Questa equazione si annulla per se , oppure per se . Non ci sono altre soluzioni, dunque non ci sono altri autovalori.
Quali sono gli autovettori associati agli autovalori e ? Come detto prima, tutti i vettori che soddisfano l'equazione sopra. Dunque gli autovettori sono coppie del tipo .
  • Consideriamo ora il caso di . Cerchiamo ora gli autovalori.
.

Il sistema lineare omogeneo ha soluzione per , dunque sono gli autovalori. Per trovare gli autovettori, risolviamo il sistema precedente sostituendo a -1 e poi 1.

Gli autovettori sono dunque i vettori di tipo per l'autovalore e per l'autovalore .

Proposizione[modifica]

è diagonalizzabile se e solo se possiede una base costituita da autovettori.


Dimostrazione[modifica]

Prendiamo come base di la base canonica . Comunque sia definita , abbiamo che , dunque la base canonica è una base costituita da autovettori.

La matrice associata all'endomorfismo è

che è una matrice diagonale. Dunque, per la definizione, è diagonalizzabile.

Proposizione[modifica]

Sia una base di . Allora è un autovettore di relativo all'autovalore se e solo se è un autovettore della matrice relativo allo stesso autovalore .


Dimostrazione[modifica]