Funzioni radice, esponenziale e logaritmica

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Avanzamento lezione: 25%.svg 25% al 26-11-2009.

Indice

[modifica] Radici artimetiche

Sia n \in \mathbb{N} fissato, x \in \mathbb{R},\ x\geq 0. Si chiama radice n-esima aritmetica il numero

y \in \mathbb{R}\ :\ y^n=x

La radice n-esima di un numero x si indica

\sqrt[n]{x}\ \ \ x^{\frac{1}{n}}

[modifica] Esistenza delle radici

[modifica] Proposizione

Siano x,y \in \mathbb{R},\ x,y\geq 0. Allora si ha

  1. x^n\leq y^n \Leftrightarrow x \leq y
  2. x^n=y^n \Leftrightarrow x=y
  3. x^n < y \Rightarrow \exists \varepsilon >0\ :\ (x+\varepsilon)^n<y
  4. x^n > y \Rightarrow \exists \varepsilon >0\ :\ x-\varepsilon>0,(x-\varepsilon)^n >y


[modifica] Teorema (esistenza della radice n-esime di ogni numero reale)

Ogni numero reale non negativo ha una sola radice n-esima.

TEOREMA(Radice aritmetica)siano dati x>0 e (n appartenente ai reali), n>=2. Allora esiste uno ed un solo numero reale positivo w tale che w^n=x

Dimostrazione dell unicità della soluzione Ragioniamo per assurdo supponiamo che esistono 2 numeri che verificano entrambi l'enunciato

a1,a2 appartenenti ai reali diversi fra loro. 0<a1<a2

a1=x , a2=x

x=a1^n<a2^n=b questo è impossibile si è giunti a contraddizione

b<b

Deve esserci un unica soluzione dimostrata l unicità.

--78.15.15.78 11:30, 16 ott 2009 (CEST)Alessandro Finocchiaro

Stock post message.svg Nota:
ancora da completare ho solamente dimostrato l unicità


[modifica] Funzione radice

Consideriamo la funzione radice r:\mathbb{R}^+\to \mathbb{R}^+\ \ \ r(x)=x^n=y. Per il teorema di esistenza della radice, esiste una ed una sola radice n-esima per ogni x\in \mathbb{R}, dunque r è una funzione biiettiva e quindi invertibile. La sua inversa è

r^{-1}(y)=\sqrt[n]{x}

[modifica] Funzioni esponenziali

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