Anelli e sottoanelli

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lezione
Anelli e sottoanelli
Tipo di risorsa Tipo: lezione
Materia di appartenenza Materia: Algebra
Avanzamento Avanzamento: lezione completa al 00%.

Definizione e proprieta'[modifica]

Sia un insieme non vuoto, e siano e due operazioni binarie di . La struttura si dice un anello se e godono delle seguenti proprietà:

  1. è un gruppo abeliano;
  2. è un semigruppo;
  3. è distributiva (sia a destra sia a sinistra) rispetto a .

Se sono soddisfatte le proprietà, si dice sostegno dell'anello.

Per facilitare la comprensione degli argomenti successivi, si usano per e rispettivamente la notazione additiva e quella moltiplicativa . Inoltre un anello , ove possibile, sarà denotato con . Quindi un anello sarà una struttura che soddisfa le seguenti proprietà:

  1. è un gruppo abeliano
  2. è un semigruppo

si dice gruppo abeliano additivo e si dice un semigruppo moltiplicativo. Per la proprietà 1., ovviamente risulta essere . Quindi e si dicono permutabili se vale .

Regole di calcolo in un anello[modifica]

Sia un anello. Allora valgono le seguenti regole del calcolo discendenti dalle proprietà di un anello, che ricordiamo:

  • Da gruppo abeliano additivo, :
  • Da semigruppo moltiplicativo, :

Oltre alle regole sopra citate, ci sono nuove regole ottenute grazie alla proprietà distributiva, :

  • ;


  • ;


  • ;


  • e ;


  • .

Elementi di calcolo combinatorio[modifica]

Riprendiamo alcuni argomenti di teoria degli insiemi. Se e sono due insiemi finiti, con si intende il numero degli elementi di , con l'insieme delle parti di , con l'insieme delle applicazioni di in e con il gruppo delle permutazioni di . Inoltre se è una relazione d'equivalenza in , allora è l'insieme quoziente di su .

Ricordiamo alcuni risultati generali (senza dimostrazione):

  1. Siano e due insiemi finiti e non vuoti, con . Allora esistono applicazioni iniettive di in , e il loro numero è
  2. Siano e due insiemi infiniti. Allora:
  3. Se è un insieme finito e è una relazione d'equivalenza in tale che per ogni accade che , allora:

Sia un insieme costituito da elementi. Per ogni , possiede sottoinsiemi di elementi. Una -parte di è un sottoinsieme di costituito da elementi.

Con si denota il numero delle -parti di , che si legge "n su k" e si chiama coefficiente binomiale d'ordine n e indice k.

Per ogni e per ogni , valgono le seguenti uguaglianze:

  • ; ;

Una proposizione importante è la seguente (senza dimostrazione):

Teorema binomiale[modifica]

Adesso si può procedere al famoso:

Teorema: Teorema binomiale (o regola di Newton)

Siano elementi permutabili di un anello . Allora per ogni intero si ha:


Come immediata conseguenza, se l'anello è commutativo, ossia se il monoide moltiplicativo è commutativo, allora la formula vale per ogni e in .

zero divisori, domini e campi[modifica]

Quando il prodotto di due numeri è zero, allora ci viene automatico pensare che se il prodotto è nullo uno dei due fattori (o tutti e due) è certamente nullo. E questo vale in e in qualsiasi altro campo e dopo vedremo il motivo. Ma non è valido in generale per tutti gli anelli e quando un numero b non nullo, moltiplicato per un altro numero a non nullo anch'esso da come risultato 0, b viene detto zero-divisore .

La cosa a prima vista può lasciare perplessi (essendo di solito abituati a lavorare con i numeri reali), ma ora vedremo un esempio pratico che mostrera' come effettivamente esistono anelli contenenti elementi non nulli divisori dello zero. Prendiamo l'insieme , cioè l'anello delle classi di resto modulo 6. Vediamo innanzitutto che sia un anello e di che tipo sia. Ma per fare questo è necessario considerare il caso generale.

  • riguardo l'addizione è certamente un gruppo abeliano perché abbiamo visto che in l'addizione tra interi è compatibile con la congruenza. È quindi possibile sommare classi di resto come sommare interi e quindi abbiamo visto che è un gruppo (abeliano, oltretutto).
  • verifichiamo ora innanzitutto che anche l'operazione prodotto tra interi sia compatibile con la congruenza. Verifichiamo quindi che

Possiamo allora scrivere le due congruenze come Svluppando i calcoli otteniamo

Quindi la moltiplicazione di interi è compatibile con la congruenza modulo n e possiamo definire il monoide commutativo e quindi ottenere che . Infatti, essendo valide la proprieta' del monoide moltiplicativo degli interi (elemento neutro, commutatività e proprieta' associativa) esse continueranno ad essere valide anche per avendo infatti appena verificato che la relazione di congruenza e la moltiplicazione di interi sono compatibili.

Tornando al nostro esempio di , in baso alla dimostrazione precedente, esso sarà quindi "composto" da il gruppo abeliano e il monoide commutativo ed è perciò un anello commutativo con 6 elementi, ovvero Questo anello ha degli elementi zero-divisori, ovvero elementi diversi da zero il cui prodotto è invece proprio zero. Per dimostrarlo ci basta far vedere, con un controesempio, che è falso che non esistono in questo anello degli zero-divisori. E ci basta prendere, ad esempio, . Abbiamo quindi visto che in esistono degli elementi non nulli che moltiplicati tra loro danno invece l'elemento nullo.

Diamo ora alcune importanti definizioni:

  1. Un anello che non ha elementi zero divisori si dice dominio di integrità
  2. Un anello i quali elementi diversi da zero formano due gruppi (additivo e moltiplicativo) si chiama corpo
  3. Un corpo commutativo si chiama campo

Avevamo prima detto che viene naturale pensare che quando abbiamo zero come risultato di un prodotto, allora uno dei due fattori o tutti e due sono nulli. Questo perché siamo abituati a ragionare con i numeri reali, che sono un campo. Ebbene, dimostriamo che ogni campo è un dominio di integrità, ovvero che ogni campo non ha zero-divisori. Infatti sia un campo. Allora per ogni si possono presentare due casi per il quale

  • se non c'e' nulla da dimostrare. il prodotto tra a e b è ovviamente zero.
  • se invece a non è nullo, essendo appartenenti ad un campo, esistera' certamente quindi

Quindi, in un campo, il prodotto nullo implica necessariamente che uno dei due fattori (o entrambi) sia nullo e quindi è un dominio di integrità.